Dr. R. Marklein - EFT I - SS 20031 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I) 8th Lecture / 8. Vorlesung University.

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1 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 20031 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I) 8th Lecture / 8. Vorlesung University of Kassel Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) Electromagnetic Field Theory (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Office: Room 2113 / 2115 D-34121 Kassel Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Büro: Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein marklein@uni-kassel.de http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

2 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 20032 Medium (2) Medium (1) Medium Transition Conditions / Übergangsbedingungen Boundary Conditions / Randbedingungen ws: with sources; sf = source-free / mq = mit Quellen; qf = quellenfrei pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend ES Fields – Transition and Boundary Conditions / ES Felder – Übergangs- und Randbedingungen

3 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 20033 Medium (2) Medium (1) Medium Transition Conditions / Übergangsbedingungen Boundary Conditions / Randbedingungen ws: with sources; sf = source-free / mq = mit Quellen; qf = quellenfrei pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend ES Fields – Transition and Boundary Conditions / ES Felder – Übergangs- und Randbedingungen

4 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 20034 Medium (2) Medium (1) Medium Transition Conditions / Übergangsbedingungen Boundary Conditions / Randbedingungen ES Fields – Transition and Boundary Conditions / ES Felder – Übergangs- und Randbedingungen

5 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 20035 Boundary Conditions / Randbedingungen Medium Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Dirichlet Boundary Conditions for Ф e / Dirichlet-Randbedingung für Ф e Neumann Boundary Conditions for Ф e / Neumann-Randbedingung für Ф e

6 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 20036 Electrostatic (ES) Fields – Boundary Value Problem (BVP) / Elektrostatische (ES) Felder – Randwertproblem (RWP) Examples: / Beispiele: Separation of Variables / Separation der Variablen ! Between the Plates: Vacuum / Zwischen den Platten: Vakuum Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)

7 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 20037 ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung Between the Plates: Vacuum / Zwischen den Platten: Vakuum... Cartesian Coordinates /... Kartesische Koordinaten... Because of the Symmetry /... wegen der Symmetrie Between the Plates Laplace Equation: Zwischen den Platten: Laplace-Gleichung Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB) Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB) Partial Differential Equation / Partielle Differentialgleichung

8 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 20038 ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten Between the Plates: Vacuum / Zwischen den Platten: Vakuum Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB) Integrating once / Integriere einmal Integrating twice / Zweifache Integration ergibt Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung

9 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 20039 ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten Between the Plates: Vacuum / Zwischen den Platten: Vakuum Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB) Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB) Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung

10 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200310 ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten Between the Plates: Vacuum / Zwischen den Platten: Vakuum Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB) Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB) Partial Differential Equation (PDE) / Partielle Differentialgleichung (DGL) Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung

11 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200311 ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten Between the Plates: Vacuum / Zwischen den Platten: Vakuum Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB) Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential The Electrostatic Potential and Electrostatic Field Strenth are Discontinuous at the Plates / Das elektrostatisches Potential und die elektrostatische Feldstärke sind unstetig an den Platten Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung

12 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200312 ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten Representation of the Electrostatic Field Strenth using the Unit Step Functions: / Darstellung der elektrostatischen Feldstärke durch Einheitssprungfunktionen: Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung Step Functions / Einheitssprungfunktionen

13 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200313 ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung

14 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200314 ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung Electric Surface Charge Density / Elektrische Flächenladungsdichte Between the Plates: Vacuum / Zwischen den Platten: Vakuum Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)

15 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200315 Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol... (2) Application: Numerical Solution of Unbounded Static Problems / Anwendung: Numerische Lösung von unbegrenzten statischen Problemen Problem: Parallel Plate Capacitor in an Unbounded Region / Problem: Paralleler Plattenkondensator in einem unbegrenzten Gebiet Electrostatic Surface Charges / Elektrostatische Flächenladungen Parallel Plates / Parallele Platten Numerical Solution: We need to Specify Boundary Conditions at the Boundaries of the Simulation Area which is always bounded. / Numerische Lösung: Wir müssen für die Ränder des numerischen Simulationsgebietes, welches immer begrenzt ist, Randbedingungen spezifizieren. Outline of the Problem / Entwurf des Problems Boundary Condition (BC) ? / Randbedingung (RB) ? Open Boundary Condition (OBC) ? / Offene Rand- bedingung (ORB) ?

16 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200316 Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Monopole / Monopol One Point Charge / Eine Punktladung Dipole / Dipol Two Point Charges / Zwei Punktladungen Quadrupole / Quadrupol Four Point Charges / Vier Punktladungen

17 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200317 Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol... Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Arbitrary Point Charge / Beliebige Punktsladungsverteilungen

18 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200318 Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol... Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

19 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200319 Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol... Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

20 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200320 Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol... Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

21 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200321 Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol... Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

22 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200322 Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol... Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Arbitrary Point Charge / Beliebige Punktsladungsverteilungen Monopole Moment / Monopolmoment Dipole Moment / Dipolmoment Quadrupole Moment / Quadrupolmoment

23 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200323 Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Monopole Moment / Monopolmoment One Point Charge / Eine Punktladung Dipole Moment / Dipolmoment Two Point Charges / Zwei Punktladungen Quadrupole Moment/ Quadrupolmoment Four Point Charges / Vier Punktladungen

24 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200324 Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Electrostatic Dipole Moment / Elektrische Dipolmoment Distance Vector / Abstandsvektor Electrostatic Volume Charge Density / Elektrostatische Raumladungsdichte Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential Electrostatic Field Strength / Elektrostatische Feldstärke

25 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200325 Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Electrostatic Dipole Moment / Elektrostatisches Dipolmoment with / mit Electrostatic Quadrupole Moment / Elektrostatisches Quadrupolmoment

26 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200326 Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol... (2) Application: Numerical Solution of Unbounded Static Problems / Anwendung: Numerische Lösung von unbegrenzten statischen Problemen With Dirichlet Boundary Condition / Mit Dirichlet Randbedingung With Open Boundary Condition (OBC) / Mit offener Randbedingung (ORB)

27 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200327 ES Fields – Method of Images / ES-Felder – Spiegelungsmethode Medium Boundary Value Problem (BVP) – Randwertproblem (RWP)

28 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200328 Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

29 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200329 Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Medium Problem: Solution / Lösung: Image Charge / Spiegelladung

30 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200330 ES Fields – Method of Images / ES Felder – Spiegelungsmethode Medium Solution by Applying the Method of Images / Lösung durch Anwendung der Spiegelungsmethode Image Charge / Spiegelladung

31 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200331 Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

32 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200332 Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Medium – – – – – – – + PEC / IEL Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz) Field Lines of E / Feldlinien von E Without the Method of Images we have to Solve the Following Integral Equation for the Unknown Induced Electrostatic Surface Charge / Ohne die Spiegelungsmethode muss man die folgende Integralgleichung für die induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte lösen Unknown / Unbekannt

33 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200333 Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Medium – – – – – – – + PEC / IEL Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz) Field Lines of E / Feldlinien von E If D is known from the Method of Images / Falls D über die Spiegelungsmethode bekannt ist η e (R) is Defined by the Normal Component of D / η e (R) ist definiert über die Normalkomponente von D !

34 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200334 Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

35 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200335 Method of Images / Spiegelungsmethode Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder Total Electric Charge at the xy Plane at z=0 / Gesamtladung auf der xy Ebene bei z=0

36 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200336 ES Fields – Method of Images – Applications / ES Felder – Spiegelungsmethode – Anwendungen Earth / Erde Singular Point / Singulärer Punkt Ionosphere / Ionosphäre Vertical Stream / Vertikalstrom Dipole Layer / Dipolschicht

37 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200337 ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables – Example / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen – Beispiel Separation of Variables / Separation der Variablen !

38 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200338 ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen Laplace Equation / Laplace-Gleichung 3-D / 3D 2-D / 2D Elliptic Partial Differential Equation / Elliptische partielle Differentialgleichung Laplace Equation in Cartesian Coordinates / Laplace-Gleichung in Kartesischen Koordinaten Function of Three Variables / Funktion von drei Variablen Function of Two Variables / Funktion von zwei Variablen

39 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200339 ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen Laplace Equation / Laplace-Gleichung / Solution Strategy:Reduce the Partial Differential Equation (PDE) to an Ordinary Differential Equation (ODE) and Find a Solution of the PDE by Solving the ODE Lösungsstrategie:Reduziere die partielle Differentialgleichung (PDG) auf eine gewöhnliche (ordinäre) Differentialgleichung (GDG) und finde eine Lösung der PDG durch Lösung der GDG Ansatz of Separation / Separationsansatz Function of 2 Variables: x and y / Funktion von 2 Variablen: x und y Function of x only / Nur eine Funktion von x Function of y only / Nur eine Funktion von y Product of 2 Functions / Produkt aus 2 Funktionen

40 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200340 ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen Laplace Equation / Laplace-Gleichung Ansatz of Separation / Separationsansatz Inserted in the Above Laplace Equation Yields / Eingesetzt in die obere Laplace-Gleichung ergibt

41 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200341 ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen Separation Condition / Separationsbedingung

42 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200342 ES Fields / ES Felder Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3) Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen Separation Condition / Separationsbedingung We Obtain Two ODE / Wir erhalten zwei GDG With / Mit Solutions of these Equations are / Lösungen dieser Gleichungen sind For k = 0 these Solutions Degenerate to / Für k = 0 diese Lösungen degenerieren zu

43 Dr. R. Marklein - EFT I - SS 200343 End of 8th Lecture / Ende der 8. Vorlesung