Logikbasierte Agenten

Logikbasierte Agenten

Überblick Wissensbasierte Agenten Bsp.: Wumpus-Welt
Logik im Allgemeinen, Modelle und Logische Konsequenz Aussagenlogik Inferenzregelen und Theorembeweise Resolution Vorwärtsverkettung, Rückwärtsverkettung

Wissensbasen Wissensbasis = Menge von Sätzen in einer formalen Sprache (Wissensrepräsentationsprache) Deklarativer Ansatz für den Bau eines Agenten: Teile der Wissensbasis (WB) des Agenten das erforderliche Wissen mit (Tell) Dann kann der Agent alle Fragen durch Anfrage bei der WB beantworten (Ask) Zwei mögliche Ebenen zur Beschreibung von Agenten: Wissensebene, d.h. Wissen des Agenten unabhängig von der Implementation Implementationsebene, d.h. Datenstrukturen in WB + Algorithmen zu deren Verarbeitung

Ein einfacher wissensbasierter Agent
Fähigkeiten des Agenten: Repräsentation von Zuständen, Aktionen, etc. Verarbeitung neuer Perzepte Interne Repräsentation der Welt aktualisieren Versteckte Eigenschaften der Welt logisch erschließen Sinnvolle Aktionen erschließen

Wumpus-Welt Peas-Beschreibung (Percepts, Environment, Actions, Sensors): Aktuatoren: Linksdrehung, Rechtsdrehung, Vorwärts, Greifen, Loslassen, Schießen Wahrnehmungen: Gesank, Luftzug, Glitzern, Bumms, Schrei Leistungsmaß: Gold: +1000, Tod: (durch Wumpus oder Falltür) -1000 -1 pro Schritt, -10 für Gebrauch des Pfeils Umgebung Raster von Quadraten Gestank in Quadraten neben Wumpus Luftzug in Quadraten neben Falltür Glitzern falls Gold im selben Quadrat Schießen in richtiger Richtung tötet Wumpus Nur ein Pfeil verfügbar Greifen sackt Gold ein (im aktuellen Quadrat) Loslassen läßt Gold im aktuellen Quadrat fallen

Charakterisierung der Wumpus-Welt
Vollständig beobachtbar: Nein – nur lokale Perzeption Deterministisch: Ja – Ergebnis von Aktionen exakt spezifiziert Episodisch: Nein – sequenziell auf Ebene der Aktionen Statisch Ja – Wumpus und Falltüren bewegen sich nicht Diskret Ja Single-Agent? Ja – Wumpus wird hier nicht als Gegenspieler definiert

Explorieren der Wumpus-Welt

Agent für Wumpus-Welt Zwei Vorgehensweisen:
Programmiere spezielle Lösung für Wumpus-Welt Führt wahrscheinlich schnell zum Ziel Aber nicht verallgemeinerbar Entwickle System, das Notwendiges Wissen repräsentieren Schlüsse ziehen und danach handeln kann Weg 2 verspricht langfristig mehr Erfolg!

Logik (allgemein) Logiken sind formale Sprachen zur Repräsentation von Information, die das Ziehen von Schlüssen erlauben. Syntax definiert die Sätze der Sprache. Semantik definiert die “Bedeutung" der Sätze: D.h. definiert die Wahrheit eines Satz mit Bezug auf die Welt Bsp.: Sprache der Arithmetik: x+2 ≥ y ist ein Satz; x2+y > {} ist kein Satz x+2 ≥ y ist wahr, wenn die Zahl x+2 nicht kleiner ist als y x+2 ≥ y ist wahr in einer Welt wo x = 7, y = 1 x+2 ≥ y ist falsch in einer Welt wo x = 0, y = 6

Logische Konsequenz (Entailment)
Logische Konsequenz heißt dass ein Satz b logisch aus einem Satz α folgt: α ╞ b α ╞ b gilt genau dann, wenn in jedem Modell, in dem α wahr ist, auch b wahr ist. Bsp.: x+y = 4 folgt aus 4 = x+y D.h. falls α wahr ist, ist auch b wahr. WB ╞ α bedeutet: Satz α folgt aus Wissensbasis WB dann und nur dann, wenn α in allen Welten wahr ist, in denen WB wahr ist. Bsp.: Aus der WB, die die Sätze “Schalke hat gewonnen” und “HSV hat gewonnen” enthält, folgt: “Schalke hat gewonnen oder HSV hat gewonnen”. Logische Konsequenz ist eine Beziehung zwischen Sätzen, die auf Semantik basiert.

Sprache als Beschreibung der Welt
Sätze der formalen Sprache sollten Aspekten der Welt entsprechen und sollten so beschaffen sein dass … … auch gefolgerte neue Sätze Aspekten der Welt entsprechen ! Problem: Was heißt hier „Welt“ ? Wie kann Beziehung zwischen Welt und Sprache formalisiert werden? Antwort: „Modell“ statt „Welt“

Modelle Bisher: Semantik wurde über Wahrheit eines Satzes in einer Welt definiert. Problem: Begriff „Welt“ ist unpräzise. Besser: „Modell“ statt „Welt“. Modelle sind formale „Welten“, in denen die Wahrheit von Sätzen eindeutig festgestellt werden kann. Z.B. wird die Frage, ob Wumpus medizinisch tot ist oder nur unschädlich, in die Abstraktion von der Welt zum Modell „verlagert“. Damit ist die lebendig/tot auf Ebene der Modelle eindeutig geklärt. m ist ein Modell von Satz α, wenn α in m wahr ist. M(α) ist die Menge aller Modelle von α. D.h. WB ╞ α falls M(WB)  M(α) Z.B. WB = Schalke hat gewonnen und HSV hat gewonnen α = HSV hat gewonnen

Logische Konsequenz in der Wumpus-Welt
Vereinfachte Wumpus-Welt: Nur Falltüren Situation nach folgender Perzeptions-Aktions Folge: Keine Wahrnehmung in [1,1] Gehe rechts Luftzug in [2,1] Betrachte mögliche Modelle für WB : 3 Boolesche Entscheidungen  8 mögliche Modelle

Wumpus Modelle

Wumpus Modelle WB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen

Wumpus Modelle WB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen
Aussage α1 = "[1,2] ist sicher“ WB ╞ α1, Beweis durch Model-Checking

Wumpus Modelle WB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen

Wumpus Modelle WB = Regeln der Wumpus-Welt + Beobachtungen
Aussage α2 = "[2,2] ist sicher" (d.h. α2 folgt nicht aus WB) Beachte: Aus WB folgt aber auch nicht α2 ! (d.h. “Falltür in [2,2]" !

Inferenz WB ├i α bedeutet “Satz α kann aus WB mittels des Inferenz-Algorithmus i abgeleitet werden”. Korrektheit: i ist korrekt, wenn aus der Wahrheit von WB ├i α folgt dass auch WB╞ α wahr ist. Vollständigkeit: i ist vollständig, wenn aus der Wahrheit von WB╞ α folgt dass auch WB ├i α wahr ist. Vorschau: Wir werden eine Logik definieren (Logik 1. Ordnung), in der eine Vielzahl relevanter Fakten repräsentiert werden kann und für die korrekte und vollständige Inferenzregeln bekannt sind. D.h. der Inferenz-Algorithmus kann jede Frage beantworten, deren Antwort aus den in der WB bekannten Fakten folgt.

Aussagenlogik: Syntax
ist eine sehr einfache Logik, zeigt Ideen der Logik. Syntax definiert erlaubte Sätze Aussagensymbole (Großbuchstaben) P1, P2 etc. sind Sätze Besondere Symbole: wahr, falsch Komplexe Sätze: Wenn S ein Satz ist, ist auch S ein Satz (Negation) Wenn S1 und S2 Sätze sind, ist auch S1  S2 ein Satz (Konjunktion) ist auch S1  S2 ein Satz (Disjunktion) ist auch S1  S2 ein Satz (Implikation) ist auch S1  S2 ein Satz (Bikonditional)

Aussagenlogik: Semantik
Semantik definiert, wie Wahrheit eines Satzes in Bezug auf ein Modell bestimmt wird. Jedes Modell legt die Wahrheitswerte wahr/falsch für jedes Aussagesymbol fest: Z.B. P1,2 P2,2 P3,1 falsch wahr falsch Für aus den drei Symbolen P1,2, P2,2, P3,1 gebildete Sätze sind 8 Modelle möglich. Folgende Regeln definieren, wie Wahrheitswert für Komplexe Sätze bezüglich eines Modells m ermittelt werden: S ist wahr wenn S falsch ist S1  S2 ist wahr wenn S1 wahr ist und S2 wahr ist S1  S2 ist wahr wenn S1 wahr ist oder S2 wahr ist S1  S2 ist wahr wenn S1 falsch ist oder S2 wahr ist d.h. ist falsch wenn S1 wahr ist und S2 falsch ist S1  S2 ist wahr wenn S1S2 wahr ist und S2S1 wahr ist Einfacher rekursiver Prozess zum Auswerten beliebiger Sätze, z.B. P1,2  (P2,2  P3,1) = wahr  (wahr  falsch) = wahr  wahr = wahr

Semantik: Wahrheitstabelle der Verknüpfungen
Beachte: Implikation bedeutet nicht kausalen Zusammenhang zwischen P und Q.

Gültigkeit und Erfüllbarkeit
Ein Satz ist gültig, wenn er für alle Modelle wahr ist. Z.B. A A, A  A, (A  (A  B))  B Satz A (wobei A Literal) ist also nicht gültig (obwohl er wahr sein kann) Gültigkeit und Inferenz hängen zusammen über das Deduktionstheorem: WB ╞ α dann und nur dann, wenn (WB  α) gültig ist. Ein Satz ist erfüllbar, wenn er in mindestens einem Modell wahr ist. Z.B. A B, C Ein Satz ist unerfüllbar, wenn er in keinem Modell wahr ist. Z.B. AA Erfüllbarkeit und Konsequenz hängen folgendermaßen zusammen: WB ╞ α dann und nur dann, wenn (WB α) unerfüllbar ist.

Logische Äquivalenz Zwei Sätze sind logisch äquivalent wenn sie für dieselben Modelle wahr sind: α ≡ ß wenn α╞ β und β╞ α

Überblick: Konsequenz, Äquivalenz, Implikation, Bikonditional
Logische Konsequenz: α ╞ b Begriff der Logik (nicht nur der Aussagenlogik) Beziehung zwischen zwei Sätzen, basierend auf Semantik Gilt, wenn in jedem Modell, in dem α wahr ist, auch b wahr ist: M(α)  M(b). Achtung: Umgangssprachlich: „Aus α folgt b“. Äquivalenz: α ≡ ß Begriff der Logik Beziehung zwischen zwei Sätzen Gilt, wenn α und b für dieselben Modelle wahr sind: α╞ β und β╞ α Implikation: A  B Begriff der Aussagenlogik A  B ist ein Satz, gebildet aus zwei anderen Sätzen Wahrheit dieses Satzes ist definiert über Semantik (geg. durch Wahrheitstabelle). A  B ist wahr falls A falsch oder B wahr ist. Bikonditional: A  B Cf. Implikation, aber Implikation in beiden Richtungen Achtung: Umgangssprachlich: „A äquivalent B“.

Wissensbasis Wissensbasis ist Sammlung wahrer Sätze
Die Sätze können auch als ein wahrer Satz aufgefasst werden (Konjunktion aller Einzelsätze) Sätze beziehen sich sowohl auf Generell gültige Aussagen („Wumpus stinkt in 4er-Nachbarschaft“) Aktuelle Perzepte („Gestank hier und jetzt“) Beispiel: Sei Pi,j wahr wenn eine Falltür (pit) bei [i, j] ist. Sei Bi,j wahr wenn Luftzug (breeze) bei [i, j] ist. WB: Sätze aus Perzepten: „[1,1] ok, Breeze in [2,1]“  P1,1 B1,1 B2,1 Generelles Weltwissen: „Falltüren verursachen Luftzug in angrenzenden Quadraten“: 4. B1,1  (P1,2  P2,1) 5. B2,1  (P1,1  P2,2  P3,1)

Inferenz durch Aufzählung (Model-Checking)
Aufgabe: Feststellen, ob ein Satz a Konsequenz der Wissensbasis ist: WB╞ a ? Beispiel: Ist P2,2 Konsequenz der WB? Ansatz: „Beweis durch vollständiges Ausprobieren“ in der Wahrheitstabelle Liste alle Modelle auf, d.h. alle möglichen Wahrheitswerte aller beteiligten atomaren Sätze Stelle fest, für welche Modelle WB wahr ist WB╞ a gilt, falls a wahr ist für alle Modelle, für die WB wahr ist.

Inferenz durch Aufzählung: Beispiel
Nur für 3 Zeilen ist WB wahr P2,2 ist in einer dieser Zeilen nicht wahr Also ist P2,2 nicht Konsequenz der WB (denn es könnte auch P3,1 wahr sein) Es ist aber auch nicht  P2,2 Konsequenz aus WB (P2,2 könnte wahr sein)

Inferenz durch Aufzählung: Algorithmus
Depth-first Aufzählung aller Modelle ist korrekt und vollständig. Verwendet wie Backtracking partielle (d.h. nicht vollständige) Modelle Für n Symbole ist Zeitkomplexität O(2n), Raumkomplexität O(n) TT -- Truth Table, PL – Propositional Logik PL-True(a,m) gibt wahr zurück, falls Satz a für Modell m gilt. Extend(P,w,m) gibt neues Modell m zurück, in dem P Wahrheitswert w hat.

Beweismethoden Beweismethoden können grob in zwei Arten eingeteilt werden: Model-Checking Wahrheitstabelle zählt alle Möglichkeiten auf (exponentiell in n) Verbessertes Backtracking, z.B. Davis-Putnam-Logemann-Loveland (DPLL) Heuristische Suche im Modell-Raum (zulässig aber unvollständig) z.B. Min-Conflicts-ähnliche Hill-Climbing Algorithmen Anwendung von Inferenzregeln Zulässige Generierung neuer Sätze aus bekannten. Beweis = Folge nacheinander angewandter Inferenzregeln, die als Operatoren in Standard-Suche angesehen werden können. Normalerweise Transformation der Sätze in Normalform nötig (als „Eingabeformat“ für den Inferenzalgorithmus).

Inferenzregeln Modus Ponens: Und-Eliminierung:
Heißt: Sind die Sätze und a vorgegeben, so kann Satz b geschlossen werden („Satz ist vorgegeben“ heißt „die Wahrheit des Satzes ist vorgegeben“). Und-Eliminierung: Bikonditional-Eliminierung:

Begriffe: Literal, Klausel
Atomarer Satz oder dessen Negation Klausel: Disjunktion von Literalen

Inferenzregeln: Resolution
Konjunktive Normalform (KNF): Konjunktion von Disjunktionen von Literalen z.B. (A  B)  (B  C  D) Resolution: Inferenzregel (für KNF): l1 …  lk, m1  …  mn l1  …  li-1  li+1  …  lk  m1  …  ml-1  ml+1 ...  mn wobei li und ml komplementäre Literale sind. Z.B. P1,3  P2,2, P2,2 P1,3 Resolution ist korrekt und vollständig.

Resolution: Korrektheit
l1  …  li-1  li+1  …  lk ist entweder wahr oder falsch. Falls wahr: Dann ist auch l1  …  li-1  li+1  …  lk  m1  …  ml-1  ml+1 ...  mn wahr Falls falsch: Dann ist li wahr, folglich ist ml falsch und damit m1  …  ml-1  ml+1 ... mn wahr. Dann ist auch l1  …  li-1  li+1  …  lk  m1  …  ml-1  ml+1 ...  mn wahr.

Umwandlung in KNF B1,1  (P1,2  P2,1)
Eliminiere  : Ersetze α  β mit (α  β)(β  α). (B1,1  (P1,2  P2,1))  ((P1,2  P2,1)  B1,1) 2. Eliminiere  : Ersetze α  β mit α β. (B1,1  P1,2  P2,1)  ((P1,2  P2,1)  B1,1) 3. Ziehe  in die Klammern mittels de Morgan's Regeln und ggf. Doppel-Negation: (B1,1  P1,2  P2,1)  ((P1,2  P2,1)  B1,1) 4. Wende Distributiv-Gesetz an: (B1,1  P1,2  P2,1)  (P1,2  B1,1)  (P2,1  B1,1) KNF erreicht !

Resolutionsalgorithmus: Beispiel
WB = (B1,1  (P1,2 P2,1))  B1,1 α = P1,2 Fehler:  P2,1

Resolutionsalgorithmus
Idee: Beweis durch Widerspruch, d.h. zeige WBα unerfüllbar

Vorwärts- und Rückwärtsverkettung
Praxis: WB enthält häufig nur Konjunktion von Horn-Klauseln, so dass Resolution durch einfachere Algorithmen ersetzt werden kann. Horn-Klausel: Symbol (atomare Aussage); oder (Konjunktion von Symbolen)  Symbol z.B. C  (B  A)  (C  D  B) Modus Ponens (für Horn-Klauseln): Vollständig für Horn-WB α1, … ,αn, α1  …  αn  β β Ermöglicht Verwendung einfacher Inferenzalgorithmen wie Vorwärtsverkettung und Rückwärtsverkettung. Diese Algorithmen sind intuitiv verständlich und linear in der Zeit.

Vorwärtsverkettung Idee:
Eliminiere jede Regel, deren Prämissen in der WB erfüllt sind, füge ihre Konsequenz der WB hinzu, bis die Anfrage gefunden wurde. Vorwärtsverkettung ist korrekt und vollständig für Horn-WB.

Vorwärtsverkettung: Algorithmus
Count: Für jede Implikation die Zahl noch unbekannter Prämissen Agenda: Als wahr bekannte, noch nicht verarbeitete Symbole

Vorwärtsverkettung: Beispiel

Rückwärtsverkettung Idee: Von Anfrage q aus rückwärts arbeiten.
Beweise q durch Rückwärtsverkettung: Prüfe, ob q schon bekannt ist, oder beweise durch Rückwärtsverkettung alle Pramissen einer Regel, aus der q folgt. Vermeide Schleifen: Prüfe, ob neues Teilziel bereits auf „Ziel Stack“ ist. Vermeide unnötige Arbeit: Prüfe, ob neues Teilziel schon als wahr erkannt wurde, oder dieser Versuch fehlgeschlagen ist.

Rückwärtsverkettung Beispiel

Vergleich Vorwärts- / Rückwärtsverkettung
Vorwärtsverkettung ist datengetrieben, automatisch, „unbewusste“ Verarbeitung, Z.B. Objekterkennung, Routine-Enscheidungen Unter Umständen wird viel Aufwand in irrelevante Teilziele gesteckt. Rückwärtsverkettung ist zielorientiert, angemessen für Problemlösen, Z.B. Wo sind meine Schlüssel? Wie krieg ich ein Diplom? Komplexität der Rückwärtsverkettung kann erheblich kleiner sein als linear in der Größe der WB.

Effiziente aussagenlogische Inferenz
Zwei Familien effizienter Algorithmen für aussagenlogische Inferenz: Vollständige Backtracking-Suche: DPLL Algorithmus (Davis, Putnam, Logemann, Loveland) Unvollständige lokale Suche WalkSAT Algorithmus

DPLL-Algorithmus DPLL überprüft, ob ein Eingabesatz (in KNF) erfüllbar ist. Prinzip: Rekursive Tiefensuche wie TT-Entails(), aber mit Verbesserungen gegenüber naiver vollständiger Aufzählung: Frühe Terminierung Eine Klausel ist wahr, wenn eins ihrer Literale wahr ist. Ein Satz (in KNF) ist falsch, wenn eine der Klauseln falsch ist. Reine-Symbol-Heuristik „Reine“ Symbole: Haben gleiches „Vorzeichen“ in allen Klauseln. Z.B. In den drei Klauseln (A  B), (B  C), (C  A) sind A, B rein, C unrein. Erfüllbarer Satz (in KNF) hat immer ein Modell, in dem die Literale der reinen Symbole wahr sind. Daher: Weise Literalen reiner Symbole wahr zu. Einheitsklausel-Heuristik Einheitsklausel: Klausel mit nur einem Literal Das Literal einer Einheitsklausel muss wahr sein.

DPLL-Algorithmus (Überblick)

WalkSAT-Algorithmus Repeat: Wähle zufällig unerfüllte Klausel
Lokaler Such-Algorithmus Unvollständig Suchschritt: Verändere Wahrheitswert eines Symbols Bewertungsfunktion: Min-Conflicts Problem: Balance zwischen Gier und Zufälligkeit finden Prinzip WalkSAT: Repeat: Wähle zufällig unerfüllte Klausel Wähle Symbol aus Klausel nach einer von zwei Methoden: Zufall Wähle Symbol so, dass Flip Min-Conflicts (d.h. Zahl unerfüllter Klauseln) optimiert Flip

WalkSAT Algorithmus

Schwierige Erfüllbarkeitsprobleme
Wann sind Probleme schwierig? Hängt ab von m / n: m = # Klauseln n = # Symbole Betrachte Zufallsklauseln: m<<n: Einfach, da viele Lösungen m>>n: Einfach, da meist unerfüllbar m etwas größer als n: Schwierig Experiment: Zufällige 3-KNF Sätze, z.B. (D  B  C)  (B  A  C)  (C  B  E)  (E  D  B)  (B  E  C) # Symbole n=50 fest Variables m Teste DPLL und WalkSat Schwierige Probleme bei „kritischem Punkt“ für ca. m/n = 4.3

Wahrscheinlichkeit der Erfüllbarkeit:

Mittlere Laufzeit für 100 erfüllbare zufällige 3-KNF Sätze: Probleme um kritischen Punkt schwieriger WalkSAT wesentlich schneller (würde aber Unerfüllbarkeit nicht bemerken!) DPLL ebenfalls sehr effektiv (< 2000 Schritte) statt 250 für Wahrheitstafel

Inferenz-basierte Agenten in der Wumpus-Welt
Wumpus-Welt Agent auf Basis von Aussagenlogik: P1, (Start-Quadrat ok) W1, (Start-Quadrat ok) Bx,y  (Px,y+1  Px,y-1  Px+1,y  Px-1,y) (Breeze neben Pit) Sx,y  (Wx,y+1  Wx,y-1  Wx+1,y  Wx-1,y) (Stench neben Wumpus) W1,1  W1,2  …  W4, (Wumpus ist irgendwo) W1,1  W1, (Nur ein Wumpus) W1,1  W1, ( ’’ ) … 64 Symbole, 155 Sätze, davon einer mit 16 Symbolen Problem: Aussagen müssen für jedes Quadrat wiederholt werden, Aussagenlogik kann Verallgemeinerung nicht darstellen!

Unzulässiger Trick: Variable für Ort, Orientierung, Aktion außerhalb der WB !

Ort und Orientierung repräsentieren
WB enthält bislang nur „Physik“ der Wumpus-Welt Ort, Orientierung des Agenten fehlen Naiver Ansatz: „Agent auf Feld [i,j]“: Li,j Bewegung: Z.B. L1,1  Rechts  Vorwärts  L2,1 Falsch, denn L1,1 und L2,1 können nicht gleichzeitig wahr sein ! „“ bedeutet nicht zeitlichen Ablauf ! Ausweg: Für jede Zeit t und jeden Ort [x,y], Lx,yt  FacingRight t  Forward t  Lx+1,yt+1 Beachte: Je ein Satz für jede Zeit und jeden Ort ! Problem: Ständige Vermehrung der Sätze !

Zusammenfassung Logik-basierte Agenten wenden Inferenz auf eine Wissensbasis an um neue Informationen zu erhalten und Entscheidungen zu treffen Grundlegende Konzepte der Logik: Syntax: Legt Struktur von Sätzen formal fest. Semantik: Definiert Wahrheit von Sätze bezgl. Modellen. Konsequenz: Wahrheit eines Satz als Folge der Wahrheit eines anderen Inferenz: Ableitung eines Satzes aus einem anderen Satz Korrektheit: Nur Ableitung von Sätzen, die log. Konsequenzen sind Vollständigkeit: Ableitung aller Sätze, die log. Konsequenzen sind Inferenzalgorithmen: Resolution ist vollständig für Aussagenlogik Vorwärts- / Rückwärtsverkettung sind linear in der Zeit, vollständig für Hornklauseln Wumpus-Welt erfordert Fähigkeit, unvollständige Information zu repräsentieren und logisch zu schließen Aussagenlogik kann Wumpus-Welt im Prinzip repräsentieren, ist aber viel zu umständlich

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