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E INFÜHRUNG IN DIE N ETZPLANTECHNIK Projektmanagement 4.Klasse HTL 2007/2008 Sebastian Hiller - Stefan Kugler – Erwin Rybin Seminar Anwendungen der Mathematik.

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1 E INFÜHRUNG IN DIE N ETZPLANTECHNIK Projektmanagement 4.Klasse HTL 2007/2008 Sebastian Hiller - Stefan Kugler – Erwin Rybin Seminar Anwendungen der Mathematik für LAK von Prof. Dorninger, TU Wien

2 I NHALT Mathematische Grundlagen o Modelle der Netzplantechnik o Lösungsverfahren Projektarbeit o Recherche zu vorhandenen Programmen & zu Algorithmen o Programmierung von Oberfläche & Lösungsalgorithmen o Verbreitung & Vermarktung

3 M ATHEMATISCHE G RUNDLAGEN Modelle der Netzplantechnik o Netzwerkmodelle o Zeit & Terminplanung o Kostenplanung o Kapazitätsplanung Lösungsverfahren o Zeit & Terminplanung o Kostenplanung o Kapazitätsplanung

4 N ETZWERKMODELLE Ziele der Netzplantechnik: o Projektplanung o Projektsteuerung o Projektüberwachung o Ev. Projektoptimierung Ein Projekt setzt sich zusammen aus: o Arbeitsvorgänge o Anordnungsbeziehungen o Ev. Kosten, Ressourcen

5 N ETZWERKMODELLE Beschreibung der Beziehungen durch gerichtete Graphen o Vorgangspfeilnetzplan o Ereignisknotennetzplan o Vorgangsknotennetzplan o Entscheidungsnetzplan Experten-Rallye: o Ausarbeitung und Wissensweitergabe der Arbeitsblätter NPT1a - NPT1d o 4 Gruppen zu 5 Schülern, 2-3h

6 Z USAMMENFASSUNG E XPERTEN - R ALLYE N ETZWERKMODELLE I Vorgangspfeilnetze o Den Vorgängen werden Pfeile eines Graphen zugeordnet o Anfangs- und Endpunkte stehen für alle möglichen Ereignisse im Projekt o Festlegen von Beziehungen u Vorgänger-Nachfolger u Ende-Start / Start-Start / Ende-Ende / Start/Ende u Ev. Scheinvorgänge (fiktiv)

7 Z USAMMENFASSUNG E XPERTEN - R ALLYE N ETZWERKMODELLE II Ereignisknotennetzplan o Schwerpunkt auf zeitbezogenen Ereignisse o veranschaulicht keine Vorgänge sondern Meilensteine u Z.B. Anfangs- oder Endzeitpunkte o zeitlichen Abhängigkeiten der Ereignisse werden durch Pfeile berücksichtigt o Voraussetzung für PERT u nichtdeterministische Modellierung.

8 Z USAMMENFASSUNG E XPERTEN - R ALLYE N ETZWERKMODELLE III Vorgangsknotennetzplan o Ereignisse werden als (meist rechteckige) Vorgangsknoten dargestellt o Wichtige Zeitangaben finden sich in den Knoten o Logische Abhängigkeiten durch Verbindungspfeile o Die Pfeile werden bewertet, z.B. durch Mindestabstände von Ereignissen

9 Z USAMMENFASSUNG E XPERTEN - R ALLYE N ETZWERKMODELLE IV Entscheidungsnetzplan o Anwendung bei Projekten, bei denen während der Ausführung zwischen mehreren Möglichkeiten entschieden werden kann o Entscheidungsknoten im Netzplan u Entscheidungsbäume u sind die Wahrscheinlichkeiten für den Eintritt bekannt, können komplexe Wahrscheinlichkeiten für den Projektverlauf berechnet werden.

10 Z USAMMENFASSUNG E XPERTEN - R ALLYE N ETZWERKMODELLE V Entscheidungsnetzplan o Nachteile u sehr komplexen Erstellung u noch komplexere Berechnungsmethoden o Vorteile: u Berücksichtigung von Alternativen u hohe Flexibilität u konsistente Projektplanungen mit allen Abhängigkeiten u hohe Transparenz.

11 Z EIT & T ERMINPLANUNG : D ETERMINISTISCHE M ODELLE Projektablauf & Zeitvorgaben der Vorgänge festgelegt Gesucht sind: o Kürzeste Gesamtprojektdauer o Frühest- & spätestmögliche Anfangs- & Endzeitpunkte o Pufferzeiten o Kritische Vorgänge Methoden: CPM, MPM

12 Z EIT & T ERMINPLANUNG : D ETERMINISTISCHE M ODELLE II Critical Path Method (CPM) o Ausgangspunkt: Vorgangspfeilnetz u Mit Ende-Start-Beziehung! o Bewertung der Pfeile mit Zeitdauer o Scheinvorgänge mit Dauer Null u Z.B. bei Start-Start-Vorgängen o Nachteil: keine zeitlichen Maximalabstände zwischen aufeinanderfolgenden Vorgängen Skizze auf Tafel!

13 Z EIT & T ERMINPLANUNG : D ETERMINISTISCHE M ODELLE III Matra-Potential-Methode (MPM) o Ausgangspunkt: Vorgangsknotennetz u Basierend auf Start-Start-Beziehungen o Die Verbindungen können u Positiv & negativ bewertet werden u Zyklen (Schleifen) enthalten Skizze auf Tafel! Übung: Skizziert die letzte Stunde erstellten Sprachreisenetze als CPM und MPM-Modell

14 Z EIT & T ERMINPLANUNG : D ETERMINISTISCHE M ODELLE IV CPM: Vorgang zwischen Knoten i,j: o FAZ ij : Frühester Anfangszeitpunkt eines Vorgangs V ij = FZ i o FEZ ij : Frühester Endzeitpunkt eines Vorgangs V ij = FAZ ij + D ij (Dauer V ij ) o SEZ ij : Spätester Endzeitpunkt eines Vorgangs V ij = SZ j (unter Einhaltung des Projektendtermins) o SAZ ij : Spätester Anfangszeitpunkt eines Vorgangs V ij = SEZ ij D ij (unter Einhaltung des Projektendtermins)

15 Z EIT & T ERMINPLANUNG : D ETERMINISTISCHE M ODELLE V MPM: Vorgang i: (warum?) o Frühestmögliche Anfangszeitpunkte u FAZ i o Frühestmögliche Endzeitpunkte u FEZ i =FAZ i + D i o Spätestmögliche Anfangszeitpunkte u SAZ i o Spätestmögliche Endzeitpunkte u SEZ i =FAZ i + D i

16 Z EIT & T ERMINPLANUNG : D ETERMINISTISCHE M ODELLE VI Länge des längsten Weges von 1 nach i (Voraussetzung FAZ 1x =0) o CPM: FAZ ix o MPM: FAZ i Länge des längsten Weges von j nach n o CPM: SAZ xn - SAZ xj o MPM: SAZ i - SAZ i

17 Z EIT & T ERMINPLANUNG : D ETERMINISTISCHE M ODELLE VII Pufferzeiten o zeitlicher Spielraum für Vorgang o kann durch Verschiebung und/oder durch Verlängerung der Vorgangsdauer genutzt werden Gesamtpuffer o um wie viel sich der Vorgang verschieben lässt ohne das Projektende zu gefährden o CPM: GP ij = SAZ ij FAZ i - D ij o MPM = SAZ j FAZ i

18 Z EIT & T ERMINPLANUNG : D ETERMINISTISCHE M ODELLE VIII Freier Puffer u Zeit, die den frühest möglichen Beginn bzw. Ende des Nachfolgers nicht gefährdet. Freier Rückwärtspuffer u maximale Zeitspanne, um die der Vorgang ausgehend von seinem frühest möglichen Anfangszeitpunkt verschoben werden kann Unabhängiger Puffer u maximale Zeitspanne, die der Vorgang verschoben werden darf, wenn alle vorhergehenden Vorgänge zum spätestmöglichen Termin enden

19 Z EIT & T ERMINPLANUNG : D ETERMINISTISCHE M ODELLE IX Kritischer Vorgang: o Wenn der Gesamtpuffer eines Vorganges Null ist heißt der Vorgang kritisch o Der Vorgang kann daher nicht verschoben werden ohne das Projektende zu verschieben! Kritischer Pfad o Verkettung der Vorgänge, bei deren zeitlicher Änderung sich der Endtermin verschiebt o Er wird in einem Netzplan durch die Kette von Vorgängen bestimmt, welche in der Summe die längste Dauer aufweist.

20 Z EIT & T ERMINPLANUNG : N ICHT -D ETERMINISTISCHE M ODELLE I Projektablauf steht fest, die Dauer der Vorgänge nicht genau! Planung durch PERT o Program Evaluation and Review Technique o Ereignisknotennetz u Fertigstellungszeitpunkte o 3 Schätzwerte für jeden Pfeil u Optimistische Zeitdauer (OD) u Realistische (wahrscheinlichste) Dauer (RD) u Pessimistische Zeitdauer (PD)

21 Z EIT & T ERMINPLANUNG : N ICHT -D ETERMINISTISCHE M ODELLE II Erwartungswert o MD = (OD + 4*RD + PD)/6 o Ergibt sich aus Annahme die Zeiten seien ß-verteilt Varianz o VD = (PD-OD) 2 / 36 Danach wie bei CPM (MD statt D) vorgehen o Weglängen: Summe der Erwartungs- werte MD bzw. der Varianzen VD

22 Z EIT & T ERMINPLANUNG : N ICHT -D ETERMINISTISCHE M ODELLE III Annahme bei PERT: o FAZ, FEZ, SAZ, SEZ sind normalverteilt mit den Erwartungswerten und den Varianzen o Errechnen von Wahrscheinlichkeiten für Terminüber- & Unterschreitungen u Mathematisch nur korrekt, falls zentraler Grenzverteilungssatz erfüllt (selten!) u PERT daher nur als Abschätzung verwendbar Erweiterung: GERT u Bei Entscheidungsnetzplänen

23 K OSTENPLANUNG I CPM-Netzplan mit variablen Vorgangsdauern D ij Jeder Vorgang (i,j) hat eine (konvexe) Kostenfunktion K ij o K ij = K ij (D ij ) o Definitionsbereich: [Mind ij,ND ij ] u Mindestdauer : Mind ij u Normalvorgangsdauer: ND ij u K ij = - b ij D ij + c ij (b ij,c ij >=0)

24 K OSTENPLANUNG II Direkte Projektkosten o Summe aller Vorgangskosten Indirekte Projektkosten o Für gesamte Projektdauer, z.B. Verwaltungskosten oder Pönale Kostenplanung: o Minimale direkte Kosten bei vorgegebener Projektzeit o Minimale Projektdauer bei vorgegebenen Projektkosten

25 K OSTENPLANUNG III Lineares Optimierungsmodell o Sowohl bei Optimierung bei vorgegebener Laufzeit als auch bei vorgegebenen Kosten o Mit jeweiligen Nebenbedingungen o Lösbar durch bekannte Techniken und Algorithmen Übung: Kostenzuweisung an den bestehenden Netzplan, intuitives Suchen des Optimums

26 K APAZITÄTSPLANUNG I Ressourcen stehen nur beschränkt zur Verfügung o Gleichmäßige (bzw. optimale) Verteilung auf die Vorgänge o Minimierung der Kosten bzw. der Projektdauer Ist NICHT eine einfache Summierung der notwendigen Ressourcen bei bestehender optimaler Zeitplanung! (warum?)

27 K APAZITÄTSPLANUNG II CPM-Netzplan o Diskrete Zeitachse (z.B. Stunden, Tage) o Ressourcenkapazität / Zeiteinheit o Ressourcenbedarf pro Vorgang pro Zeiteinheit Gesucht sind die neuen Anfangszeitpunkte der Vorgänge zur Minimierung der Projektkosten

28 K APAZITÄTSPLANUNG III Suche Optimum o Kosten der Ressourcenaufteilung o Direkten Projektkosten o Ev. zusätzlich notwendigen Ressourcen Nicht mathematisch lösbar (i.A.), Lösung durch heuristische Lösungsalgorithmen o Siehe ev. Projektphase III

29 L ÖSUNGSVERFAHREN : Z EIT & T ERMINPLANUNG I Hintergrundmathematik: Graphentheorie o Knotenmenge V o Kantenmenge E o Kantenbewertung b: E R o Knoten 1 bzw. n: Quelle bzw. Senke Gesucht sind die Wege von 1 nach i (bzw. von i nach n) mit größter Länge

30 L ÖSUNGSVERFAHREN : Z EIT & T ERMINPLANUNG II Lösungsalgorithmen für MPM o Verfahren von FORD o Tripel-Algorithmus von Floyd/Warshall Lösungsalgorithmen für CPM o Dijkstra Algorithmus o Bellman Algorithmus Die ersten 3 Algorithmen werden in Projektphase II gesucht und angewandt

31 L ÖSUNGSVERFAHREN : Z EIT & T ERMINPLANUNG III Bellman Algorithmus o Knotensortierung des Graphen G: u Die Knotenmenge V={1,2,…n} wird so umsortiert, dass nur Pfeile (i,j) vorkommen mit i

32 L ÖSUNGSVERFAHREN : Z EIT & T ERMINPLANUNG IV Bellman Algorithmus o Iterative Berechnung des längsten Weges (= kürzestmögliche Projektdauer bei CPM!) von 1 nach n u d i : Länge des längsten Weges von 1 nach i u P i : Menge aller Knoten v von G mit Pfeil (v,i) o Dann gilt: o d i : = max (d v + D vi ) u Maximum aller v von P i u Die Menge aller v bei denen das Maximum angenommen wird sei dann M i

33 L ÖSUNGSVERFAHREN : Z EIT & T ERMINPLANUNG V Bellman Algorithmus o Iterative Berechnung des längsten Weges von i nach n zur Berechnung der spätesten Zeitpunkte SZ i u d j : Länge des längsten Weges von j nach n u S i : Menge aller Knoten w von G mit Pfeil (j,w) o Dann gilt: o d j : = max (d w + D jw ) u Maximum aller w von S i u Die Menge aller w bei denen das Maximum angenommen wird sei dann M j

34 L ÖSUNGSVERFAHREN : Z EIT & T ERMINPLANUNG VI Durch zweimalige Anwendung der Bellman-Algorithmus o Zuerst beginnend bei der Quelle (erster Vorgang) in Richtung des letzten Vorganges o dann beginnend bei der Senke (letzter Vorgang) in Richtung des ersten Vorgangs können die frühesten & spätesten Eintrittszeitpunkte errechnet werden

35 L ÖSUNGSVERFAHREN : Z EIT & T ERMINPLANUNG VII Beispiel an der Tafel o Ordnen der Knoten o Berechnung der längsten Wege aller Pfeile in beginnend von 1 o Berechnung der längsten Wege aller Pfeile, beginnend von n o Berechnung von FAZ, FEZ, SAZ, SEZ für jeden Pfeil o Eintrag der Werte in eine Tabelle o Darstellung als GANTT-Chart

36 L ÖSUNGSVERFAHREN : K OSTENPLANUNG Verfahren von Kelly o Lösung für parametrische & nichtparametrische lineare Optimierungsprobleme o Für bestimmte Werte kann der Simplexalgorithmus eingesetzt werden Phase II: Suchen und Programmieren der entsprechenden Algorithmen

37 L ÖSUNGSVERFAHREN : K APAZITÄTSPLANUNG Rückführungsmöglichkeit auf binäre Optimierungsaufgabe o Definition von Variablen x ij,t : o x ij,t = 1 falls (i,j) zwischen t-1 und t ausgeführt wird, ansonsten =0 o Umschreiben aller Parameter, Nebenbedingungen und Zielfunktionen auf die x ij,t : o Recherche und Lösungsversuche in ev. Phase III

38 P ROJEKTPHASE II: P ROJEKTARBEIT 2.1 Recherche & Anwendung bestehender Programme 2.2 Recherche & Entwicklung von Algorithmen 2.3 Entwicklung von Text- & grafischen Benutzeroberflächen 2.4 Verwaltung, Berichtswesen & Marketing

39 R ECHERCHE & A NWENDUNG B ESTEHENDER P ROGRAMME Anwendung von bekannten professionellen Programmen o Die in der mathematischen Einführung kennengelernten Techniken sollen nun in einigen, Euch bereits bekannten Programmen zur Unterstützung in Projektmanagement entdeckt werden. Dabei kann sowohl MS Project als auch entsprechende Share- oder Freeware eingesetzt werden. o Teilnehmer: Klasse

40 R ECHERCHE & A NWENDUNG B ESTEHENDER P ROGRAMME Recherche zusätzlicher Programme zum Themenkreis o Internetrecherche zu kommerziellen und Freewareprogrammen zum Themenkreis Netzwerktechnik, o Erstellen einer Nutzwertanalyse der einzelnen Programme mit einem SWAT-Profil. o Teilnehmer: Marketingtalente

41 R ECHERCHE & E NTWICKLUNG V ON A LGORITHMEN Recherche von Algorithmen zu Bellman etc., o Internetrecherche zu den nicht im theoretischen Teil behandelten Algorithmen o Diese sollen u erhoben, u die einzelnen Referenzen miteinander verglichen und u verständlich aufbereitet werden. o Teilnehmer: Mathematiktalente

42 R ECHERCHE & E NTWICKLUNG V ON A LGORITHMEN Entwicklung von Algorithmen zu Bellman etc. o Programmtechnische Umsetzung gefundener Informationen o eigenständige Ausarbeitung von missing links o große, wenn möglich interdisziplinärer Unterstützung durch die Lehrerschaft o Teilnehmer: Mathematiktalente

43 E NTWICKLUNG V ON T EXT - & G RAFISCHEN O BERFLÄCHEN Entwicklung einer tabellarischen Eingabe (Datenbankverknüpfung) o Entwicklung einer einfachen, textzentrierten Eingabe o Datenbankanbindung o Grundlage für die Tests der gefundenen Algorithmen zu bekommen. o Teilnehmer: EDV-Talente

44 E NTWICKLUNG V ON T EXT - & G RAFISCHEN O BERFLÄCHEN Entwicklung einer grafischen Benutzeroberfläche o Kernmodule für ein eigenständiges Programm o grafische Eingabe- und Analyseoberfläche o Teilnehmer: EDV-Talente

45 Verwaltung, Berichtswesen & Marketing Erstellung eines Marketingkonzeptes o Entwicklung einer Marketingkampagne u Prospekterstellung u Internetpräsenz u Aufbau einer Usergruppe u Presseaussendungen u Guerillamarketing u Suche nach Vermarktungsmöglichkeiten o Teilnehmer: Marketingtalente

46 O PTIONALE P HASE III Ausbau der Entwicklungen zu einem modular aufgebauten, vermarktbaren Produkt o Teilnehmer: talentierte Mathematik-, EDV- und Marketingexperten o Dauer: ½ bis 1 ½ Jahre o Massive Lehrerunterstützung


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