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Von Jasmin Boeß. Gliederung Wozu benötigen wir Determinanten? Herleitung der Cramerschen Regel Was ist eine Determinante? Cramersche Regel (2x2 Matrizen)

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Präsentation zum Thema: "Von Jasmin Boeß. Gliederung Wozu benötigen wir Determinanten? Herleitung der Cramerschen Regel Was ist eine Determinante? Cramersche Regel (2x2 Matrizen)"—  Präsentation transkript:

1 von Jasmin Boeß

2 Gliederung Wozu benötigen wir Determinanten? Herleitung der Cramerschen Regel Was ist eine Determinante? Cramersche Regel (2x2 Matrizen) Übungsbeispiele Regel von Sarrus Cramersche Regel (3x3 Matrizen) Übungsbeispiele

3 Wozu benötigen wir Determinanten? zum Lösen von Gleichungssystemen Gauss-Verfahren Bsp: 2x 1 – 3x 2 = 5 | *7 7x 1 + 5x 2 = 9 | *2 2x 1 - 3x 2 = x 2 = 17 x 2 = 17/-31 x 1 = 52/31 -

4 Herleitung der Cramerschen Regel (2x2 Matrix) I: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 | *a 22 II: a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 | *a 12 I a : a 11 a 22 x 1 + a 12 a 22 x 2 = a 22 b 1 II a : a 21 a 12 x 1 + a 22 a 12 x 2 = a 12 b 2 a 11 a 22 x 1 – a 21 a 12 x 1 = a 22 b 1 – a 12 b 2 x 1 (a 11 a 22 -a 21 a 12 ) = a 22 b 1 – a 12 b 2 x 1 = I a – II a a 22 b 1 – a 12 b 2 a 11 a 22 -a 21 a 12

5 Herleitung der Cramerschen Regel (2x2 Matrix) I: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 | *a 21 II: a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 | *a 11 I a : a 11 a 21 x 1 + a 12 a 21 x 2 = a 21 b 1 II a : a 21 a 11 x 1 + a 22 a 11 x 2 = a 11 b 2 a 22 a 11 x 2 – a 12 a 21 x 2 = a 11 b 2 – a 21 b 1 x 2 (a 22 a 11 -a 12 a 21 ) = a 11 b 2 – a 21 b 1 x 2 = a 11 b 2 – a 21 b 1 a 22 a 11 -a 12 a 21 II a – I a

6 Was ist eine Determinante? Definition Eine Determinante ordnet einer (n;n)-Matrix A eindeutig eine reelle oder komplexe Zahl det A zu. Schreibweise = a 11 a 22 -a 12 a 21 a 11 a 12 a 21 a => Determinante

7 Cramersche Regel a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 X1 = X2 = a 22 b 1 - a 12 b 2 a 11 a 22 - a 21 a 12 a 11 b 2 - a 21 b 1 a 22 a 11 - a 12 a 21 inhomogene Gleichungssysteme; LGS mit genau einer Lösung x1x1 = a 11 a 22 - a 21 a 12 b 1 a 22 - b 2 a 12 = b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 x2x2 = = a 11 b 2 - a 21 b 1 a 11 a 22 - a 12 a 21 a 11 b 1 a 21 b 2 Cramersche Regel a 11 a 12 a 21 a 22

8 Übungsbeispiel 2x 1 – 3x 2 = 5 7x 1 + 5x 2 = 9 x1x1 = = 5*5-(-3)*9 2*5-(-3)*7 = x2x2 = = 2*9-5*7 2*5-(-3)*7 = Zähler: Ergebnis + anderer x-Wert Nenner: Koeffizienten der x-Werte

9 11x x 2 = 20 5x x 2 = 1 7x 1 + 7x 2 = 10 rx 1 - rx 2 = 1

10 11x x 2 = 20 5x x 2 = 1 x 1 = = = x 2 = = = *(-12)-(-13)*1 11*(-12)-(-13)* *1-20* *(-12)-(-13)*5

11 7x 1 + 7x 2 = 10 rx 1 - rx 2 = 1 x 1 = = = = x 2 = = = r 7 7 r -r 10*(-r)-7*1 7*(-r)-7*r -10r-7 -14r 7 10 r 1 7*1-10*r-10r r -r 7*(-r)-7*r 10r+7 14r -14r

12 Regel von Sarrus a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33 --

13 x 1 = 1 D b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 x 2 = 1 D a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 x 3 = 1 D a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 D = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Cramersche Regel

14 Übungsbeispiel 3x 1 + 5x 2 - 7x 3 = 4 6x 1 + 4x x 3 = 9 3x 1 - 3x 2 - 6x 3 = 2 x 1 = 1 D D = = x 2 = 1 D = x 1 = 1 D = = 31 6 = =

15 x 1 + x 2 + x 3 = 10 5x 1 + 7x 2 - 9x 3 = 11 3x 1 + 2x x 3 = 30

16 x 1 + x 2 + x 3 = 10 5x 1 + 7x 2 - 9x 3 = 11 3x 1 + 2x x 3 = 30 x 1 = 1 D = x 2 = 1 D = x 1 = 1 D = = = = D =

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18 Quellen Analytische Geometrie mit linearer Algebra; Lambacher Schweizer; S materialien/klaus.berger/files/Matrizen/determinante.pdf

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