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1 Stochastik I Erwartungswert Eine Aussage über die Zukunft.

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Präsentation zum Thema: "1 Stochastik I Erwartungswert Eine Aussage über die Zukunft."—  Präsentation transkript:

1 1 Stochastik I Erwartungswert Eine Aussage über die Zukunft

2 2 Beispiel 1 - Gewinnspiel Würfelspiel Würfelspiel X: Gewinn in € X: Gewinn in € Gewinnplan: Gewinnplan: Augenzahl Gewinn 1 € -2 € 0 € -2 € 1 € 3 €

3 3 10-malige Durchführung Augenzahl Gewinn 1 € -2 € 0 € -2 € 1 € 3 € Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit

4 4 Durchschnittlicher Gewinn pro Spiel Arithmetisches Mittel (durchschnittlicher Gewinn pro Spiel): Arithmetisches Mittel (durchschnittlicher Gewinn pro Spiel):Gewinn -2 € 0 € 1 € 3 € Relative Häufigkeit Verkürzt:

5 5 Vergangenheit -> Zukunft Arithmetisches Mittel Arithmetisches Mittel macht eine Aussage über die Vergangenheit. Wie lässt sich eine Aussage über die Zukunft machen? Wie lässt sich eine Aussage über die Zukunft machen? ZU ERWARTENDER (DURCHSCHNITTLICHER) GEWINN PRO SPIEL

6 6 Erwartungswert X i in € P(X=x i ) E(X) = Bei sehr vielen Spielen kann man mit einem durchschnittlichen Gewinn von 0,17€ pro Spiel rechnen. Augenzahl123456Gewinn 1 € -2 € 0 € -2 € 1 € 3 €

7 7 Erwartungswert E(X)=x 1 - P(X= x 1 )+x 2 - P(X= x 2 )+... x n - P(X= x n ) Statt E(X) schreibt man auch μ. Statt E(X) schreibt man auch μ. Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns für jeden Spieler 0 ist. Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns für jeden Spieler 0 ist.

8 8 Stochastik II Binomialverteilte Zufalls- variablen Bernoulli-Experimente

9 9 Bernoulli-Experiment Was ist das? Was ist das? Ein Bernoulli-Experiment ist –ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen ODER –ein Experiment, das als Experiment mit nur zwei Ergebnissen interpretierbar ist.

10 10 Bernoulli-Experiment Wie sehen die Wahrscheinlichkeiten aus? Wie sehen die Wahrscheinlichkeiten aus? Wahrscheinlichkeit für Treffer: p Wahrscheinlichkeit für Niete: 1-p

11 11 Bernoulli-Experiment Beispiel: Beispiel: –Werfen eines Würfels: Ergebnisse: „6“ (Treffer) oder „Keine 6“ (Niete) –Wahrscheinlichkeiten: P(„6“)=1/6P(„Keine 6“)=1-(1/6)=5/6

12 12 Bernoulli-Kette Was ist das? Was ist das? –Besteht ein Zufallsexperiment aus einem mehrfach durchgeführten Bernoulli- Experiment, so nennt man es Bernoulli- Kette. –Wird es n-mal durchgeführt, heißt es Bernoulli-Kette der Länge n. –Darstellung als Baumdiagramm möglich

13 13 Bernoulli-Ketten Beispiel: Beispiel: Werbung: Figur in jedem siebten Ü-Ei Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Eiern genau eine Figur zu erhalten?

14 14 Bernoulli-Ketten Zur Wahrscheinlichkeit für genau eine Figur gehören die folgenden drei Pfade P(FNN)= P(NFN)= P(NNF)= P(„1F“)= Anzahl der Pfade

15 15 Bernoulli-Ketten Problem Problem –Für größere n (z.B. n=10) sehr aufwendig und unübersichtlich! Lösung Lösung –Einführung einer Zufallsvariable –Benutzen der Binomialkoeffizienten

16 16 Erweitertes Beispiel Kauf von 10 Ü-Eiern Kauf von 10 Ü-Eiern Wahrscheinlichkeit für genau 4 Figuren Wahrscheinlichkeit für genau 4 Figurenn=10 X: Anzahl der Treffer bzw. der Figuren, X=4 p=,1-p= P(X=4)=

17 17 Bernoulli-Ketten Zufallsvariable Zufallsvariable –X: Anzahl der Treffer in n Versuchen Binomialkoeffizienten Binomialkoeffizienten –Anzahl der Möglichkeiten k Treffer in n Versuchen anzuordnen Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten –Trefferwahrscheinlichkeit p –Nietenwahrscheinlichkeit 1-p

18 18 Formel von Bernoulli n Versuchswiederholungen n Versuchswiederholungen p Trefferwahrscheinlichkeit p Trefferwahrscheinlichkeit 1-p Nietenwahrscheinlichkeit 1-p Nietenwahrscheinlichkeit P(X=k) Wahrscheinlichkeit für k Treffer P(X=k) Wahrscheinlichkeit für k Treffer P(X=k)=

19 19 Beispiel: Tierarzt Ein Tierarzt behandelt 20 kranke Tiere mit einem Medikament, das in 80% zur Heilung führen soll. Ein Tierarzt behandelt 20 kranke Tiere mit einem Medikament, das in 80% zur Heilung führen soll. Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 19 Tiere geheilt werden? P(X ≥ 19)=

20 20 Erwartungswert Erwartungswert für die Anzahl der geheilten Tiere? Erwartungswert für die Anzahl der geheilten Tiere? Allgemeine Formel: Allgemeine Formel: E(X)=x 1 - P(X= x 1 )+x 2 - P(X= x 2 )+... x n - P(X= x n ) Hier gilt: Hier gilt: E(X)= E(X)= Einfachere Berechnung: E(X) = % = 16

21 21 Erwartungswert bei einer Bernoulli-Kette E(X) = n - p - n Länge der Bernoulli-Kette - pTrefferwahrscheinlichkeit - E(X)Erwartungswert für die Zufallsvariable X


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