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Eine kleine Einführung in echte und falsche Metriken, Normen, und ihre potentielle Anwendung in der Psychologie der Bedeutung und der Kreativität Christian.

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Präsentation zum Thema: "Eine kleine Einführung in echte und falsche Metriken, Normen, und ihre potentielle Anwendung in der Psychologie der Bedeutung und der Kreativität Christian."—  Präsentation transkript:

1 Eine kleine Einführung in echte und falsche Metriken, Normen, und ihre potentielle Anwendung in der Psychologie der Bedeutung und der Kreativität Christian Kaernbach

2 Euklidische Metrik – der Normalfall Gegeben zwei Punkte [x 1, y 1 ] und [x 2, y 2 ] Abstandsvektor [x 2 – x 1, y 2 – y 1 ] = [ x, y] Abstand = Länge des Abstandsvektors: d = ( x² + y²) Beispiel: –Punkt 1: [-7,3 3,5] –Punkt 2: [-4,3 7,5] –Abstandsvektor [3 4] –Abstand: (3² + 4²) = 25 = 5

3 Definition Metrik Eine Metrik ist eine Funktion, die zwei Elementen eines Raumes einen Abstand d 0 zuweist, so daß gilt: –d (p, p) = 0(identische Punkte haben den Abstand 0) –d (p, q) = 0 p = q(nichtidentische Punkte haben nicht Abstand 0) –d (p, q) = d (q, p)(Symmetrie) –d (p, q) d (p, u) + d (u, q)(Dreiecksungleichung: Umwege lohnen nicht) In einem Vektorraum mit Norm (Vektoren besitzen wohldefinierte Länge) gibt es immer eine Metrik: –d (p, q) = || p – q || (siehe Euklidische Metrik) Metrik ohne Norm: z. B. diskrete Metrik –d (p, q) = 0 für p = q –d (p, q) = 1 für p q p q u

4 Definition Norm Eine Norm ist eine Funktion, die einem Element v eines Vektorraumes eine Länge || v || 0 zuweist, so daß gilt: –|| v || = 0 v = 0(Definitheit)nichtdefinit: Halbnorm –|| v || = | | || v ||(Homogenität) Verallgemeinerung der Symmetrie –|| v + w || || v || + || w ||(Dreiecksungleichung) Beispiel: Euklidische Norm –|| v || = ( v i ²) verallgemeinert: p-Norm –|| v || = ( |v i | p ) 1/p (p 1) p = 1: Betragssummennorm, Manhattan-Metrik || v || = |v i | p = 2: Euklidische Norm/Metrik p = : Maximumsnorm, || v || = max(|v i |)

5 legale p-Normen Konturenplots –|| v || = ( |v i | p ) 1/p mit p 1 –Kontur = Menge aller Vektoren mit || v || = c –c = 1: Einheits kreis (grün) –c = 0: Nullmenge (grau) p = 1p = 2p = 10 Betragssummennorm Manhattan-Metrik Euklidische Norm/Metrik geht in Richtung Maximumsnorm

6 illegale p-Normen Konturenplots –|| v || = ( |v i | p ) 1/p mit p < 1 –Kontur = Menge aller Vektoren mit || v || = c –c = 1: Einheits kreis (grün) –c = 0: Nullmenge (grau) p = 0.5p = -2p = -10 geht in Richtung Minimumsnorm –auch illegale p-Normen sind homogen –p < 1: Norm verletzt Dreiecksungleichung –p < 0: Norm verletzt Definitheit (|| v || = 0 v = 0) illegale Halbnorm

7 Schnitt Mathematik Psychologie

8 Semantische Räume Aktivierungsausbreitung im Langzeitgedächtnis: Perlmutter & Anderson (unveröffentlicht) Hund- KZocker- K KatzeKarte Knochen- FKnochen- F FleischFleisch... RZ: 1.41 sRZ: 1.53 s 120 ms Priming Effekt Hund Knochen Katze Fleisch Zocker Karte

9 Hund Knochen Katze Fleisch Zocker Karte Multidimensionale Skalierung Semantische Ähnlichkeitsurteile führen zur Schätzung einer Konfiguration der Begriffe in einem mehrdimensionalen Raum –Beispiel: Konfiguration von 8 Emotionsbegriffen in einer Ebene AAbscheu DBilligung GErwartung JFreude MFurcht PTraurigkeit TÜberraschung WWut –Vorausgesetzt wird: Es gibt einen mehrdimensionalen semantischen Raum mit euklidischer Metrik. Gefragt wird höchstens: Was bedeuten die Achsen? Wie hoch-dimensional ist der semantische Raum? Erregung positiv negativ

10 Hund Knochen Katze Fleisch Zocker Karte Multidimensionale Skalierung Abhängigkeit des Stresses (Abweichungsmaß) für verschiedene angenommene Dimensionszahlen von der tatsächlichen Dimensionalität –20 items –30 Wiederholungen angenommene Dimensionszahl Streß Dimensionalität von 1.2 Scharparameter: tatsächliche Dimensionalität,

11 Assoziationen Fragestellungen: Ist es sinnvoll, zwischen Begriffen (z. B. Knotenpunkten im Gedächtnismodel) Abstände definieren zu wollen? Sollten diese Abstände die Dreiecksungleichung erfüllen? –Intuitives Gegenargument: Bei Assoziationen helfen Eselsbrücken, d. h. Umwege können Abkürzungen sein. Was verbindet Wurst mit Gruppe? Der Abstand von Assoziationen könnte durch den kürzesten Partialabstand (Material, Funktion,...) bestimmt sein (Minimumsnorm). Ist es mathematisch sinnvoll / für die Modellbildung hilfreich / für die Empirie fruchtbar, Abstände zwischen Begriffen mit illegalen Normen zu beschreiben?

12 Gedächtnismodelle Klassisches Netzwerkmodell parallel distributed processing, PDP, neuronale Netzwerke –Ähnlichkeiten von Zuständen werden über Korrelationen definiert Hund Knochen Katze Fleisch Zocker Karte

13 Korrelationen Fragestellungen: Sind die bei neuronalen Netzwerken zur Beschreibung der Ähnlichkeit zweier Zustände verwendeten Korrelationen besser geeignet als Abstände zur Beschreibung der Beziehungen von semantischen Begriffen? Wie würde man Korrelationen in Abstände übersetzen? Negative Korrelationen würden in positive übersetzt. c (A, A) = 1 aus Korrelation 1 mach Abstand d 1 = 0 Halbmetrik Maximaler Abstand d 0 wenn c (A, B) = 0 Wenn die Dreiecksungleichung gelten soll,c(a...b,c...d) = 0, muß d 0 endlich sein: d 0 2d 0,5 c(a...b,a...d) = c(a...d,c...d) = 0,5 Korrelationsmetrik entspricht a...d Metrik auf Halbkugeloberfläche.a...b c...d

14 Fazit Eine an Korrelationen orientierte Metrik erhält die Dreiecksungleichung. Bei dieser Metrik gibt es einen maximalen Abstand. –Können wir mit der Vorstellung eines maximalen Abstands von Assoziationen leben? Lokal kann sie durch eine euklidische Metrik angenähert werden. –MDS verwandter Begriffe wäre sinnvoll und möglich. Eselsbrücken scheinen die Dreiecksungleichung zu verletzen. Aufgabe: Experimentelle Überprüfung der Dreiecksungleichung... –... aber wie? Hund Knochen Katze Fleisch Zocker Karte

15 Ausblick Aufgabe: Experimentelle Überprüfung der Dreiecksungleichung... –... aber wie? –Man kann nicht irgendein Assoziationsmaß A Ratings Priming Koinzidenz in Texten [Google]) direkt auf die Dreiecksungleichung testen, weil A mit d nicht linear zusammenhängen muß Sei d die Euklidische Metrik. Dann ist A = d² keine Metrik. Sei d (a, b) = d (b, c) = 1, d (a, c) = 2. Es gilt , aber nicht 1² + 1² 2². –Multidimensionale Skalierung läßt beliebigen Funktionszusammenhang zwischen A und d zu. Wenn man nur Monotonität fordert, wird A = f (d) rekonstruiert. Wenn die Dreiecksungleichung nicht gilt, sollte man das am Streß erkennen. Hund Knochen Katze Fleisch Zocker Karte

16 Probleme Aufgabe: Experimentelle Überprüfung der Dreiecksungleichung... –Multidimensionale Skalierung läßt beliebigen Funktionszusammenhang zwischen A und d zu. Wenn man nur Monotonität fordert, wird A = f (d) rekonstruiert. Wenn die Dreiecksungleichung nicht gilt, sollte man das am Streß erkennen...??? Monotone MDS birgt das Risiko der Entartung Simulationen mit Daten, die aus illegalen p-Normen erzeugt werden –führen vermutlich zu erhöhten Streß-Werten. So weit so gut... Einfluß von Rauschen (Datenfehlern) –verwechselbar mit Streß wegen Verletzung der Dreiecksungleichung? Einfluß von gekrümmten Topologien –möglicherweise erkennbar an der Streßverteilung: sollte eher Streß bei hohen Abständen ergeben als bei niedrigen. Sensitivität der MDS-Methode für Verletzungen der zugrundeliegenden Annahmen Hund Knochen Katze Fleisch Zocker Karte

17 confused Danke


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