Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Primzahlzwillingsrekorde – nicht nur eine Jagd nach Monstern Karl-Heinz Indlekofer Stefan Wehmeier Arbeitsgruppe Zahlentheorie Universität Padeborn.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Primzahlzwillingsrekorde – nicht nur eine Jagd nach Monstern Karl-Heinz Indlekofer Stefan Wehmeier Arbeitsgruppe Zahlentheorie Universität Padeborn."—  Präsentation transkript:

1 Primzahlzwillingsrekorde – nicht nur eine Jagd nach Monstern Karl-Heinz Indlekofer Stefan Wehmeier Arbeitsgruppe Zahlentheorie Universität Padeborn

2 Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik. C.F. Gauß (1777-1855)

3 Fraktale

4 Weltrekord aus Paderborn

5 Definition Primzahl Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p größer als 1, die durch keine andere Zahl als durch 1 und sich selbst geteilt wird.

6 Das Sieb des Eratosthenes 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950

7 Das Sieb des Eratosthenes 2 3 4 5 6 7 8 910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 1 wird gestrichen 2 erste Primzahl also alle Vielfachen von 2 keine Primzahlen

8 Das Sieb des Eratosthenes 2 3 4 5 6 7 8 910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 Nächste Primzahl: 3 alle Vielfachen von 3 keine Primzahlen

9 Das Sieb des Eratosthenes 2 3 4 5 6 7 8 910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 Nächste Primzahl: 5 streiche alle Vielfachen von 5

10 Das Sieb des Eratosthenes 2 3 4 5 6 7 8 910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 Nächste Primzahl: 7 streiche alle Vielfachen von 7

11 Das Sieb des Eratosthenes 2 3 4 5 6 7 8 910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 Die verbleibenden Zahlen sind nun alle Primzahlen zwischen 0 und 50

12 12345 678910 1112131415 1617181920 2122232425 2627282930

13 3132333435 3637383940 4142434445 4647484950 5152535455 5657585960

14 6162636465 6667686970 7172737475 7677787980 8182838485 8687888990

15 13011302130313041305 13061307130813091310 13111312131313141315 13161317131813191320 13211322132313241325 13261327132813291330

16 13311332133313341335 13361337133813391340 13411342134313441345 13461347134813491350 13511352135313541355 13561357135813591360

17 13611362136313641365 13661367136813691370 13711372137313741375 13761377137813791380 13811382138313841385 13861387138813891390

18 13911392139313941395 13961397139813991400 14011402140314041405 14061407140814091410 14111412141314141415 14161417141814191420

19 Euklid von Alexandria Gelebt von ca. 330 bis ca. 275 v. Chr. „Die Elemente“ ein 13-bändiges Kompendium des damaligen Mathematik-Wissens

20 Es gibt unendlich viele Primzahlen. Annahme: Es gibt nur endlich viel Primzahlen p 1,..., p n. Betrachte nun n := p 1 *... * p n +1. n ist nicht durch p 1,..., p n teilbar. Also muss n selbst Primzahl sein oder aus Primzahlen zusammen gesetzt sein, die von p 1,..., p n verschieden sind.Widerspruch! 2 kleine Beispiele:2*3+1=7 2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509 Es gibt also unendlich viele Primzahlen.

21 Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine erzeugte Zahl prim? Zahlen von 90000 – 92000 Anzahl: 2000 Davon Primzahlen: 174 Vermutung von Gauß: eine Zufallszahl ist mit Wahrscheinlichkeit eine Primzahl

22 Carl Friedrich Gauß * 30. April 1777 in Braunschweig  23. Februar 1855 in Göttingen Schon als Kind begeistert von der Mathematik Der Herzog von Braunschweig ermöglichte ihm das Studium am Collegium Carolinum in Braunschweig Einige Erfolge: –Methode der kleinsten Quadrate –Das Gesetz der normalen Fehlerverteilung –Fundamentalsatz der Algebra

23 Primzahlen in Intervallen

24 Der exakte Beweis... paßt leider nicht auf diese Folie Er wurde im Jahr 1896 von Hadamard und de la Valée-Poussin erbracht Der Beweis macht einen „Umweg“, indem er die Theorie der Funktionen über den komplexen Zahlen verwendet Inzwischen kennt man noch weitere Beweise

25 Jacques Salomon HadamardCharles Jean Gustave de la Vallée Poussin * 8. Dez. 1865, Versailles (Frankreich)* 14. Aug. 1866, Louvain (Belgien)  17. Okt. 1963, Paris (Frankreich)  2. März 1962, Louvain (Belgien)

26 Was sind Primzahlzwillinge? 2 3 4 5 6 7 8 910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950

27 Godfrey Harold HardyJohn Edensor Littlewood * 7. Feb. 1877 Cranleigh (England)* 9. Juni 1885 Rochester (England)  1. Dez. 1947 Cambridge (England)  6. Sep. 1977 Cambridge (England)

28 Die Wahrscheinlichkeit ein Primzahlzwillingspaar zu finden Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl p Primzahl ist, ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass p+2 Primzahl ist, ist. Hardy-Littlewood: Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl p als auch p+2 Primzahlen sind, ist ungefähr.

29 Primzahlzwillinge in Intervallen

30 Die Forschung Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist ein offenes Problem! Ziel: Das Finden von möglichst großen Primzahlzwillingen

31 Primzahltests Probedivision: eine Zahl n ist genau dann Primzahl, wenn sie keinen Teiler zwischen 1 und hat. Man kann also versuchen, n durch alle kleineren Zahlen zu dividieren. Rechnet man (großzügig) 1 Milliarde Divisionen pro Sekunde, so schafft man pro Jahr etwa 3*10^16 Divisionen, seit Entstehung der Welt also etwa 5*10^26 Divisionen. Man hätte in dieser Zeit also eine 53-stellige Zahl testen können. In der Mathematik der Gegenwart untersucht man jedoch zum Teil Zahlen mit mehreren Millionen Stellen! Gibt es schnellere Verfahren?

32 Pierre de Fermat * 17. August 1601 Beaumont-de-Lomagne (Frankreich)  12. Januar 1665 Castres (Frankreich) Berühmt vor allem durch seinen „letzten Satz“: Sind und, so gilt

33 Der Test von Fermat Satz von Fermat: Wenn p eine Primzahl ist, so gilt für jede Zahl a,, dass den Rest 1 lässt. Aber: es gibt auch Zahlen, die keine Primzahlen sind und für die diese Aussage für sehr viele a gilt

34 Beispiel p=5 (Primzahl) a=1 a=2 a=3 a=4

35 Beispiel p=6 (keine Primzahl) a=1 a=2f a=3f a=4f a=5f

36 Gary L. MillerMichael O. Rabin

37 Der Miller-Rabin-Test Satz von Miller-Rabin: Wenn p eine ungerade Primzahl ist, so lässt den Rest 1 oder p-1. Wenn p keine Primzahl ist, so lässt für mindestens ¾ aller a einen anderen Rest.

38 Problem Unsere p haben etwa 20.000 Dezimalstellen, um auszurechnen braucht man sehr viele Multiplikationen großer Zahlen.

39 Multiplizieren in der Schule 13456923 * 67890125 67890125 203670375 271560500 339450625 407340750 611011125 135780250 203670375 913592184585375 Verdoppelt man die Zahl der Stellen, so vervierfacht sich der Aufwand!

40 Das Karazuba-Verfahren 1)Schreibe 2 gegebene 2n-stellige Zahlen als a * 10^n + b bzw. c * 10^n + d 2)Dann gilt: (a * 10^n + b)(c * 10^n + d) = (ac)*10^2n + (ad + bc)*10^n + bd 3)Weiter gilt: (a + b)(c + d) = ac + (ad + bc) + bd 4)Man kann also die Multiplikation von zwei 2n-stelligen Zahlen auf drei Multiplikationen von n- stelligen Zahlen (ac, (a+b)(c+d), bd) sowie einigen Additionen zurückführen. 1) 13456923 = 1345 * 10^4 + 6923 67890125 = 6789 * 10^4 + 125 n = 4, a = 1345, b = 6923, c = 6789, d = 125 3) 1345 + 6923 = 8268 6789 + 125 = 6914 8268 * 6914 = 57164952 1345 * 6789 = 9131205 6923 * 125 = 865375 (a*d+b*c) = 57164952 – 865375 9131205 = 47168372 2) + 865375 = 913592184585375

41 Anatolii Alekseevich Karazuba Geboren 31.1.1937 in Grozny 1954-1959 Studium in Moskau 1962: Entdeckung seines berühmten Algorithmus Seit 1983 Dekan des Bereichs Zahlentheorie am Stekhlov-Institut

42 Es geht noch schneller...

43 Rekord Primzahlzwillinge


Herunterladen ppt "Primzahlzwillingsrekorde – nicht nur eine Jagd nach Monstern Karl-Heinz Indlekofer Stefan Wehmeier Arbeitsgruppe Zahlentheorie Universität Padeborn."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen