Zur Genese stochastischen Denkens Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena MNU Hannover 2002.

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1 Zur Genese stochastischen Denkens Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena MNU Hannover 2002

2 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Gliederung Einige Anmerkungen zur historischen Genese stochastischen Denkens Ein persönlicher Weg Einige Unterrichtsvorschläge Fokus: Sekundarstufe I; Vorbereitung von Aufstellen und Testen von Hypothesen

3 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Zur historischen Genese stochastischen Denkens Literatur: Robert Ineichen: Würfel und Wahrscheinlichkeit. Spektrum 1996 Ivo Schneider: Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie von den Anfängen bis 1933. Wissensch. Buchgesellschaft 1988. Barth/Haller: Stochastik Leistungskurs. Ehrenwirth 1996.

4 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Zur historischen Genese stochastischen Denkens Zwei (nicht schnittfreie) Linien bis heute fundamental: Objektivistische (aleatorische) Linie: Glücksspiele/Würfelspiele; problem- und handlungsbezogen, eher praktisch Subjektivistische (epistemologische) Linie: Mutmassungen; Einschätzungen, begriffsorientiert, eher theoretisch

5 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Objektivistische Linie Pakistan, Ende 3. Jahrt. v. Chr. Älteste bekannte Würfel: Mesopotamien, Anfang 3. Jahrtausend v. Chr.

6 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Brettspiel aus Ur/Mesop. ca. 2500 v. Chr.

7 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena „Würfel“ dazu von folgender Art:

8 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Achill und Ajax beim Würfelspiel ca. 530 v. Chr.

9 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Spiele mit „Astragalen“

10 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Astragale: Punkteverteilung

11 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Subjektivistische Linie - Stufungen der Wahrscheinlichkeit Jaina-Logik in Indien ca. 500 v. Chr.: sieben Modi (Möglichkeiten, „Grade der Sicherheit“) der Erkenntnis über Ereignisse Aristoteles: Topik Karneades (ca. 200 v. Chr.) : 3 Stufen der Glaubwürdigkeit Quintilianus (ca. 100 n. Chr.) analog

12 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Kombinatorisches Denken Veden (Indien), 800 v. Chr.; Verse, Medizin Jaina (Indien) 500 v. Chr. Kombinations- möglichkeiten philosophischer Basisdoktrinen Lullus 13. Jahrh., Lobpreisungen Gottes Leibniz 1666 (Dissertatio de Arte Combinatoria)

13 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Resümee: historische Genese Keine quantitative Erfassung von Wahrscheinlichkeiten Keine explizite Formulierung des Gesetzes der Grossen Zahlen Keine idealtypischen Vorstellungen von „gleichwahrscheinlich“ (vgl. Schüler!) Lange Zeit Vorstellungen der Art „kein Zufall, sondern Gottesfügung“ (vgl. „animistische“ Vorstellungen bei Grundschülern; Wollring) Länger als in anderen Bereichen der Mathematik kaum begriffliche und quantitative Ausschärfung

14 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Ars conjectandi: Die „Elemente der W.-Rechnung“ von

15 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Einige erste didaktische Konsequenzen Auch deswegen überwiegend problem- und handlungsorientiert vorgehen Verständnis für ggf. größere Schwierigkeiten bei der Bildung stochastischer Begriffe und Modelle Genuin stochastisches Denken versuchen, an allgemeinere Heuristiken anzubinden.

16 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Ein persönlicher Weg zur Stochastik Erstbegegnung mit Stochastik: empirische Untersuchung zur Mathematikdidaktik Ein Jahr Studium einschlägiger Literatur (u. a. sechs Bücher zur Faktorenanalyse) Umfang und Ausmass der Verbreitung statistischer Verfahren wurde bewußt Zentral: Aufstellen und Testen von Hypothesen Umfang und Ausmass der Nichtbeachtung von Voraussetzungen für Verfahren und deren Missbrauch beeindruckend!

17 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Kriz: Statistik in den Sozialwissenschaften Skalenniveaus Zu vielen Kapitel Zusatz: typische Fehler und Missbrauchsweisen Testen von Hypothesen

18 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Skalenqualität Nomínalskala Ordinalskala metrische Skala Modalwert Median Mittelwert

19 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Einige typische Fehler Repräsentativität nicht erfüllt! Irrtumswahrscheinlichkeit nicht vorher festgelegt! Scharfes ansehen der Daten, daran Hypothese formulieren und anschließend mit diesen Daten testen! (Analogie zum Zirkelbeweis!) So lange einen Test mehrfach anwenden, bis sich per Zufall etwas „Signifikantes“ ergibt! Keine Unterscheidung zwischen Hypothesen- generierender und Hypoth.-testender Untersuchung.

20 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Mögliche Konsequenzen für den Unterricht Aufstellen und Testen von Hypothesen schon in der SI anlegen Verknüpfen mit weiteren wichtigen Denkmethoden (Heuristik) Bücher von Strick Bücher von Engel Riemerkonzept Eingeflossen in eigene Schulbuchreihe

21 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Mögliche Erstbegegnung: Aufstellen und Testen von Hypothesen (MN7) Vor dem jeweils nächsten Wurf darf sich jeder Spieler einen von den drei Würfeln aussuchen. MN 7 „Mensch ärgere dich nicht - Strategie“ I:

22 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Etwas „eindringlicher“: Aufstellen und Testen von Hypothesen MN 7 „Mensch ärgere dich nicht - Strategie“ II: a) Stellt Prognosen für die Häufigkeiten von Augenzahlen für jeden Würfel auf. Begründet diese genau. b) Prüft eure Prognosen. c) Gegeben eine Tabelle mit absoluten Häufigkeiten von 1 bis 6 beim Quader. Vergleicht mit euren Ergebnissen.

23 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Idee der Stichprobe und der „Hochrechnung“ (MN 7)

24 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Aufstellen u. Testen von Hypothesen: Ist die Euromünze unfair?? MN 10

25 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Testen der Hypothese: Euromünze ist unfair Münze 10-, 50- oder 100-mal werfen und „hinsehen“? Wie entscheiden? Wann entscheiden? Unterschied zwischen Aufstellen und Testen von H.! Entscheidungskriterium: Z. B. bei 10 Würfen (kleine Zahlen meistens günstig!) eine Seite mindestens 8- oder höchstens 2-mal werfen? Wie ist es dann bei 50 oder 100 oder 1000 Würfen? Idee: Normierung des Kriteriums! Nur im „Normalfall“(=H N =H 0 =fair) hat man Informationen: p(Z)=p(W)=1/2 P(k=0; 1; 2; 8; 9; 10| H 0 )=  ist berechenbar (Einzelwahrscheinlichkeiten berechenbar, dabei Binomialverteilung nur implizit). Ein möglicher Weg zur Gewinnung des Verfahrens: bottom up

26 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Testen der Hypothese: Euromünze ist unfair Annahme: H 0 (p(w)=p(z)=1/2) ist richtig. Hierzu  (möglichst klein; z. B. 0,05 oder 0,01) VOR dem Experiment vorgeben! Zu vorgegebenem n und  Ablehnungsbereich bestimmen (für n=10 und  =0,05 ist das: k  1 oder k  9). Versuch durchführen. Prüfen: liegt Ergebnis innerhalb oder ausserhalb des Ablehnungsbereiches? Wenn innerhalb (z. B. 9mal Zahl): H 0 verwerfen, also Münze unfair! Die Durchführung des Verfahrens: top-down

27 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena  Q („Münze fair“=H 0 ) falsch  Q H 0 gilt, p= gekürzt  =0,05; n=10 Experiment um k zu best. k im Ablehnungsbereich nicht gekürzt Beweis  Q H 0 weniger glaubwürdig Widerspruch H 0 abgelehnt Annahme: Vermutung: Zusätzl. Vorauss.: Dadurch mehr Informationen! Gedankenexperim.: Endergebnis: Folgerung: Ergebnis: Widerspruchs- beweis Hypothesentest Analysis; Rückwärtsarbeiten

28 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Anschlussproblem : Können Buchautoren hellsehen?

29 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Probleme bei empirischen Studien: Beispiel PISA Gute Ergebnisse in Finnland Hypothese: Erreichte PISA- Leistung L korreliert mit der Zahl der Mücken M positiv! H 0 =r(L;M)  0 H 0 sollte man doch bei so grossem M ablehnen können!

30 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Glaube nur der Statistik, die du selbst gefälscht hast!

31 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena Ist es also von Vorteil, „einen Stich“ zu haben ?? Juckt uns das?? Konsequenz: Behutsam vorgehen und nicht kratzen!