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Die Geschichte der sogenannten Grundlagenkrise der Mathematik Anfang des 20. Jahrhunderts wird üblicherweise so erzählt: In einem Brief von 1902 wies Bertrand.

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1 Die Geschichte der sogenannten Grundlagenkrise der Mathematik Anfang des 20. Jahrhunderts wird üblicherweise so erzählt: In einem Brief von 1902 wies Bertrand Russell Gottlob Frege auf einen Irrtum hin, der nicht nur dessen Lebenswerk zerstörte, sondern in der Folge auch die Mathematik insgesamt erschütterte. Dieser Fehler brachte das Vertrauen in die Fundamente der Mathematik so sehr ins Wanken, dass die Mathematiker und Logiker die nächsten Jahrzehnte damit verbrachten, krisensichere Fundamente zu schaffen, die vor Irrtümern und Widersprüchen schützen sollten. Stimmt die Geschichte so?

2 1 Freges Irrtum

3 Brief Frege an Russell, 22. Juni 1902: Ihre Entdeckung des Widerspruchs hat mich auf's Höchste überrascht und, fast möchte ich sagen, bestürzt, weil dadurch der Grund, auf dem ich die Arithmetik sich aufzubauen dachte, in's Wanken geräth. Es scheint danach, […] dass mein Gesetz V (§ 20. S. 36) falsch ist […]. Ich muss noch weiter über die Sache nachdenken. Sie ist um so ernster, als mit dem Wegfall meines Gesetzes V nicht nur die Grundlage meiner Arithmetik, sondern die einzig mögliche Grundlage der Arithmetik überhaupt zu versinken scheint.

4 Nachwort des zweiten Bands der Grundgesetze der Arithmetik von 1903: Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte.

5 Der Irrtum:

6 dass die Umwandlung der Allgemeinheit einer Gleichheit in eine Werthverlaufsgleichheit (§ 9 meiner Grundgesetze) nicht immer erlaubt ist dass man zu jeder Eigenschaft E die Menge der Objekte bilden kann, die diese Eigenschaft E haben

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8 Danach ist tatsächlich viel zu den Grundlagen der Mathematik geschrieben worden, aber war Freges Irrtum der Grund dafür? Was ist denn der Kontext dieses Irrtums überhaupt? Grundgesetze der Arithmetik: Versuch, die Mathematik/Arithmetik auf die Logik (logische Axiome) zurückzuführen = Logizismus [Erklärung später] Der Logizismus ist eine der Positionen, die in der Grundlagendebatte vertreten wurden; er existiert also schon vor der Entdeckung des Widerspruchs.

9 2Die Vorgeschichte  Frege wollte Zahlen allein aus logischen Begriffen erklären  Axiomatisierungen seit der Antike  Auseinandersetzung mit dem Parallelenaxiom seit der Antike, Nicht- Euklidische Geometrien seit der 2. Hälfte des 19. Jahrhunderts  Widerspruchfreiheitsbeweise für die Systeme mit anderen Axiomen (werden geführt, indem arithmetische Modelle [Analytische Geometrie] angegeben werden)  Zweites „Hilbertsches Problem“: Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Arithmetik mit finiten Methoden

10 Bereits vor Russells Entdeckung gab es also: -das Bestreben, mathematische Theorien auf (logische) Axiome zurückzuführen -das Bewusstsein möglicher (unerwünschter) alternativer Realisierungen von Axiomensystemen -das Bewusstsein der Möglichkeit von Widersprüchen Wieso also spricht man plötzlich von einer Grundlagendebatte, wenn eine Diskussion der Grundlagen doch schon längst im Gang war? Noch dazu: Der Frege-Russellsche Widerspruch hat zwar das Programm des Logizismus in Bedrängnis gebracht, aber keine der anderen Positionen, die in der nachfolgenden Debatte vertreten wurden.

11 3 Die Krise Worin besteht die sogenannte Grundlagendebatte der Mathematik in den 20-er Jahren? Folgende Positionen treffen aufeinander: -Logizismus (Frege, Russell) -Formalismus (Hilbert) -Intuitionismus (Kronecker; Brouwer, Weyl) -Platonismus? (Gödel)

12 Der Logizismus Frege, Russell (&Whitehead: Principia Mathematica) alle mathematischen Aussagen auf logische zurückführen, alle mathematischen Begriffe durch logische definieren

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14 Bertrand Russell

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16 Der Formalismus David Hilbert Mathematik handelt von Zeichen (Zeichen-/Regelformalismus) Mathematische Theorien haben ihre eigenen Axiome, nicht logische

17 Der Intuitionismus/ Konstruktivismus Luitzen Brouwer, Hermann Weyl, Arend Heyting, Paul Lorenzen -Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird nicht uneingeschränkt akzeptiert -Reine Existenzbehauptungen, ohne Konstruktion des Objekts werden nicht akzeptiert Nachteil: grundlegende und bedeutende Sätze der Mathematik gelten nicht

18 Der Platonismus Gödel Mathematische Objekte haben eine von Menschen unabhängige Existenz. „Die meisten Mathematiker sind Platonisten“ steht für: Es kümmert sie nicht, was das ist, womit sie zu tun haben. Ist nicht so abfällig, wie es klingt; das ist ja auch eine der guten Seiten vom Platonismus

19 Inwiefern hatte Freges Irrtum und Russells Entdeckung einen entscheidenden Einfluss auf die Entstehung der Grundlagendebatte? Es war der erste echte, faktische, störende Widerspruch, mit dem es die Mathematiker zu tun bekommen haben; und während es davor vorwiegend um eine Präzisierung der Grundlagen geht, taucht danach verstärkt die Idee einer Absicherung auf [Hilbert hat um 1900 an Widerspruchsfreiheitsbeweis geglaubt!]

20 Vortrag Hilbert „Mathematische Probleme“ (1902), 2. Problem: Wenn es sich darum handelt, die Grundlagen einer Wissenschaft zu untersuchen, so hat man ein System von Axiomen aufzustellen, welche eine genaue und vollständige Beschreibung derjenigen Beziehungen enthalten, die zwischen den elementaren Begriffen jener Wissenschaft stattfinden. Die aufgestellten Axiome sind zugleich die Definitionen jener elementaren Begriffe und jede Aussage innerhalb des Bereiches der Wissenschaft, deren Grundlagen wir prüfen, gilt uns nur dann als richtig, falls sie sich mittelst einer endlichen Anzahl logischer Schlüsse aus den aufgestellten Axiomen ableiten läßt. Hilbert „Neubegründung der Mathematik“ (1922): Das Ziel, die Mathematik sicher zu begründen, ist auch das meinige; ich möchte der Mathematik den alten Ruf der unanfechtbaren Wahrheit, der ihr durch die Paradoxien der Mengenlehre verloren zu gehen scheint, wiederherstellen.

21 Inwiefern hatte Freges Irrtum und Russells Entdeckung einen entscheidenden Einfluss auf die Entstehung der Grundlagendebatte? Es war der erste echte, faktische, störende Widerspruch, mit dem es die Mathematiker zu tun bekommen haben; und während es davor vorwiegend um eine Präzisierung der Grundlagen geht, taucht danach verstärkt die Idee einer Absicherung auf [Hilbert hat an Widerspruchsfreiheitsbeweis geglaubt!]

22 Inwiefern hatte Freges Irrtum und Russells Entdeckung einen entscheidenden Einfluss auf die Entstehung der Grundlagendebatte? Es war der erste echte, faktische, störende Widerspruch, mit dem es die Mathematiker zu tun bekommen haben; und während es davor vorwiegend um eine Präzisierung der Grundlagen geht, taucht danach verstärkt die Idee einer Absicherung auf [Hilbert hat an Widerspruchsfreiheitsbeweis geglaubt!] Die Dynamik der Debatte hält allerdings eher dazu an, den Einfluss des Frege/Russellschen Widerspruchs zu relativieren.

23 1902 Russell entdeckt Freges Fehler 1900 Hilberts Forderung nach einem (finiten) Widerspruchsfreiheits- beweis für die Arithmetik ca Russell & Whitehead Principia Mathematica: versuchen Freges Fehler zu reparieren 1912 Brouwer „Intuitionismus und Formalismus“ L OGIZISMUS I NTUITIONISMUS F ORMALISMUS ab ca heftige Debatte zwischen Intuitionisten und Formalisten

24 4 Ein Streit um nichts?

25 Inwiefern handelt sich bei der sogenannten Grundlagenkrise um eine substantielle Krise?  persönlicher Streit  keine Anzeichen, dass sich irgendjemand wirklich um die Mathematik (ihr Fortbestehen, ihre Gültigkeit,…) oder um seine Identität als Mathematiker Sorgen gemacht hätte

26 Hilbert, Vortrag „Axiomatisches Denken“, 1917: Das klingt nicht krisengeschüttelt.

27 Inwiefern handelt sich bei der sogenannten Grundlagenkrise um eine substantielle Krise?  persönlicher Streit  keine Anzeichen, dass sich irgendjemand wirklich um die Mathematik (ihr Fortbestehen, ihre Gültigkeit,…) oder um seine Identität als Mathematiker Sorgen gemacht hätte  Die sogenannte Krise ist gegangen, wie sie gekommen ist, ohne den Rest der Mathematiker zu tangieren.

28 Auf einer wissenschaftsphilosophischen Tagung in Königsberg 1930 sprechen Rudolf Carnap über den Logizismus, Arend Heyting über den Intuitionismus und Johann von Neumann über den Formalismus – und zwar sehr versöhnlich. Die Grundlagenpositionen existieren bis heute nebeneinander, entschieden ist nichts. Auf derselben Tagung hat Gödel seinen Unvollständigkeitsbeweis angekündigt. Es hat sich somit gezeigt, dass gewisse Forderungen gewisser Positionen sogar prinzipiell unerfüllbar sind. Es ist bewiesen, dass man das Gewünschte nicht haben kann  Der normale Mensch ist noch mehr unglücklich, der Mathematiker ist zufrieden.

29 Inwiefern handelt sich bei der sogenannten Grundlagenkrise um eine substantielle Krise?  persönlicher Streit  keine Anzeichen, dass sich irgendjemand wirklich um die Mathematik (ihr Fortbestehen, ihre Gültigkeit,…) oder um seine Identität als Mathematiker Sorgen gemacht hätte  Die sogenannte Krise ist gegangen, wie sie gekommen ist, ohne den Rest der Mathematiker zu tangieren.

30 Inwiefern handelt sich bei der sogenannten Grundlagenkrise um eine substantielle Krise? Für einzelne Protagonisten war es also wohl eine persönliche Krise, aber für die Mathematik war es wohl kaum eine Krise.

31 Hilbert, in Antwort auf Brouwer und Weyl, „Neubegründung der Mathematik“, 1920, ist hier rechtzugeben:


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