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Methoden der Politikwissenschaft Faktorenanalyse Siegfried Schumann.

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Präsentation zum Thema: "Methoden der Politikwissenschaft Faktorenanalyse Siegfried Schumann."—  Präsentation transkript:

1 Methoden der Politikwissenschaft Faktorenanalyse Siegfried Schumann

2 2 Organisatorische Vorbemerkungen: Für Sozialwissenschaften meist irrelevant: –Vorgeschaltete Mittelwertbildung (Hausfrauen-Urteile) Nicht behandelt: –Eignung der Korrelationsmatrix –Graphische Interpretation der Faktoren

3 3 Übersicht zur Faktorenanalyse (FA) 1. Korrelationsmatrix: 2. Grundgleichung der FA: Ladung · Score 3. Durch Einsetzen: Korrelationsmatrix der Faktoren „C“ Falls Faktoren unkorreliert: C = Einheitsmatrix: (Fundamentaltheorem d. FA) 4. Erweiterung: (spez. Varianz + Messfehler; wird festgelegt; Ladungen werden so gewählt, dass 1. Faktor max. Varianz erklärt) 5. Berechnung der Faktorwerte: Gleichung nicht immer lösbar; Ergebnis: Faktorscores Beobachteter Wert ↔ Linearkombination mehrerer (errechneter) Faktoren

4 4 Vorarbeiten: Berechnung der Standardabweichung VitamingehaltHaltbarkeitPreis (x-AM)(x-AM) 2 (x-AM)(x-AM) 2 (x-AM)(x-AM) 2 -1,666672, ,500006, ,666677, ,666670, ,500000, ,666670, ,333330,111110,500000,250000,333330, , ,500002, ,666672, ,666670,444451,500002,250002,333335, ,333330,111112,500006,250002,333335,44443 SAQ: 9,33334SAQ: 17,50000SAQ: 21,33334 SD: 1,36626SD: 1,87083SD: 2,06559 Anteil unges. Fettsäuren:AM = 2,83333(S. 193)SD = 1,47196(S. 199) Kaloriengehalt:AM = 4,16667(S. 193)SD = 1,94079(S. 199) Vitamingehalt:AM = 3,66667(S. 193)SD = 1,36626(Tabelle) Haltbarkeit:AM = 3,50000(S. 193)SD = 1,87083(Tabelle) Preis:AM = 4,66667(S. 193)SD = 2,06559(Tabelle )

5 5 z-standardisierte Ausgangswertetransponierte Matrix RamaSanellaBecelDu darfst Holl. Butter Weihn. Butter AFKaViHaPr AF- 1, , ,792601, , , , , , , ,29100 Ka- 1, ,944630,429380, , , , , , , ,32275 Vi- 1, , ,243971, , ,243970,792600,429380,243970,267260,16137 Ha- 1, , , , ,801781,336311,471960,944631, , ,80687 Pr- 1, , , , , , , , ,801781, , ,085880,243971,336311,12962 Korrelationsmatrix AFKaViHaPr AF (Anteil unges. Fetts.)1,000000,711760,961340,108940,04385 Ka (Kaloriengehalt)0,711761,000000,703970,137710,06652 Vi (Vitamingehalt)0,961340,703971,000000,078250,02362 Ha (Haltbarkeit)0,108940,137710,078251,000000,98334 Pr (Preis)0,043850,066520,023620,983341,00000 Errechnung der Korrelationsmatrix aus z-Werten Zur Erinnerung:

6 6 Konstellation (Demonstrationsbeispiel nach Bortz): Untersucht werden 6 „Objekte“ (Personen): –Karin, Heinz, Sonja, Kurt, Eva, Karl Die „Objekte“ haben Ausprägungen bei den „Merkmalen“ (Testergebnisse): –Bi: Bilderrätsel –Ma: Mathematikaufgabe –Pu: Puzzle –Re: Reproduktions (Gedächtnis-) Aufgabe –Kr: Kreuzworträtsel Es ergeben sich folgende korrelative Zusammenhänge (schematisch): F 1 : praktische Intelligenz F 2 : theoret. Intelligenz + F 3 + F 4 + F 5 Bi Pu Re Ma Kr Vermutung: –Scheinkorrelation! Nur wenn diese Vermutung zutrifft, ist eine FA sinnvoll!

7 7 Zur Grundgleichung der FA (Bortz-Beispiel) Bildung von 5 neuen orthogonalen Variablen (bei n = 5 „Merkmalen“) –F 1 + F 2 + F 3 + F 4 + F 5 –Schritt für Schritt nacheinander – rein rechnerisch! –Restriktion: jeweils maximale (Rest-)Varianzerklärung –bei n = 5 Faktoren: gesamte Ausgangsvarianz erklärt! Korrelation der neuen Variablen (Faktoren) mit den ursprünglichen Variablen –F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 ∙ Bi Ma Pu Re Kr –Ladungen: a Für die neuen Variablen (Faktoren) gilt: –Für jedes „Objekt“ wird eine Ausprägung auf jedem Faktor errechnet. –Faktorscore: p Beispiele zum Fundamentaltheorem der Faktorenanalyse (S. 207 / 208) –X (Bilderrätsel, Eva) = a (Bilderrätsel, F1) ∙ p (F1, Eva) + a (Bilderrätsel, F2) ∙ p (F2, Eva) + … + a (Bilderrätsel, F5) ∙ p (F5, Eva) –X (Puzzle, Heinz) = a (Puzzle, F1) ∙ p (F1, Heinz) + a (Puzzle, F2) ∙ p (F2, Heinz) + … + a (Puzzle, F5) ∙ p (F5, Heinz) Nutzen der „Umrechnung“? Abbruchmöglichkeit ! Beobachteter Wert ↔ Linearkombination mehrerer (errechneter) Faktoren

8 8 Untersucht werden 6 „Objekte“: –Rama, Sanella, Becel, Du darfst, Holländische Butter, Weihnachtsbutter Die „Objekte“ haben Ausprägungen bei den „Merkmalen“ (Variablen): –AF: Anteil ungesättigter Fettsäuren –Ka: Kaloriengehalt –Vi: Vitamingehalt –Ha: Haltbarkeit –Pr: Preis Es ergeben sich folgende korrelative Zusammenhänge (schematisch): F 1 : Gesundheit F 2 : Wirtschaftlichkeit + F 3 + F 4 + F 5 AF Ka Vi Ha Pr Vermutung: –Scheinkorrelation! Nur wenn diese Vermutung zutrifft, ist eine FA sinnvoll! Konstellation (Backhaus u.a.):

9 9 Zur Grundgleichung der FA (Backhaus u.a.) Bildung von 5 neuen orthogonalen Variablen (bei n = 5 „Merkmalen“) –F 1 + F 2 + F 3 + F 4 + F 5 –Schritt für Schritt nacheinander – rein rechnerisch! –Restriktion: jeweils maximale (Rest-)Varianzerklärung –bei n = 5 Faktoren: gesamte Ausgangsvarianz erklärt! Korrelation der neuen Variablen (Faktoren) mit den ursprünglichen Variablen –F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 ∙ AF Ka Vi Ha Pr –Ladungen: a Für die neuen Variablen (Faktoren) gilt: –Für jedes „Objekt“ wird eine Ausprägung auf jedem Faktor errechnet. –Faktorscore: p Beispiele zum Fundamentaltheorem der Faktorenanalyse (S. 207 / 208) –X (Kalorien, Becel) = a (Kalorien, F1) ∙ p (F1, Becel) + a (Kalorien, F2) ∙ p (F2, Becel) + … + a (Kalorien, F5) ∙ p (F5, Becel) –X (Preis, Du darfst) = a (Preis, F1) ∙ p (F1, Du darfst) + a (Preis, F2) ∙ p (F2, Du darfst) + … + a (Preis, F5) ∙ p (F5, Du darfst) Nutzen der „Umrechnung“? Abbruchmöglichkeit !

10 10 Weitere Schritte der Faktorenanalyse I Kommunalitätenproblem –R = A ∙ A´ + U –Explizite Unterscheidung in gemeinsame Faktoren: A – spezifische Faktoren: U –U beschreibt spezifische Varianz einer Variablen + Meßfehler –Der Teil der Gesamtvarianz einer Variablen, der durch die Faktoren erklärt werden soll, muss festgelegt werden (Kommunalität) Schätzung der Kommunalitäten –Gesamte Varianz soll erklärt werden → Hauptkomponentenanalyse (PC) –Schätzung nach inhaltlichen Vorgaben → Hauptachsenanalyse (PAF)  Kriterium oft: r 2 max mit anderer Variablen; multiples Bestimmtheitsmaß –Bestimmung durch Iterationsprozeß → Hauptachsenanalyse (PAF)  keine Eingriffsmöglichkeit;  Kriterium: Konvergenz der Iterationen;  Startwert oft: Multiples Bestimmtheitsmaß Items: keine Einzelrestvarianz! (spez. Varianz + Fehlervarianz) SPS S

11 11 Weitere Schritte der Faktorenanalyse II Festlegung der Zahl der zu extrahierenden Faktoren –Kaiser-Kriterium –Scree-Test Meist (oblique/rechtwinklige) Rotation der Faktoren (Varimax) –„gleichwertige Lösungen“ –Ziel meist: möglichst gute Annäherung an Einfachstruktur –Gelegentlich: schiefwinklige Rotation  eigentlich wäre jetzt neue FA nötig! Interpretation der Faktoren! –erster Schritt: Ladungen!

12 12 Weitere Schritte der Faktorenanalyse III Bestimmung der Faktorwerte (Scores) –Z = A ∙ P (Grundgleichung der FA; Z ist bekannt; A wurde bestimmt) –Auflösung nach P: Z = A ∙ P │mult. von links mit inverser Matrix A -1 ∙ Z = A -1 ∙ A ∙ P │ A -1 ∙ A = E (Einheitsmatrix) A -1 ∙ Z = E ∙ P │ E ∙ P = P A -1 ∙ Z = P –Problem: i.d.R. nicht quadratische Faktorenmuster A (Ziel: weniger Faktoren als Variablen!) → Matrix-Inversion nicht möglich! –Lösung: Schätzverfahren (s. S. 232)

13 13 Beispiel: SPSS-Kommando FACTOR /VARIABLES fr10_1 fr10_2 fr10_3 fr10_4 fr10_5 fr10_6 fr10_7 fr10_8 fr10_9 fr10_10 fr10_11 z11.1 z11.3 /MISSING LISTWISE /ANALYSIS fr10_1 fr10_2 fr10_3 fr10_4 fr10_5 fr10_6 fr10_7 fr10_8 fr10_9 fr10_10 fr10_11 z11.1 z11.3 /PRINT UNIVARIATE CORRELATION EXTRACTION ROTATION /FORMAT SORT /PLOT EIGEN /CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25) /EXTRACTION PAF /CRITERIA ITERATE(25) /ROTATION VARIMAX /METHOD=CORRELATION.

14 14 Mittelwert Standardab weichun g Analyse N fr10_1 Institutionenvertrauen: Bundestag 4,852, fr10_2 Institutionenvertrauen: Bundesverfassungsgericht 6,352, fr10_3 Institutionenvertrauen: Verwaltung 4,802, fr10_4 Institutionenvertrauen: Bundesregierung 4,312, fr10_5 Institutionenvertrauen: Gerichte 5,922, fr10_6 Institutionenvertrauen: Parteien 3,772, fr10_7 Institutionenvertrauen: Polizei 6,402, fr10_8 Institutionenvertrauen: Bundeswehr 6,042, fr10_9 Institutionenvertrauen: katholische Kirche 4,372, fr10_10 Institutionenvertrauen: evangelische Kirche 4,822, fr10_11 Institutionenvertrauen Gewerkschaften 4,262, z11.1 Vertrauen - Kirchen 4,612, z11.3 Vertrauen - Wirtschafts-/Arbeitgeberverbände 3,942, Deskriptive Statistiken

15 15 Screeplot

16 16 Faktor 123 fr10_1 Institutionenvertrauen: Bundestag,769-,303,186 fr10_3 Institutionenvertrauen: Verwaltung,752-,125,015 fr10_5 Institutionenvertrauen: Gerichte,738-,162-,221 fr10_2 Institutionenvertrauen: Bundesverfassungsgericht,709-,214-,178 fr10_6 Institutionenvertrauen: Parteien,705-,204,277 fr10_7 Institutionenvertrauen: Polizei,703,007-,536 fr10_4 Institutionenvertrauen: Bundesregierung,688-,342,360 fr10_10 Institutionenvertrauen: evangelische Kirche,647,501,113 fr10_9 Institutionenvertrauen: katholische Kirche,624,593,142 fr10_8 Institutionenvertrauen: Bundeswehr,584,044-,401 z11.1 Vertrauen - Kirchen,498,496,115 fr10_11 Institutionenvertrauen: Gewerkschaften,469-,083,171 z11.3 Vertrauen - Wirtschafts-/Arbeitgeberverbände,372,119,010 Faktormatrix (unrotiert!) Extraktionsmethode: Hauptachsen-Faktorenanalyse. 3 Faktoren extrahiert. Es werden 12 Iterationen benötigt.

17 17 Extraktion fr10_1 Institutionenvertrauen: Bundestag,717 fr10_2 Institutionenvertrauen: Bundesverfassungsgericht,581 fr10_3 Institutionenvertrauen: Verwaltung,581 fr10_4 Institutionenvertrauen: Bundesregierung,719 fr10_5 Institutionenvertrauen: Gerichte,619 fr10_6 Institutionenvertrauen: Parteien,616 fr10_7 Institutionenvertrauen: Polizei,781 fr10_8 Institutionenvertrauen: Bundeswehr,504 fr10_9 Institutionenvertrauen: katholische Kirche,761 fr10_10 Institutionenvertrauen: evangelische Kirche,683 fr10_11 Institutionenvertrauen: Gewerkschaften,256 z11.1 Vertrauen - Kirchen,508 z11.3 Vertrauen - Wirtschafts-/Arbeitgeberverbände,153 Kommunalitäten Extraktionsmethode: Hauptachsen-Faktorenanalyse.

18 18 Faktor Summen von quadrierten Faktorladungen für Extraktion Rotierte Summe der quadrierten Ladungen Gesamt% der VarianzKumulierte %Gesamt% der VarianzKumulierte % 1 5,42441,726 2,97322, ,2109,30551,0312,31117,77740,648 3,8456,50157,5322,19516,88457,532 Erklärte Gesamtvarianz – unrotiert / rotiert Extraktionsmethode: Hauptachsen-Faktorenanalyse. Eigenwerte

19 19 Faktor 123 fr10_4 Institutionenvertrauen: Bundesregierung,828,132,127 fr10_1 Institutionenvertrauen: Bundestag,769,315,161 fr10_6 Institutionenvertrauen: Parteien,723,194,234 fr10_3 Institutionenvertrauen: Verwaltung,574,426,265 fr10_11 Institutionenvertrauen: Gewerkschaften,447,134,197 fr10_7 Institutionenvertrauen: Polizei,180,835,228 fr10_8 Institutionenvertrauen: Bundeswehr,153,653,232 fr10_5 Institutionenvertrauen: Gerichte,459,615,173 fr10_2 Institutionenvertrauen: Bundesverfassungsgericht,490,570,126 fr10_9 Institutionenvertrauen: katholische Kirche,179,172,837 fr10_10 Institutionenvertrauen: evangelische Kirche,228,218,764 z11.1 Vertrauen - Kirchen,131,133,688 z11.3 Vertrauen - Wirtschafts-/Arbeitgeberverbände,190,189,284 Extraktionsmethode: Hauptachsen-Faktorenanalyse. Rotationsmethode: Varimax mit Kaiser-Normalisierung. a Die Rotation ist in 5 Iterationen konvergiert. Rotierte Faktorenmatrix

20 20 Zusammenfassung der Ergebnisse Ladung (unrotierte Lösung) Kommu-Ladung (rotierte Lösung)Kommu- 12 3nalität123 fr10_4,688-,342,360,719,828,132,127,719 fr10_1,769-,303,186,717,769,315,161,717 fr10_6,705-,204,277,616,723,194,234,616 fr10_3,752-,125,015,581,574,426,265,581 fr10_11,469-,083,171,256,447,134,197,256 fr10_7,703,007 -,536,781,180,835,228,781 fr10_8,584,044 -,401,504,153,653,232,504 fr10_5,738-,162 -,221,619,459,615,173,619 fr10_2,709-,214 -,178,581,490,570,126,581 fr10_9,624,593,142,761,179,172,837,761 fr10_10,647,501,113,683,228,218,764,683 z11.1,498,496,115,508,131,133,688,508 z11.3,372,119,010,153,190,189,284,153 Σ Ladung Σ Σ %erkl. Var Σ Σ erklärte Varianz insgesamt: % erkl. Varianz = Eigenwerte : 13 Eigenwerte

21 21 SPSS-Ergebnis für: PC, NFACTORS = 13 !

22 22 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!


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