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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 Numerical Methods in Electromagnetic Field Theory I (NFT I) / Numerische Methoden in.

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1 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 Numerical Methods in Electromagnetic Field Theory I (NFT I) / Numerische Methoden in der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) 2nd Lecture / 2. Vorlesung Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Büro: Raum 2113 / 2115 D Kassel Dr.-Ing. René Marklein Tel.: ++49 (0) Fax: ++49 (0) University of Kassel Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) Electromagnetic Field Theory (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Office: Room 2113 / 2115 D Kassel

2 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 Partial Differential Equation (PDE) / Partielle Differentialgleichung (PDG) Two-dimensional second-order partial differential equation (PDE) / Zweidimensionale Partielle Differentialgleichung (PDG) zweiter Ordnung Elliptic / Elliptisch Parabolic / Parabolisch Hyperbolic / Hyperbolisch

3 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 Partial Differential Equation (PDE) - Examples / Partielle Differentialgleichung (PDG) - Beispiele Partial Differential Equation (PDE) / Partielle Differentialgleichung (PDG) Elliptic / Elliptisch Poisson Equation / Poisson-Gleichung Parabolic / Parabolisch Diffusion Equation / Diffusionsgleichung Hyperbolic / Hyperbolisch Wave equation / Wellengleichung Operators / Operatoren 1. Derivative spatial and/or temporal / 1. Ableitung räumlich und/oder zeitlich 2. Derivative spatial and/or temporal / 2. Ableitung räumlich und/oder zeitlich

4 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 Electromagnetic Field Equations in Differential Form / Elektromagnetische Feldgleichungen in Differentialform Maxwells Equations are: / Die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen lauten: Constitutive equations for vacuum / Konstituierende Gleichungen (Materialgleichungen) für Vakuum Continuity equations / Kontinuitätsgleichungen

5 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 Electromagnetic Field Equations in Differential Form / Elektromagnetische Feldgleichungen in Differentialform (2) Transition conditions for a source-free interface / Übergangsbedingungen für eine quellenfreie Trennfläche Boundary conditions / Randbedingungen Propagation of the energy flux density (Poynting Vector) / Ausbreitung der Energiefussdichte (Poynting-Vektor) PEC material / IEL-Material

6 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 Electromagnetic Field Equations in Differential Form / Elektromagnetische Feldgleichungen in Differentialform (3) Spatial derivative of first order / Räumliche Ableitungen erster Ordnung Temporal derivative of first order / Zeitliche Ableitungen erster Ordnung Source terms / Quellterme

7 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 One-Dimensional Electromagnetic Wave Propagation / Eindimensionale elektromagnetische Wellenausbreitung The first two Maxwells equations are: / Die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen lauten: Constitutive equations for vacuum / Konstituierende Gleichungen (Materialgleichungen) für Vakuum We assume that / Wir nehmen an

8 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 One-Dimensional Electromagnetic Wave Propagation / Eindimensionale elektromagnetische Wellenausbreitung (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) of (1) / von (1) Insert the right-hand side of (2) in (4) / Setze die rechte Seite von (2) in (4) ein Propagation velocity of an electromagnetic wave (light) in Vacuum / Ausbreitungsgeschwindigkeit einer elektromagnetischen Welle (Licht) in Vakuum

9 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 One-Dimensional Electromagnetic Wave Propagation / Eindimensionale elektromagnetische Wellenausbreitung (Inhomogeneous) 1-D wave equation for H y (z,t) / Inhomogene 1D-Wellengleichung für H y (z,t) Inhomogeneity / Inhomogenität Inhomogeneous and homogeneous 1-D wave equation for H y (z,t) and E x (z,t) / Inhomogene und homogene 1D-Wellengleichung für H y (z,t) und E x (z,t)

10 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 One-Dimensional Electromagnetic Wave Propagation / Eindimensionale elektromagnetische Wellenausbreitung (Homogeneous) 1-D Wave Equation for E x (z,t) / Homogene 1-D Wellengleichung für E x (z,t) The 1-D Wave Equation is a Partial Differential Equation of Second Order/ Die 1-D Wellengleichung ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung Solution of the homogeneous 1-D wave equation is a plane wave of the form / Lösung der homogenen 1-D Wellengleichung ist eine ebene Welle der Form This is an electric field strength of arbitrary time dependence, which is time retarded by the factor ± z/c 0. / Dies ist eine elektrische Feldstärke beliebiger Zeitabhängigkeit, die um den Faktor ± z/c 0 zeitverzögert wird.

11 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 One-Dimensional Electromagnetic Wave Propagation / Eindimensionale elektromagnetische Wellenausbreitung Proof / Beweis (Homogeneous) 1-D wave equation for E x (z,t) / Homogene 1-D Wellengleichung für E x (z,t) Solution / Lösung

12 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 Finite Difference (FD) Method / Finite Differenzen (FD) Methode 1-D FD Operators / 1D-FD-Operatoren Common definitions of the first-order derivative of a 1-D function f(x) with respect to x / Gebräuchliche Definitionen der ersten Ableitung von einer 1D Funktion f(x) nach x These are all Correct Definitions in the Limit dx 0 / Diese sind alle korrekte Definitionen im Grenzübergang dx 0 But we want dx to remain FINITE: dx x / Aber wir wollen, dass dx ENDLICH bleibt: dx x

13 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 General Books on the Finite Difference (FD) Method / Allgemeine Bücher über die Finite Differenzen (FD) Methode G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. Oxford Applied Mathematics & Computing Science Series, 3rd. ed., 350 p. Oxford University Press, Oxford, John C. Strikwerda: Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. 2nd ed., p. 446, SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, Nov John C. Strikwerda: Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. 2nd ed., p. 446, SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, Nov

14 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 Finite Difference (FD) Method / Finite Differenzen (FD) Methode 1-D FD Operators / 1D-FD-Operatoren Backward FD Operator / Rückwärts-FD-Operator Forward FD Operator / Vorwärts-FD-Operator Central FD Operator / Zentraler FD-Operator Computational Molecule / Berechnungsmolekül

15 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 Finite Difference (FD) Method / Finite Differenzen (FD) Methode 1-D FD Operators of Higher Order / 1D-FD-Operatoren höherer Ordnung Backward FD operator / Rückwärts-FD-Operator Forward FD operator / Vorwärts-FD-Operator Using (1) and (2) it follows for the derivative of second order / Mit (1) und (2) folgt für die Ableitung zweiter Ordnung The big question is now: how good are the FD approximations? / Die große Frage ist nun: Wie gut sind die FD-Approximationen? (1) (2)

16 Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - WS 06/07 - Lecture 2 / Vorlesung 2 End of Lecture 2 / Ende der 2. Vorlesung


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