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1 Landkarten Landkarten sind Tesselationen mit folgenden Eigenschaften: a)jede Masche ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent b) die.

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Präsentation zum Thema: "1 Landkarten Landkarten sind Tesselationen mit folgenden Eigenschaften: a)jede Masche ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent b) die."—  Präsentation transkript:

1 1 Landkarten Landkarten sind Tesselationen mit folgenden Eigenschaften: a)jede Masche ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent b) die Aggregation aller inneren Maschen ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent Beachte: zu jeder Landkarte gehört eine unbeschränkte Masche „Außen“ - die einzige Masche, die nicht der geschlossenen Kreis- scheibe äquivalent ist

2 2 Datenstrukturen für Landkarten Landkarten Nachbarschaften

3 A: B: C: Spaghetti ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C

4 4 UML-Diagramm für die Spaghetti-Struktur

5 5 Masche Punkt n 1..1 {geordnet} UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkten

6 6 Typischer Fehlerfall für Spaghetti: Änderung der Koordinaten eines gemeinsamen Punktes vorher nachher

7 7 P2 P1 P3 P6 P7 P8 P9 A B C Flächen: A: P1P2P3P4P5 B: P4 P3 P6 P7 C: P4P7 P8 P9P5 P5 P4 Punkte: P P P P P P Punktobjekte ohne Redundanz

8 8 Masche Punkt n 1..n {geordnet} Beachte: Redundanzfreiheit kann durch dies UML-Diagramm nicht erzwungen werden. UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten

9 9 UML-Diagramm für die Knoten- und Kantenstruktur 3..* Masche 2 begrenzt Kante 2 2..* begrenzt Knoten Punkt 1 1 Geometrie neu Topologie explizit Redundanzfreiheit wird erzwungen

10 10 P1 E6 E11 P2 P3 P6 P7 P8 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E7 E8 E9 E10 Außen Knoten: P P Kante Anfangs- knoten End- knoten linke Masche rechte Masche E1P1P2A Außen E2 P2P3AAußen E3 P3P4AB E4 P4P5AC E5P5P1AAußen E6 P3P6BAußen Kanten: Knoten-Maschen- Struktur

11 11 Vor- und Nachteile der Knoten- und Kanten-Struktur Vorteile: –Geometrie ist redundanzfrei –Topologie ist explizit –bei Änderungen können Fehler leichter vermieden werden Nachteil –der Kantenumring ist nicht direkt gegeben, sondern muß berechnet werden Lösung: Kanten mit Flügeln

12 12 Kanten mit Flügeln

13 13 Geflügelte Kanten P1 P8 P2 P3 P6 P7 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 Außen E1P1P2A Außen E5E2 E2P2P3AAußenE1E6 E3 P3P4ABE2E8 E4 P4P5ACE3E11 E5P5P1AAußenE4E1 E6 P3P6BAußenE3E Kanten: Wie bei Knoten-Kanten- Struktur Vorgänger im Umring der linken Masche Nachfolger im Umring der rechten Masche

14 14 Die Euler-Formel Für jede Landkarte mit –f Maschen (face) –e Kanten (edge) –v Knoten (vertex) gilt: f - e + v = 2 Euler-Charakteristik: –Landkarte: 2 –Landkarte mit n Kontinenten: n + 1 –Landkarte mit n Inseln und m Kontinenten: n + m + 1 beachte: Außen zählt als eigene Masche! Euler-Charakteristik

15 15 Topologische Fehler (I) Fehlender KnotenZwei Referenzpunkte (Namen) Undershoot Overshoot Fehlender Referenz- punkt (Name)

16 16 Topologische Fehler (II) Überlappung zweier Maschen ohne Überschneidung von Kanten

17 17 Integritätsbedingungen für Landkarten (I) 1. Schnittfreiheit der Kanten 2. Jede Kante hat zwei Maschen auf verschiedenen Seiten 3. Jede Masche wird von einem einfachen Zyklus begrenzt 4. Kein Mittelpunkt einer Kante liegt in einer Masche falschrichtig

18 18 Integritätsbedingungen für Landkarten (II) 1. Schnittfreiheit der Kanten 2. Jede Kante hat zwei Maschen auf verschiedenen Seiten 3. Jede Masche wird von einem einfachen Zyklus begrenzt 4. Es gibt genau eine unbeschränkte Masche falschrichtig

19 19 Zusammenfassung „Geometrisch-Topologische Datenstrukturen“ Spaghetti mit Koordinaten: redundante Geometrie Spaghetti mit Punkten: redundante Geometrie Spaghetti mit Punkten als Objekten: redundanzfreie Geometrie Knoten-Kanten-Struktur: redundanzfreie Geometrie, explizite Topologie, Maschenumring muß berechnet werden geflügelte Kanten: redundanzfreie Geometrie, explizite Topologie, Maschenumring leicht zu berechnen

20 20 Aus Landkarten abgeleitete Strukturen quadratische Maschen gleicher Größe: Raster, Grid –kompakte Speicherung –homogene Informationsdichte Maschen sind Dreiecke –Triangulation –gut zur Modellierung des Geländes Verallgemeinerung –Simplizes –Simpliziale Komplexe

21 21 Simplizes Ein 0-Simplex ist ein Punkt Ein 1-Simplex ist eine gerade Kante Ein 2-Simplex ist ein Dreieck (Inneres + 3 Kanten + 3 Knoten) Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder

22 Beachte: Das Schwierige an den Simplexen ist der Plural

23 23 Teilsimplizes Ein Knoten ist Teilsimplex einer Kante Eine Kante ist Teilsimplex eines Dreiecks Ein Dreieck ist Teilsimplex eines Tetraeders Der Teilsimplex T eines Simplex S ist ein Simplex, dessen Knoten alle in S vorkommen. Der Rand eines Simplex ist die Menge aller Teilsimplizes. Rand eines Dreiecks

24 24 Simpliziale Komplexe Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: –jeder Teilsimplex in C ist ebenfalls in C –der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder in C falsch:

25 25 Simpliziale Komplexe Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: –jeder Teilsimplex in C ist ebenfalls in C –der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder in C Korrektur:

26 26 Simpliziale Komplexe Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: –jeder Teilsimplex in C ist ebenfalls in C –der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder in C Korrektur:

27 27 Anwendungen Geländemodell Computergraphik Eisberge...

28 28 Resümee Landkarten –2D –beliebige Polygone Simpliziale Komplexe –Dreiecke –auch 3D Gemeinsamkeiten –Konstruktion des Raumes durch Aggregation atomarer Primitive –„algebraische“ oder „kombinatorische“ Topologie zurück zur „Punktmengentopologie“


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