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51 Der optimale Verbrauchplan
Alle Güterbündel im Budgetraum sind dem Haushalt in dem Sinne verfügbar, daß er kauft, was er kann was objektiv verfügbar ist). Wenn der Haushalt unter dieser Beschrän-kung seinen Nutzen maximieren will, muß er die objektiven mit den subjektiven Alternativkosten vergleichen.

52 Optimierungsansatz (graphisch)
y x

53 Optimierungsansatz (analytisch)
Der Haushalt kann die IK mit dem Niveau U3 nicht erreichen. Bestimmte x-y-Kombinationen auf dem Nutzenniveau U1 kann er realisieren, aber diese entsprechen nicht dem maximal erreichbaren Nutzenniveau. Optimaler Punkt ist E, wo gilt MRSxy = MUx/MUy = px/py.

54 Optimierungsansatz (Bedingungen)
Äquivalent dazu läßt sich auch schreiben: oder allgemein für mehrere Güter

55 Optimierungsansatz (mathematisch)
Der mathematische Ansatz hierzu lautet: Maximiere U(x,y) u. d. N. (s.t.) Hierzu gibt es eine einfache Lösungstechnik: Die Optimierung einer Lagrange-Funktion.

56 Die Lagrange-Funktion
Sie kombiniert die zu optimierende (kardinale Nutzen-)Funktion und die Nebenbedingung der Budgetgleichung wie folgt: Die Funktion hat drei unabhängige Variable, x, y und l. Dabei gibt l den Nutzenwert einer zusätzlichen Einkommenseinheit an.

57 Das Maximum der L-Funktion
Wir differenzieren L und erhalten das folgende Gleichungssystem:

58 Die Marginalbedingung des Konsumentengleichgewichts
Aus den beiden ersten Gleichungen erhalten wir (“Zweites Gossensches Gesetz”): MRSxy = oder |dy/dx| = px/py

59 Lagrange Funktion: Beispiel
Wir unterstellen die konkrete kardinale Nutzenfunktion U = (x + 2) (y + 1) = U = xy + 2y + x + 2 unter der Nebenbedingung (subject to)

60 Die Ermittlung des Optimums
Die partiellen Ableitungen von L = xy + 2y + x l(M - pxx - pyy) sind: = y l0 - lpx - l0 = 0 = x l0 + l0 - lpy = 0 = M - pxx - pyy = 0

61 Auflösung des Gleichungssystems (1)
Zunächst lassen sich die drei Gleichungen wie folgt vereinfachen: y - lpx = -1 x - lpy = -2 -pxx - pyy = -M

62 Auflösung des Gleichungssystems (2)
Dann schreiben wir das System als Matrixgleichung wie folgt: diese Gleichung Ab = c löst man nach b über die Inverse von A und erhält b = A-1c

63 Inversion der Matrix A Die Determinante D erhält man nach der Sarrusschen Regel wie folgt: D = 0 + pypx + pypx = 2pypx . Die Adjunkte Aij erhält man, indem man die Zeilen i und Spalten j von A streicht und die jeweilige Determinante berechnet. Dabei ist das Vorzeichen von Aij = (-1)i+j.

64 Die Adjunkte: Beispiele
A11 = A11 = - py2 A23 = A23 = - px

65 Die Inverse von A Umformung ergibt...

66 (Die Lösung für l wird nicht verfolgt!)
Die Inverse von A (Die Lösung für l wird nicht verfolgt!)

67 Multiplikation mit dem Vektor c
Wir erhalten als Lösungen für x* und y*

68 Allgemeine Nachfragekurven
Wir können jetzt die optimalen Punkte der Nachfrage von x und y in Abhängigkeit von den bisher als konstant angenommenen Größen M, px und py darstellen. Wir erhalten dann die allgemeine Nachfragekurven x = x (M, px, py) bzw. y = y (M, px, py) .

69 Eigenschaften der Nachfragekurven
Die Nachfragekurven sind eindeutig und für gegebene Größen M, px und py einwertig. Dies folgt aus der Konvexitätsannahme für die Indifferenzkurven. Wenn sich alle Preise px und py sowie das Einkommen M um den gleichen Faktor k ändern, ändert sich die nachgefragte Menge nicht. Das Realeinkommen bleibt konstant.

70 Exkurs: Homogene Funktionen
Eine Funktion y = y(x1, x2, ..., xn) ist homogen vom Grade r, wenn gilt: kr y = y(kx1, kx2, ..., kxn) . Eine Funktion, die homogen vom Grade 1 ist, nennt man linear-homogen. Die Nachfragefunktion ist homogen vom Grade 0. (Es herrscht keine “Geldillusion”.)

71 Spezielle Nachfragefunktionen (Ernst Engel 1821-96)
Engel-Kurve Hier bleiben alle Preise konstant und wir untersuchen die Veränderung der nachgefragten Mengen als Folge von Einkommensvariationen , also z. B x = x (M; px, py)

72 Spezielle Nachfragefunktionen
Wir untersuchen diese Abhängigkeit zunächst im Güterraum (Koordinaten x, y). In diesem Fall spricht man von der Einkommens-Konsum-Kurve. Hierbei werden die gleichgewichtigen Gütermengenkombinationen dargestellt, die sich bei veränderndem Einkommen ergeben.

73 Einkommens-Konsum-Kurve
C xC U3 B xB U2 A xA U1 y

74 Einkommensabhängige Nachfrage
Die Punkte A, B und C zeigen den Verlauf der nachgefragten Menge von x und y an, wenn sich das Einkommen M erhöht. Die Kurve ist positiv steigend, wenn beide Güter “normal” oder “superior” sind. Ansonsten spricht man von “inferioren” Gütern. Hier nimmt die Nachfrage mit zunehmendem M ab.

75 Darstellung der Nachfrage nach einem inferioren Gut
xB U2 xA U1 Hier ist das Gut x “inferior”. y x

76 Einkommensexpansion bei linear-homogenen Nutzenfunktionen
Die Einkommens-Konsum-Kurve ist hier eine Gerade. y x

77 Die Darstellung der Engel-Kurve
x M