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Goethe - Universität, Frankfurt/Main 51 Der optimale Verbrauchplan Alle Güterbündel im Budgetraum sind dem Haushalt in dem Sinne verfügbar, daß er kauft,

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Präsentation zum Thema: "Goethe - Universität, Frankfurt/Main 51 Der optimale Verbrauchplan Alle Güterbündel im Budgetraum sind dem Haushalt in dem Sinne verfügbar, daß er kauft,"—  Präsentation transkript:

1 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 51 Der optimale Verbrauchplan Alle Güterbündel im Budgetraum sind dem Haushalt in dem Sinne verfügbar, daß er kauft, was er kann was objektiv verfügbar ist). Wenn der Haushalt unter dieser Beschrän- kung seinen Nutzen maximieren will, muß er die objektiven mit den subjektiven Alternativkosten vergleichen.

2 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 52 Optimierungsansatz (graphisch) y x 0 U1U1 U2U2 U3U3 E

3 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 53 Optimierungsansatz (analytisch) Der Haushalt kann die IK mit dem Niveau U 3 nicht erreichen. Bestimmte x-y-Kombinationen auf dem Nutzenniveau U 1 kann er realisieren, aber diese entsprechen nicht dem maximal erreichbaren Nutzenniveau. Optimaler Punkt ist E, wo gilt MRS xy = MU x /MU y = p x /p y.

4 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 54 Äquivalent dazu läßt sich auch schreiben: Optimierungsansatz (Bedingungen) oder allgemein für mehrere Güter

5 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 55 Der mathematische Ansatz hierzu lautet: Maximiere U(x,y) u. d. N. (s.t.) Optimierungsansatz (mathematisch) Hierzu gibt es eine einfache Lösungstechnik: Die Optimierung einer Lagrange-Funktion.

6 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 56 Sie kombiniert die zu optimierende (kardinale Nutzen-)Funktion und die Nebenbedingung der Budgetgleichung wie folgt: Die Lagrange-Funktion Die Funktion hat drei unabhängige Variable, x, y und. Dabei gibt den Nutzenwert einer zusätzlichen Einkommenseinheit an.

7 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 57 Wir differenzieren L und erhalten das folgende Gleichungssystem: Das Maximum der L-Funktion

8 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 58 Aus den beiden ersten Gleichungen erhalten wir (Zweites Gossensches Gesetz): Die Marginalbedingung des Konsumentengleichgewichts MRS xy = oder |d y /d x | = p x /p y

9 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 59 Wir unterstellen die konkrete kardinale Nutzenfunktion U = (x + 2) (y + 1) = U = xy + 2y + x + 2 unter der Nebenbedingung (subject to) Lagrange Funktion: Beispiel

10 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 60 Die partiellen Ableitungen von L = xy + 2y + x (M - p x x - p y y) sind: Die Ermittlung des Optimums = y p x - 0 = 0 = x p y = 0 = M - p x x - pyypyy = 0

11 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 61 Zunächst lassen sich die drei Gleichungen wie folgt vereinfachen: y - lpx = -1 x - lpy= -2 -pxx - pyy= -M Auflösung des Gleichungssystems (1)

12 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 62 Dann schreiben wir das System als Matrixgleichung wie folgt: Auflösung des Gleichungssystems (2) diese Gleichung Ab = c löst man nach b über die Inverse von A und erhält b = A -1 c

13 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 63 Inversion der Matrix A Die Determinante D erhält man nach der Sarrusschen Regel wie folgt: D = 0 + p y p x + p y p x = 2p y p x. Die Adjunkte A ij erhält man, indem man die Zeilen i und Spalten j von A streicht und die jeweilige Determinante berechnet. Dabei ist das Vorzeichen von A ij = (-1) i+j.

14 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 64 A 11 = A 11 = - p y 2 A 23 = A 23 = - p x Die Adjunkte: Beispiele

15 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 65 Umformung ergibt... Die Inverse von A

16 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 66 (Die Lösung für wird nicht verfolgt!) Die Inverse von A

17 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 67 Wir erhalten als Lösungen für x* und y* Multiplikation mit dem Vektor c

18 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 68 Wir können jetzt die optimalen Punkte der Nachfrage von x und y in Abhängigkeit von den bisher als konstant angenommenen Größen M, p x und p y darstellen. Wir erhalten dann die allgemeine Nachfragekurven x = x (M, p x, p y ) bzw. y = y (M, p x, p y ). Allgemeine Nachfragekurven

19 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 69 Eigenschaften der Nachfragekurven Die Nachfragekurven sind eindeutig und für gegebene Größen M, p x und p y einwertig. Dies folgt aus der Konvexitätsannahme für die Indifferenzkurven. Wenn sich alle Preise p x und p y sowie das Einkommen M um den gleichen Faktor k ändern, ändert sich die nachgefragte Menge nicht. Das Realeinkommen bleibt konstant.

20 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 70 Eine Funktion y = y(x 1, x 2,..., x n ) ist homogen vom Grade r, wenn gilt: k r y = y(kx 1, kx 2,..., kx n ). Eine Funktion, die homogen vom Grade 1 ist, nennt man linear-homogen. Die Nachfragefunktion ist homogen vom Grade 0. (Es herrscht keine Geldillusion.) Exkurs: Homogene Funktionen

21 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 71 Engel-Kurve Hier bleiben alle Preise konstant und wir untersuchen die Veränderung der nachgefragten Mengen als Folge von Einkommensvariationen, also z. B. x = x (M; p x, p y ) Spezielle Nachfragefunktionen (Ernst Engel )

22 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 72 Wir untersuchen diese Abhängigkeit zunächst im Güterraum (Koordinaten x, y). In diesem Fall spricht man von der Einkommens- Konsum-Kurve. Hierbei werden die gleichgewichtigen Gütermengenkombinationen dargestellt, die sich bei veränderndem Einkommen ergeben. Spezielle Nachfragefunktionen

23 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 73 Einkommens-Konsum-Kurve y 0 A xAxA U1U1 B xBxB U2U2 C xCxC U3U3

24 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 74 Einkommensabhängige Nachfrage Die Punkte A, B und C zeigen den Verlauf der nachgefragten Menge von x und y an, wenn sich das Einkommen M erhöht. Die Kurve ist positiv steigend, wenn beide Güter normal oder superior sind. Ansonsten spricht man von inferioren Gütern. Hier nimmt die Nachfrage mit zunehmendem M ab.

25 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 75 Hier ist das Gut x inferior. Darstellung der Nachfrage nach einem inferioren Gut x y 0 xBxB U2U2 xAxA U1U1

26 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 76 x y Die Einkommens- Konsum-Kurve ist hier eine Gerade. Einkommensexpansion bei linear- homogenen Nutzenfunktionen U1U1 U2U2 U3U3

27 Goethe - Universität, Frankfurt/Main 77 x M Die Darstellung der Engel-Kurve


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