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Statistik I Wintersemester 2004/2005 Statistik Typen statistischer Zusammenhänge: Statistik I Y X einfacher einseitiger Zusammenhang: einfache lineare.

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1 Statistik I Wintersemester 2004/2005 Statistik Typen statistischer Zusammenhänge: Statistik I Y X einfacher einseitiger Zusammenhang: einfache lineare Regression Verdunstung (Y) hängt von der Lufttemperatur (X) ab Y X einfacher wechselseitiger Zusammenhang: Korrelation Verdunstung (Y) hängt von der Lufttemperatur (X) ab, umgekehrt hängt die Lufttemperatur auch von der Verdunstung ab (vgl. Verdunstungskälte)

2 Statistik I Wintersemester 2004/2005 Statistik Übersicht über die gängigen Korrelationskoeffizienten SkalenniveauZusammenhangsmaß (Wertebereich) Richtung des Zusammenhangs Nominal [ = ; ] Kontingenzkoeffizient (0 <= C <= 1) nein Ordinal [ = ; ; > ; < ] Korrelationskoeffizient Spearman/ Korrelationskoeffizient Kendall (-1 <= r s <= +1) ja Metrisch (nicht-linear, nicht normalverteilt) [ = ; ; > ; < ; + ; - ; *; / ] Korrelationskoeffizient Spearman/ Korrelationskoeffizient Kendall (-1 <= r s <= +1) ja Metrisch (linear, normalverteilt) [ = ; ; > ; < ; + ; - ; * ; / ] Korrelationskoeffizient Pearson (-1 <= r <= +1) ja Stärke hohe Korrelation: r = niedrige Korrelation: r = 0.07

3 Statistik I Wintersemester 2004/2005 Statistik Pearson-Korrelationskoeffizient r – Berechungsbeispiele SPSS Berechnung des Koeffizienten: Analysieren – Korrelation – Bivariat … oder Z-Transformation (Standardisierung) der eingehenden Variablen und Anwendung der Berechnungsformel Excel Berechnung der Koeffizienten mit Funktions-Assistenten: Statistik – Pearson … oder Z-Transformation der eingehenden Variablen und Anwendung der Berechnungsformel

4 Statistik I Wintersemester 2004/2005 Statistik Typen statistischer Zusammenhänge: Statistik I Y X einfacher einseitiger Zusammenhang: einfache lineare Regression Verdunstung (Y) hängt von der Lufttemperatur (X) ab Y X einfacher wechselseitiger Zusammenhang: Korrelation Verdunstung (Y) hängt von der Lufttemperatur (X) ab, umgekehrt hängt die Lufttemperatur auch von der Verdunstung ab (vgl. Verdunstungskälte)

5 Statistik I Wintersemester 2004/2005 Statistik Einfache lineare Regression: Grundlagen Messen der Art des statistischen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen Aus den Messwerten einer Variablen X soll dabei auf die Messwerte einer Variablen Y geschlossen werden ( Y X ). Gesucht wird also ein geeignete Funktion, die die Messwerte der Variablen Y aus X erklärt: Y ist dabei die abhängige (zu erklärende) Variable, X ist die unabhängige Variable

6 Statistik I Wintersemester 2004/2005 Statistik Einfache lineare Regression: Idee Frage: In welcher Weise verändert sich die Verdunstung mit der Temperatur? Lineare Regression bedeutet, dass eine lineare Funktion y = f(x) gesucht wird, die die Tendenz der Punktwolke abbildet. Als Funktion wird die Geradengleichung y = bx + a verwendet + : auch für nicht gemessene Temperaturen kann die Verdunstung geschätzt werden (Modell) y ~ 0.15x – 0.5

7 Statistik I Wintersemester 2004/2005 Statistik Einfache lineare Regression: Berechnung der Geraden I Ziel: Bestimmung einer Geraden, die die Punktwolke optimal repräsentiert, d.h. deren Lage unmittelbar von der Verteilung der Messwertpaare ( x i / y i ) abhängig ist Optimal bedeutet, dass alle gemessenen Werte möglichst nahe an der Geraden liegen sollen, genauer, dass die Summe der Abweichungen e i zwischen Mess- und Modellwerten minimal ist eiei (x i /y i ) (x i /a+bx i ) e i = y i – (a+bx i )

8 Statistik I Wintersemester 2004/2005 Statistik Einfache lineare Regression: Berechnung der Geraden II Gausssches Prinzip der kleinsten Quadrate a und b sind so zu wählen, dass die Funktion ein Minimum annimmt Berechnungsformel Regressionskoeffizient (Steigung) Berechnungsformel Regressionskonstante (Y-Achsenabschnitt)

9 Statistik I Wintersemester 2004/2005 Statistik Regressionsgerade – Berechungsbeispiele SPSS Berechnung von Regressionskoeffizient und -konstante sowie der Modellgüte: Analysieren – Regression – Linear Excel Berechnung der beiden Parameter per Hand:

10 Statistik I Wintersemester 2004/2005 Statistik Analytisch-statist. Probleme bei Korrelation und Regression Fehleranfälligkeit bei kleinen N Ausreißerproblematik Modellgüte bei linearer Einfachregression (erklärte Varianz) Anwendung der multiplen liearen Regression Residuen-Interpretation


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