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Primzahlzwillingsrekorde – nicht nur eine Jagd nach Monstern Karl-Heinz Indlekofer Stefan Wehmeier Arbeitsgruppe Zahlentheorie Universität Padeborn.

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1 Primzahlzwillingsrekorde – nicht nur eine Jagd nach Monstern Karl-Heinz Indlekofer Stefan Wehmeier Arbeitsgruppe Zahlentheorie Universität Padeborn

2 Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik. C.F. Gauß ( )

3 Fraktale

4 Weltrekord aus Paderborn

5 Definition Primzahl Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p größer als 1, die durch keine andere Zahl als durch 1 und sich selbst geteilt wird.

6 Das Sieb des Eratosthenes

7 Das Sieb des Eratosthenes wird gestrichen 2 erste Primzahl also alle Vielfachen von 2 keine Primzahlen

8 Das Sieb des Eratosthenes Nächste Primzahl: 3 alle Vielfachen von 3 keine Primzahlen

9 Das Sieb des Eratosthenes Nächste Primzahl: 5 streiche alle Vielfachen von 5

10 Das Sieb des Eratosthenes Nächste Primzahl: 7 streiche alle Vielfachen von 7

11 Das Sieb des Eratosthenes Die verbleibenden Zahlen sind nun alle Primzahlen zwischen 0 und 50

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19 Euklid von Alexandria Gelebt von ca. 330 bis ca. 275 v. Chr. „Die Elemente“ ein 13-bändiges Kompendium des damaligen Mathematik-Wissens

20 Es gibt unendlich viele Primzahlen. Annahme: Es gibt nur endlich viel Primzahlen p 1,..., p n. Betrachte nun n := p 1 *... * p n +1. n ist nicht durch p 1,..., p n teilbar. Also muss n selbst Primzahl sein oder aus Primzahlen zusammen gesetzt sein, die von p 1,..., p n verschieden sind.Widerspruch! 2 kleine Beispiele:2*3+1=7 2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509 Es gibt also unendlich viele Primzahlen.

21 Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine erzeugte Zahl prim? Zahlen von – Anzahl: 2000 Davon Primzahlen: 174 Vermutung von Gauß: eine Zufallszahl ist mit Wahrscheinlichkeit eine Primzahl

22 Carl Friedrich Gauß * 30. April 1777 in Braunschweig  23. Februar 1855 in Göttingen Schon als Kind begeistert von der Mathematik Der Herzog von Braunschweig ermöglichte ihm das Studium am Collegium Carolinum in Braunschweig Einige Erfolge: –Methode der kleinsten Quadrate –Das Gesetz der normalen Fehlerverteilung –Fundamentalsatz der Algebra

23 Primzahlen in Intervallen

24 Der exakte Beweis... paßt leider nicht auf diese Folie Er wurde im Jahr 1896 von Hadamard und de la Valée-Poussin erbracht Der Beweis macht einen „Umweg“, indem er die Theorie der Funktionen über den komplexen Zahlen verwendet Inzwischen kennt man noch weitere Beweise

25 Jacques Salomon HadamardCharles Jean Gustave de la Vallée Poussin * 8. Dez. 1865, Versailles (Frankreich)* 14. Aug. 1866, Louvain (Belgien)  17. Okt. 1963, Paris (Frankreich)  2. März 1962, Louvain (Belgien)

26 Was sind Primzahlzwillinge?

27 Godfrey Harold HardyJohn Edensor Littlewood * 7. Feb Cranleigh (England)* 9. Juni 1885 Rochester (England)  1. Dez Cambridge (England)  6. Sep Cambridge (England)

28 Die Wahrscheinlichkeit ein Primzahlzwillingspaar zu finden Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl p Primzahl ist, ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass p+2 Primzahl ist, ist. Hardy-Littlewood: Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl p als auch p+2 Primzahlen sind, ist ungefähr.

29 Primzahlzwillinge in Intervallen

30 Die Forschung Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist ein offenes Problem! Ziel: Das Finden von möglichst großen Primzahlzwillingen

31 Primzahltests Probedivision: eine Zahl n ist genau dann Primzahl, wenn sie keinen Teiler zwischen 1 und hat. Man kann also versuchen, n durch alle kleineren Zahlen zu dividieren. Rechnet man (großzügig) 1 Milliarde Divisionen pro Sekunde, so schafft man pro Jahr etwa 3*10^16 Divisionen, seit Entstehung der Welt also etwa 5*10^26 Divisionen. Man hätte in dieser Zeit also eine 53-stellige Zahl testen können. In der Mathematik der Gegenwart untersucht man jedoch zum Teil Zahlen mit mehreren Millionen Stellen! Gibt es schnellere Verfahren?

32 Pierre de Fermat * 17. August 1601 Beaumont-de-Lomagne (Frankreich)  12. Januar 1665 Castres (Frankreich) Berühmt vor allem durch seinen „letzten Satz“: Sind und, so gilt

33 Der Test von Fermat Satz von Fermat: Wenn p eine Primzahl ist, so gilt für jede Zahl a,, dass den Rest 1 lässt. Aber: es gibt auch Zahlen, die keine Primzahlen sind und für die diese Aussage für sehr viele a gilt

34 Beispiel p=5 (Primzahl) a=1 a=2 a=3 a=4

35 Beispiel p=6 (keine Primzahl) a=1 a=2f a=3f a=4f a=5f

36 Gary L. MillerMichael O. Rabin

37 Der Miller-Rabin-Test Satz von Miller-Rabin: Wenn p eine ungerade Primzahl ist, so lässt den Rest 1 oder p-1. Wenn p keine Primzahl ist, so lässt für mindestens ¾ aller a einen anderen Rest.

38 Problem Unsere p haben etwa Dezimalstellen, um auszurechnen braucht man sehr viele Multiplikationen großer Zahlen.

39 Multiplizieren in der Schule * Verdoppelt man die Zahl der Stellen, so vervierfacht sich der Aufwand!

40 Das Karazuba-Verfahren 1)Schreibe 2 gegebene 2n-stellige Zahlen als a * 10^n + b bzw. c * 10^n + d 2)Dann gilt: (a * 10^n + b)(c * 10^n + d) = (ac)*10^2n + (ad + bc)*10^n + bd 3)Weiter gilt: (a + b)(c + d) = ac + (ad + bc) + bd 4)Man kann also die Multiplikation von zwei 2n-stelligen Zahlen auf drei Multiplikationen von n- stelligen Zahlen (ac, (a+b)(c+d), bd) sowie einigen Additionen zurückführen. 1) = 1345 * 10^ = 6789 * 10^ n = 4, a = 1345, b = 6923, c = 6789, d = 125 3) = = * 6914 = * 6789 = * 125 = (a*d+b*c) = – = ) =

41 Anatolii Alekseevich Karazuba Geboren in Grozny Studium in Moskau 1962: Entdeckung seines berühmten Algorithmus Seit 1983 Dekan des Bereichs Zahlentheorie am Stekhlov-Institut

42 Es geht noch schneller...

43 Rekord Primzahlzwillinge


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