Mathematische Grundlagen

Präsentation zum Thema: "Mathematische Grundlagen"—  Präsentation transkript:

1 Mathematische Grundlagen
Graphen und Operationen auf Graphen Karin Haenelt

2 Graphen Definitionen Operationen auf Graphen Graph-Repräsentationen

3 Vorbemerkung „Wenn hier von Knoten und Kanten gesprochen wird, so ist dies nur eine Veranschaulichung, die sich an einen gezeichneten Graphen anlehnt. Die Definitionen sind davon unabhängig.“ (Kunze, 2001, 32) Graphen sind Mengen, in denen die Elemente in bestimmten Beziehungen zueinander stehen

4 Definition: Graph Ein Graph G = (V,E) besteht aus ungerichteter Graph
einer Menge V von Knoten (vertices) einer Menge E von Kanten (edges) wobei die Kanten zwei Knoten miteinander verbinden ungerichteter Graph jede Kante e = {v1,v2} ist ein ungeordnetes Paar gerichteter Graph (directed graph) jede Kante e = (v1,v2) ist ein geordnetes Paar, d.h. jede Kante hat eine Orientierung, einen Anfangspunkt und einen Endpunkt

5 Definitionen: benachbart, indiziert, Grad

6 Definitionen: Schlinge, Mehrfachkante

7 Definitionen: Weg, Zyklus, Masche
Kunze, 2001

8 Definitionen: Wurzel, terminaler Knoten
Kunze, 2001

9 Operationen auf Graphen
Grundoperationen: Einfügen, Löschen Traversion von Graphen Relation „benachbart“ Traversionsmethoden Mengenoperationen Komplement (complement) Vereinigung (union) Durchschnitt (intersection) Verbindung (join) Kartesisches Produkt (Cartesian product) Komposition (composition) Differenz (difference)

10 Operationen: Komplement
Definition1 Erläuterung2 Das Komplement eines Graphen G hat V(G) als Kantenmenge zwei Kanten sind in dann und nur dann benachbart, wenn sie in G nicht benachbart sind 1 White, 1984, 9 2+Beispiel Harary, 1974, 25

11 Operationen: Vereinigung
von zwei disjunkten oder nicht disjunkten Graphen, Annahmen: bzw. Definition1 1 White, 1984, 9 Beispiel Harary, 1974, 25

12 Operationen: Vereinigung
Beispiel: nicht-disjunkte, gerichtete und etikettierte Graphen c:3 a:1 b:2 d:4 e:5 i:9 a:1 b:2 h:8 c:3 a:1 b:2 d:4 e:5 h:8 i:9

13 Operationen: Durchschnitt
von zwei disjunkten oder nicht disjunkten Graphen, Annahmen: bzw. Definition Die Graphen heißen disjunkt, wenn der Durchschnitt von je zwei Graphen leer ist. Sie heißen kantendisjunkt, Kantenmengen leer ist.1 1 Wagner, 1970, 23

14 Operationen: Durchschnitt
Beispiel: nicht-disjunkte, gerichtete und etikettierte Graphen c:3 a:1 b:2 d:4 e:5 i:9 a:1 b:2 h:8 a:1 b:2

15 Operationen: Verbindung
von zwei disjunkten Graphen, Annahme: Definition1 1 White, 1984, 10 Beispiel Harary, 1974, 31

16 Operationen: Kartesisches Produkt
von zwei disjunkten Graphen, Annahme: Definition1 w2 u2 v2 u1 u1u2 u1v2 u1w2 v1 v1u2 v1v2 v1w2 1 White, 1984, 10 Beispiel Harary, 1974, 32

17 Operationen: Kartesisches Produkt: Beispiel
g0 g1 h2 h0 h1 g0h2 g0h0 g0h1 g1h2 g1h0 g1h1 g0h0 g0h1 g0h2 g1h0 g1h1 g1h2 gyhy g0h0 g0h1 g0h2 g1h0 g1h1 g1h2 gxhx

18 Operationen: Komposition
von zwei disjunkten Graphen, Annahme: Definition1 w2 u2 v2 u1u1 u2v1 u1 u1w2 u1u2 u1v2 v1w2 v1u2 v1v2 v2u1 v2v1 v1 w2u1 w2v1 1 White, 1984, 10 Beispiel Harary, 1974, 32

19 Operationen: Komposition: Beispiel
h2 h0 h1 g0 g0h0 g0h1 g0h2 g1 g1h0 g1h1 g1h2 g0h0 g0h1 g0h2 g1h0 g1h1 g1h2 gyhy g0h0 g0h1 g0h2 g1h0 g1h1 g1h2 gxhx

20 Graph-Repräsentationen I: Adjazenz-Matrix
1 3 2 4 Standish, 1997, 306

21 Graph-Repräsentationen II: Adjazenz-Liste
2 V Link V Link V Link V Link 1 2 3 1 3 2 3 4 5 3 4 4 5 4 5 1 Graph G Sequentielle Adjazenzliste für G Verkettete Adjazenzliste für G Standish, 1997, 308

22 Literatur Harary, Frank (1969). Graph Theory. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company. (deutsche Übersetzung: Graphentheorie. München: Oldenbourg Verlag, 1974) Kunze, Jürgen (2001). Computerlinguistik. Voraussetzungen, Grundlagen, Werkzeuge. Vorlesungsskript. Humboldt Universität zu Berlin. Standish, Thomas A. (1997). Data Structures in Java. Reading, Mass.: Addison-Wesley Longman Inc. Wagner, Klaus (1970). Graphentheorie. Mannheim: Bibliographisches Institut A.G. White, Arthur T. (1984). Graphs, Groups and Surfaces. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V.