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© Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, 20.03.2004 1 Mathematische Grundlagen Graphen und Operationen auf Graphen Karin Haenelt.

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Präsentation zum Thema: "© Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, 20.03.2004 1 Mathematische Grundlagen Graphen und Operationen auf Graphen Karin Haenelt."—  Präsentation transkript:

1 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Mathematische Grundlagen Graphen und Operationen auf Graphen Karin Haenelt

2 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Graphen Definitionen Operationen auf Graphen Graph-Repräsentationen

3 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Vorbemerkung Wenn hier von Knoten und Kanten gesprochen wird, so ist dies nur eine Veranschaulichung, die sich an einen gezeichneten Graphen anlehnt. Die Definitionen sind davon unabhängig. (Kunze, 2001, 32) Graphen sind Mengen, in denen die Elemente in bestimmten Beziehungen zueinander stehen

4 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Definition: Graph Ein Graph G = (V,E) besteht aus –einer Menge V von Knoten (vertices) –einer Menge E von Kanten (edges) wobei die Kanten –zwei Knoten miteinander verbinden ungerichteter Graph –jede Kante e = {v 1,v 2 } ist ein ungeordnetes Paar gerichteter Graph (directed graph) –jede Kante e = (v 1,v 2 ) ist ein geordnetes Paar, d.h. –jede Kante hat eine Orientierung, einen Anfangspunkt und einen Endpunkt

5 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Definitionen: benachbart, indiziert, Grad

6 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Definitionen: Schlinge, Mehrfachkante

7 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Definitionen: Weg, Zyklus, Masche Kunze, 2001

8 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Definitionen: Wurzel, terminaler Knoten Kunze, 2001

9 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Operationen auf Graphen Grundoperationen: Einfügen, Löschen Traversion von Graphen –Relation benachbart –Traversionsmethoden Mengenoperationen –Komplement (complement) –Vereinigung (union) –Durchschnitt (intersection) –Verbindung (join) –Kartesisches Produkt (Cartesian product) –Komposition (composition) –Differenz (difference)

10 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Operationen: Komplement 2+Beispiel Harary, 1974, 25 Das Komplement eines Graphen G hat V(G) als Kantenmenge zwei Kanten sind in dann und nur dann benachbart, wenn sie in G nicht benachbart sind 1 White, 1984, 9 Definition 1 Erläuterung 2

11 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Operationen: Vereinigung von zwei disjunkten oder nicht disjunkten Graphen, Annahmen: Definition 1 bzw. Beispiel Harary, 1974, 25 1 White, 1984, 9

12 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Operationen: Vereinigung Beispiel: nicht-disjunkte, gerichtete und etikettierte Graphen c:3 a:1b:2 d:4 e:5 i:9 a:1b:2 h:8 c:3 a:1b:2 d:4 e:5 h:8 i:9

13 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Operationen: Durchschnitt von zwei disjunkten oder nicht disjunkten Graphen, Annahmen: Definition bzw. 1 Wagner, 1970, 23 Die Graphen heißen disjunkt, wenn der Durchschnitt von je zwei Graphen leer ist. Sie heißen kantendisjunkt, wenn der Durchschnitt von je zwei Kantenmengen leer ist. 1

14 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Operationen: Durchschnitt Beispiel: nicht-disjunkte, gerichtete und etikettierte Graphen c:3 a:1b:2 d:4 e:5 i:9 a:1b:2 h:8 a:1b:2

15 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Operationen: Verbindung von zwei disjunkten Graphen, Annahme: Definition 1 Beispiel Harary, 1974, 31 1 White, 1984, 10

16 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Operationen: Kartesisches Produkt von zwei disjunkten Graphen, Annahme: Definition 1 u1u1 v1v1 w2w2 u2u2 v2v2 Beispiel Harary, 1974, 32 1 White, 1984, 10 u1w2u1w2 u1u2u1u2 u1v2u1v2 v1w2v1w2 v1u2v1u2 v1v2v1v2

17 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Operationen: Kartesisches Produkt: Beispiel g0g0 g1g1 h2h2 h0h0 h1h1 g0h2g0h2 g0h0g0h0 g0h1g0h1 g1h2g1h2 g1h0g1h0 g1h1g1h1 g1h2g1h2 g1h1g1h1 g1h0g1h0 g0h2g0h2 g0h1g0h1 g0h0g0h0 g0h0g0h0 g0h1g0h1 g0h2g0h2 g1h0g1h0 g1h1g1h1 g1h2g1h2 gxhxgxhx gyhygyhy

18 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Operationen: Komposition von zwei disjunkten Graphen, Annahme: Definition 1 u1u1 v1v1 w2w2 u2u2 v2v2 Beispiel Harary, 1974, 32 1 White, 1984, 10 u1w2u1w2 u1u2u1u2 u1v2u1v2 v1w2v1w2 v1u2v1u2 v1v2v1v2 w2v1w2v1 u2v1u2v1 v2v1v2v1 w2u1w2u1 u1u1u1u1 v2u1v2u1

19 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Operationen: Komposition: Beispiel g1g1 h2h2 h0h0 h1h1 g0h2g0h2 g0h0g0h0 g0h1g0h1 g1h2g1h2 g1h0g1h0 g1h1g1h1 g1h2g1h2 g1h1g1h1 g1h0g1h0 g0h2g0h2 g0h1g0h1 g0h0g0h0 g0h0g0h0 g0h1g0h1 g0h2g0h2 g1h0g1h0 g1h1g1h1 g1h2g1h2 gxhxgxhx gyhygyhy g0g0

20 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Graph-Repräsentationen I: Adjazenz-Matrix Standish, 1997, 306

21 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Graph-Repräsentationen II: Adjazenz-Liste VLinkV V V Graph G Sequentielle Adjazenzliste für G Verkettete Adjazenzliste für G Standish, 1997, 308

22 © Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, Literatur Harary, Frank (1969). Graph Theory. Reading, Mass.: Addison- Wesley Publishing Company. (deutsche Übersetzung: Graphentheorie. München: Oldenbourg Verlag, 1974) Kunze, Jürgen (2001). Computerlinguistik. Voraussetzungen, Grundlagen, Werkzeuge. Vorlesungsskript. Humboldt Universität zu Berlin. berlin.de/compling/Lehrstuhl/Skripte/Computerlinguistik_1/index. htmlhttp://www2.rz.hu- berlin.de/compling/Lehrstuhl/Skripte/Computerlinguistik_1/index. html Standish, Thomas A. (1997). Data Structures in Java. Reading, Mass.: Addison-Wesley Longman Inc. Wagner, Klaus (1970). Graphentheorie. Mannheim: Bibliographisches Institut A.G. White, Arthur T. (1984). Graphs, Groups and Surfaces. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V.


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