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1 STATISIK LV Nr.: 0021 WS 2005/06 18. Oktober 2005.

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1 1 STATISIK LV Nr.: 0021 WS 2005/ Oktober 2005

2 2 Zweidimensionale Merkmale Frage: Wie lässt sich der Zusammenhang bzw. die Abhängigkeit zw. zwei Merkmalen messen? –Wie stark ist der Zusammenhang bzw. die Abhängigkeit? Antwort durch Korrelationsrechnung. –Lässt sich der Zusammenhang in einer bestimmten Form darstellen? Antwort durch Regressionsrechnung.

3 3 Zweidimensionale Merkmale n Untersuchungseinheiten, 2 Merkmale X und Y, Ausprägungen des Merkmals X a 1,…,a l und Ausprägungen des Merkmals Y b 1,…,b m. 2-dimensionales Merkmal (X,Y) mit Ausprägungen (a j,b k ), mit absoluten Häufigkeiten h jk und relativen Häufigkeiten f jk =1/n·h jk

4 4 Kontingenztafel Häufigkeitsverteilung von (X,Y) wird durch Kontingenztafel dargestellt. X Yb1b1 …bmbm a1a1 h 11 …h 1m ::: alal h l1 …h lm

5 5 Kontingenztafel Bsp. Geschlecht (X) Rauchverhalten (Y): absolute und relative Häufigkeiten von (X,Y). X YRN-R w 932 m 527 X YRN-R w 0,120,44 m 0,070,37

6 6 Kontingenztafel Absolute Randhäufigkeiten –von a j für j=1,…,l und b k für k=1,...,m: Relative Randhäufigkeiten –von a j für j=1,…,l und b k für k=1,…,m: Randhäufigkeiten ergeben die Häufigkeits- verteilung des Merkmals X bzw.Y (Randverteilung).

7 7 Kontingenztafel Kontingenztafel absoluten Häufigkeiten und Randhäufigkeiten X Yb1b1 …bmbm Σ a1a1 h 11 …h 1m h 1. :::: alal h l1 …h lm h l. Σh.1 …h.m h.. =n

8 8 Kontingenztafel Kontingenztafel relative Häufigkeiten und Randhäufigkeiten X Yb1b1 …bmbm Σ a1a1 f 11 …f 1m f 1. :::: alal f l1 …f lm f l. Σf.1 …f.m f.. =1

9 9 Kontingenztafel Es gilt: Relative Randhäufigkeit = 1 / n · absolute Randhäufigkeit Summe der absoluten Randhäufigkeiten = n Summe der relativen Randhäufigkeiten = 1

10 10 Kontingenztafel Bsp. Geschlecht (X) Rauchverhalten (Y): absolute und relative Häufigkeiten und Randhäufigkeiten von (X,Y). X YRN-R w m X YRN-R w 0,120,440,56 m 0,070,370,44 0,190,811

11 11 Kontingenztafel Bsp. Geschlecht (X) Rauchverhalten (Y): Zeilenprozent: X YRN-R w 0,220,781 m 0,160,841 0,190,811 X YRN-R w m

12 12 Kontingenztafel Bsp. Geschlecht (X) Rauchverhalten (Y): Spaltenprozent: X YRN-R w 0,640,540,56 m 0,360,460, X YRN-R w m

13 13 Darstellung

14 14 Darstellung

15 15 Darstellung

16 16 Darstellung

17 17 Darstellung

18 18 Darstellung

19 19 Korrelationskoeffizient Bravais-Pearson Korrelationskoeffizient r XY 2-dimensionales metrisch skaliertes Merkmal (X,Y) mit Ausprägungen (a j,b k ) und Häufigkeiten h jk für j=1,…,l und k=1,…,m. Maß für den Zusammenhang zw. X und Y:

20 20 Korrelationskoeffizient r XY liegt immer im Intervall [-1,1] Extremfälle: -1 negativer linearer Zusammenhang r XY = 0 kein linearer Zusammenhang 1 positiver linearer Zusammenhang Interpretation: –r XY < 0 d.h. große Werte von X treten mit kleinen Werten von Y auf –r XY > 0 d.h. große Werte von X treten mit großen Werten von Y auf

21 21 Korrelationskoeffizient Probleme: Scheinkorrelation: X und Y hängen von einem dritten Merkmal Z ab –Bsp. Gefahr eines Waldbrandes (X) und schlechter Kornertrag (Y) hängen von der Stärke der Sonneneinstrahlung (Z) ab. Nonsenskorrelation: sachlogischer Zusammenhang zw. X und Y –Bsp. Korrelation zw. Anzahl der Störche und der Anzahl der Geburten in einem Land Nichtlinearer Zusammenhang: r XY misst nur einen linearer Zusammenhang

22 22 Korrelation

23 23 Korrelation

24 24 Korrelationskoeffizient Bsp. Körpergröße und Gewicht: r = 0,76 –Positiver linearer Zusammenhang zw. Körpergröße und Gewicht.

25 25 Korrelation Fechnersche Korrelationskoeffizient (für 2 metrisch skalierte Merkmale X und Y): r F Basiert auf Vorzeichen der transformierten Paare x* und y* 1 x* und y* gleiches Vorzeichen od. beide 0 v i = ½ genau einer der Werte x* bzw. y* = 0 0 sonst

26 26 Korrelation Fechnersche Korrelationskoeffizient: Werte im Intervalle [-1,1] +1 nicht nur bei positivem linearen Zusammenhang, sonder auch wenn gilt: oder

27 27 Korrelation Bsp. Hennen, Körpergewicht, Legeleistung

28 28 Korrelation Rangkorrelationen für ordinal skalierte Merkmale: Verwendung von Rangzahlen: Merkmal Z, Ausprägungen z 1,…,z n, der Größe nach ordnen (vom größten zum kleinsten Wert) z (1),…,z (n) und nummerieren. Rangzahl: R(z (i) ) = i für i=1,…,n Tritt ein Ausprägung mehrmals auf (Auftreten von Bindungen), dann Rang = arithm. Mittel der Ränge, die sie einnehmen. –Bsp: z (1) =8, z (2) =5, z (3) =5, z (4) =2, Ränge: R(z (1) )=1, R(z (2) )=2,5, R(z (3) )=2,5, R(z (4) )=4

29 29 Korrelation Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient r S Entspricht dem Bravais-Pearson Koeffizienten der Rangzahlen Wert +1 schon bei monoton wachsenden Beobachtungen, d.h. es gilt für alle (x i,y i ), (x j,y j ): mit x i < x j ist auch y i < y j

30 30 Korrelation Bsp. Klausur- und Übungspunkte Einfachere Formel für den Spearmanschen Korrelationskoeffizienten (falls alle x i und y i verschieden sind (und d i =R(x i )–R(y i )):

31 31 Korrelation Bsp. Maturanoten Mathe, Deutsch, Englisch MatheDeutschEnglisch Mathe10,230,382 Deutsch0,2310,576 Englisch0,3820,5761

32 32 Korrelation Yulesche Assoziationskoeffizient für eine Vierfeldertafel (X,Y) nominal skaliert Häufigkeitsverteilung von (X,Y) Es gilt: -1 A XY +1; falls ein h ij =0, so gilt: |A XY |=1; Vorzeichen nur in Verbindung Vierfeldertafel interpretierbar

33 33 Korrelation Bsp. Geschlecht – Raucher/Nichtraucher Leicht positiver Zusammenhang zw. Merkmalsausprägungen w und R RN-R w93241 m

34 34 Korrelation Bsp. Geschlecht – Raucher/Nichtraucher Leicht negativer Zusammenhang zw. Merkmalsausprägungen m und R RN-R m52732 w

35 35 Theorie …

36 36 Wahrscheinlichkeitsrechung Betrachte Ereignisse die nicht deterministisch (vorherbestimmbar) sind, Ereignisse mit Zufallscharakter. –Bsp. Werfen eines idealen Würfels, Werfen einer fairen Münze, … –Oder Ereignisse, die von so vielen Einflussfaktoren abhängen, dass das Ergebnis nicht sicher bestimmt werden kann.

37 37 Wahrscheinlichkeitsrechung Grundbegriffe: Zufallsexperiment: –Vorgang nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführt, beliebig oft wiederholbar, Ergebnis hängt vom Zufall ab, bei mehrmaligen Durchführung des Experiments beeinflussen die Ergebnisse einander nicht – unabhängig voneinander. (z.B. Münzwurf, Werfen eines Würfels, …)

38 38 Wahrscheinlichkeitsrechung Elementarereignisse (Realisationen) –Zufallsexperiment: Reihe aller möglichen elementarer Ereignisse {e 1 },…,{e n } Ereignisraum S: –Menge der Elementarereignisse S={e 1,…,e n } Ereignis: –Jede beliebige Teilmenge des Ereignisraumes (setzt sich aus einem od. mehreren Elementarereignissen zusammen)

39 39 Wahrscheinlichkeitsrechung Vereinigung –Vereinigung von 2 Ereignissen A und B: A U B Menge aller Elementarereignisse, die zu A oder B gehören Durchschnitt –Durchschnitt von 2 Ereignissen A und B: AB Menge aller Elementarereignisse, die zu A und B gehören Disjunkte Ereignisse –2 Ereignisse A und B schließen einander aus, AB=Ø (Ø unmögliches Ereignis) Komplementärereignis –Menge aller Elementarereignisse des Ereignisraumes S, die nicht in Ereignis A enthalten sind

40 40 Wahrscheinlichkeitsrechung Wahrscheinlichkeit ist ein Maß zur Quantifizierung der Sicherheit bzw. Unsicherheit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses im Rahmen eines Zufallsexperiments.

41 41 Wahrscheinlichkeitsrechung Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Bsp. Urne mit 10 Kugeln (8 rot, 2 schwarz) –Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Kugel rot ist (Ereignis A) –Ereignisraum 10 mögl. Elementarereignisse, 8 günstige Fälle –W(A) = 8 / 10 = 0,8

42 42 Wahrscheinlichkeitsrechung Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Grenzwert der relativen Häufigkeiten des Auftretens von A

43 43 Wahrscheinlichkeitsrechung Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff: Ereignissen werden Wettchancen zugeordnet. Quote für A ist a:b, dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeiten

44 44 Wahrscheinlichkeitsrechung Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Definition von mathematischen Eigenschaften 1. 0 W(A) 1 2. W(S) = 1 3. A und B disjunkt: W(A U B) = W(A) + W(B)

45 45 Zufallsvariable Zufallsvariable: Variable deren Wert vom Zufall abhängt (z.B. X, Y, Z) –Bsp. Zufallsexperiment: 2-maliges Werfen einer Münze. Frage: Wie oft erscheint Zahl? Mögliche Werte: 0, 1, 2. Variable Anzahl Zahl hängt vom Zufall ab – Zufallsvariable. Realisation (Ausprägung): Wert, den eine Zufallsvariable X annimmt (z.B. x, y, z). –Bsp. 2-maliges Werfen einer Münze, ZV X Anzahl Zahl, Ausprägungen: x 1 =0, x 2 =1, x 3 =2.

46 46 Zufallsvariable Zufallsvariable: Funktion, die jedem Elementarereignis eine bestimmt reelle Zahl zuordnet, z.B. X(e j )=x i Definitionsbereich einer ZV: Ereignisraum S des zugrundeliegenden Zufallsexperiments. Wertebereich einer ZV: Menge der reellen Zahlen.

47 47 Zufallsvariable Diskrete Zufallsvariable: ZV mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen Ausprägungen Stetige Zufallsvariable: können (zumindest in einem bestimmten Bereich der reellen Zahlen) jeden beliebigen Zahlenwert annehmen.

48 48 Wahrscheinlichkeit Diskrete Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeit, mit der eine diskrete ZV X eine spezielle Ausprägung x i annimmt, W(X=x i ): Summe der Wahrscheinlichkeiten derjenigen Elementarereignisse e j, denen Ausprägung x i zugeordnet ist:

49 49 Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten ZV: Funktion f(x i ), die für jede Ausprägung der ZV (unterschiedliche Ausprägungen x i einer ZV X) die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens angibt: f(x i ) = W(X=x i ) Eigenschaften: –f(x i ) 0 i=1,2,… –Σ i f(x i ) = 1

50 50 Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion einer diskreten ZV: Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X x) Es gilt: Treppenfunktion

51 51 Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion einer stetigen ZV (kann in einem bestimmten Intervall jeden beliebigen Wert annehmen): Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X x) Stetige Funktion

52 52 Verteilungsfunktion Eigenschaften einer stetigen Vt-Funktion: 1. 0 F(x) 1 2. F(x) ist monoton wachsend (d.h. für x 1 < x 2 gilt F(x 1 ) F(x 2 ) 3. lim x- F(x) = 0 4. lim x F(x) = 1 5. F(x) ist überall stetig

53 53 Wahrscheinlichkeitsdichte Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) f(x) einer stetigen ZV: Ableitung der Verteilungsfunktion. Es gilt:

54 54 Wahrscheinlichkeitsdichte Eigenschaften: 1. f(x) W(X=x) = 0 5. W(a X b) = W(a < X < b) 6. W(X a) = F(a) W(X b) = F(b) W(a X b) = F(b) – F(a)

55 55 Parameter Charakterisierung der Wahrscheinlichkeits- verteilung von Zufallsvariablen durch Parameter (Maßzahlen) Erwartungswert E(X) = Lageparameter (Entspricht dem arithm. Mittel) Varianz Var(X) = Streuungsparameter

56 56 Erwartungswert Diskrete ZV: Stetige ZV:

57 57 Varianz Diskrete ZV: Stetige ZV: Standardabweichung:

58 58 Standardisierung Lineare Transformation: Y = a + bX Spezialfall Standardisierung: a = – E(X) / σ X b = 1 / σ X Standardisierte Variable Z: Es gilt: E(Z) = 0 und Var(Z) = 1

59 59 Theoretische Verteilungen Bedeutung von theoretische Verteilungen Deskriptive Statistik: –Approximative funktionsmäßige Beschreibung empirisch beobachteter Häufigkeitsverteilungen Mathematische Statistik: –Wahrscheinlichkeiten für Ergebnisse bestimmter Zufallsexperimente

60 60 Kombinatorik Wie kann eine gegebene Anzahl von Elementen unterschiedlich angeordnet und zu Gruppen zusammengefasst werden? Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Elemente anzuordnen? Anzahl der möglichen Permutationen? Wie viele Möglichkeiten gibt es, von n Elementen k auszuwählen? Anzahl der möglichen Kombinationen?

61 61 Kombinatorik Permutationen: n voneinander verschiedene Elemente: n! = n·(n-1)·(n-2)·…·1 Permutationen Bsp.1: n=3, Elemente e 1, e 2, e 3. Anzahl der möglichen Permutationen: 3! = 3·2·1 = 6 (e 1, e 2, e 3 ) (e 1, e 3, e 2 ) (e 2, e 1, e 3 ) (e 2, e 3, e 1 ) (e 3, e 1, e 2 ) (e 3, e 2, e 1 ) Bsp.2: n=10, Anzahl der möglichen Permutationen: 10! =

62 62 Kombinatorik n Elemente, wobei n i Elemente vom Typ i sind (r unterschiedliche Typen): Bsp.1: n=10, r=3 und n 1 =3, n 2 =5, n 3 =2, Anzahl der möglichen Permutationen:

63 63 Kombinatorik Kombinationen: Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden –Kombination ohne Wiederholung: jedes Element kann nur einmal gewählt werden Berücksichtigung der Reihenfolge: Anzahl der Möglichkeiten: Keine Berücksichtigung der Reihenfolge: Anzahl der Möglichkeiten:

64 64 Kombinatorik Kombinationen ohne Wiederholung: n=3, k=2, Elemente e 1, e 2, e 3. –Berücksichtigung der Reihenfolge: Möglichkeiten: (e 1, e 2 ) (e 2, e 1 ) (e 1, e 3 ) (e 3, e 1 ) (e 2, e 3 ) (e 3, e 2 ), also 3!/(3-2)! = 6 Möglichkeiten –Keine Berücksichtigung der Reihenfolge: Möglichkeiten: (e 1, e 2 ), (e 1, e 3 ) (e 2, e 3 ), also 3!/(2!(3-2)!) = 3 Möglichkeiten

65 65 Kombinatorik Kombinationen ohne Wiederholung: Bsp.1: Lotto, Möglichkeiten aus 49 Zahlen 6 zu wählen (Reihenfolge unberücksichtigt) Bsp.2: Pferderennen, sind 8 Pferde am Start, gibt es für die Belegung der ersten 3 Plätze 8!/(8-3)! = 336 Möglichkeiten

66 66 Kombinatorik Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden –Kombination mit Wiederholung: ein Element kann auch mehrfach ausgewählt werden. Berücksichtigung der Reihenfolge Anzahl der Möglichkeiten: n k Keine Berücksichtigung der Reihenfolge Anzahl der Möglichkeiten:

67 67 Kombinatorik Kombination mit Wiederholung: n=3, k=2, Elemente e 1, e 2, e 3. –Berücksichtigung der Reihenfolge, Möglichkeiten: (e 1, e 1 ), (e 1, e 2 ), (e 1, e 3 ), (e 2, e 2 ), (e 2, e 1 ), (e 2, e 3 ), (e 3, e 3 ), (e 3, e 1 ), (e 3, e 2 ), Anzahl der Möglichkeiten: n k = 3² = 9 –Keine Berücksichtigung der Reihenfolge, Möglichkeiten: (e 1, e 1 ), (e 1, e 2 ), (e 1, e 3 ), (e 2, e 2 ), (e 2, e 3 ), (e 3, e 3 ), Anzahl der Möglichkeiten: (3+2-1)! / (2!·(3-1)!) = 4! / (2!·2!) = 6

68 68 Kombinatorik Kombinationen mit Wiederholung: Bsp.1: Würfelt man viermal hintereinander, sind 6 4 = Abläufe möglich Bsp.2: Hat man vier verschiedene Sorten Süßigkeiten, gibt es 286 Möglichkeiten eine Tüte mit 10 Süßigkeiten zu füllen.

69 69 Theoretische Verteilungen Diskrete Verteilungen –Binomialverteilung –Hypergeometrische Verteilung –Poissonverteilung –... Stetige Verteilungen –Gleichverteilung –Exponentialverteilung –Normalverteilung –Chi-Quadrat Verteilung –t-Verteilung (Studentverteilung) –F-Verteilung –...

70 70 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeiten für die Häufigkeit des Eintreffens bestimmter Ereignisse bei Bernoulli-Experimenten berechnen. Bernoulli-Experiment: Folge von Bernoulli- Versuchen. Urnenmodell mit Zurücklegen –Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: A und Ā –Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A (θ) und Ā (1- θ) sind konstant –Versuche sind voneinander unabhängig.

71 71 Binomialverteilung Bsp. Bernoulli-Experiment: –fünfmaliges Werfen einer Münze, Zufallsvariable X Anzahl der Zahlen, Realisation x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 –Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A: W(X=x) = f(x) = ?

72 72 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Realisation x: W(X=x) = f(x) Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:

73 73 Binomialverteilung Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass genau 2-mal Zahl geworfen wird: W(X=2)

74 74 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt: Verteilungsfunktion F B (x;n,θ)

75 75 Binomialverteilung Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass höchstens 2-mal Zahl geworfen wird: W(X 2)

76 76 Binomialverteilung Erwartungswert der Binomialverteilung: E(X) = n·θ Varianz der Binomialverteilung: Var(X) = n·θ·(1-θ) Bsp. Münzwurf: –E(X) = 5·0,5 = 2,5 –Var(X) = 5·0,5·(1-0,5) = 1,25

77 77 Hypergeometrische Verteilung Urnenmodell Ziehen ohne Zurücklegen: –Urne mit N Kugeln (M schwarze, N-M weißen) –Zufallsstichprobe: ziehe n Kugeln ohne Zurücklegen –Wahrscheinlichkeit, dass unter den n gezogenen Kugeln genau x schwarze zu finden sind? Ziehen ohne Zurücklegen, keine Berücksichtigung der Reihenfolge.

78 78 Hypergeometrische Verteilung Urnenmodell: –Aus M schwarzen Kugeln genau x auswählen: Anzahl der Kombinationen –Aus N-M weißen Kugeln genau n-x auswählen: Anzahl der Kombinationen –Jede mögl. Stpr. x schwarze aus M kann mit jeder mögl. Stpr. n-x weiße aus N-M kombiniert werden. –Daher: Gesamtzahl der Möglichkeiten genau x schwarze zu ziehen: –Gesamtzahl der Möglichkeiten aus N Kugeln n zu ziehen:

79 79 Hypergeometrische Verteilung Wahrscheinlichkeit genau n schwarz Kugeln zu ziehen: Wahrscheinlichkeitsfunktion der Hypergeometrischen Verteilung:

80 80 Hypergeometrische Verteilung Verteilungsfunktion: Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten Liefert Wahrscheinlichkeit für höchstens x schwarze Kugeln

81 81 Hypergeometrische Verteilung Bsp. Sortiment von N=8 Dioden, es werden n=3 zufällig gezogen (ohne Zurücklegen), M=5 der Dioden sind defekt. Ges: Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 (=x) der 3 gezogenen Dioden defekt sind.

82 82 Hypergeometrische Verteilung Erwartungswert: E(X) = n · M/N Varianz Var(X) = n · M/N · (N-M)/N · (N-n)/(n-1) Approximation durch Binomialverteilung: –Wenn N, M, N-M groß und n klein, Parameter der Binomialverteilung: θ = M/N –Faustregel: Approximation, wenn n/N < 0,05

83 83 Poissonverteilung Verteilung seltener Ereignisse Große Zahl von Versuchen n, Wahrscheinlichkeit θ für Auftreten eines Ereignisses sehr klein Wahrscheinlichkeitsfunktion:

84 84 Poissonverteilung Erwartungswert: E(X) = μ Varianz: Var(X) = μ Approximation der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung: –n groß und θ klein, Parameter μ = n·θ –Faustregel: n > 10 und θ < 0,05. Approximation der Hypergeometrischen Vt. –M/N = θ klein, N im Vergleich zu n groß, Parameter μ = n · M/N –Faustregel: M/N < 0,05 und n/N < 0,05

85 85 Poissonverteilung Bsp. Wahrscheinlichkeit bei einer Prüfung von n=2000 Buchungen genau 3 (=x) Fehlbuchungen zu finden, Anteil der Fehlbuchungen: θ=0,001. Poissonverteilung: μ = n·θ = 2

86 86 Gleichverteilung Diskrete Zufallsvariable: Jede der k möglichen Ausprägungen hat gleiche Wahrscheinlichkeit P(X=x i ) = 1/k (i=1,…,k) Bsp. Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augenzahl eines idealen Würfels: P(X=x i ) = 1/6(i=1,…,6)

87 87 Gleichverteilung Stetige Zufallsvariable: Realisationen der stetigen Zufallsvariablen X liegen im Intervall [a;b] Dichtefunktion: P(x X x+Δx) = 1/(b-a) · Δx

88 88 Gleichverteilung

89 89 Gleichverteilung Verteilungsfunktion (Integration der Dichte)

90 90 Gleichverteilung

91 91 Gleichverteilung Erwartungswert: E(X) = (a+b)/2 Varianz: Var(X) = (b-a)² / 12 Bsp. Wegzeit ist gleichverteilt im Intervall [30;40]. Ges. Wahrscheinlichkeit zw. 32 und 35 Min. zu benötigen. P(32 X 35) = 1/(b-a) · Δx = 1/(40-30) · (35-32) = 0,3 Durchschnittlich benötigte Zeit: E(X) = 35

92 92 Normalverteilung Wichtigste theoretische Verteilung: Normalverteilung: –stetige Verteilung –symmetrische Dichtefunktion –S-förmige Verteilungsfunktion –Erwartungswert: E(X) = µ –Varianz: Var(X) = σ² –Maximum der Dichte bei x=µ –Wendepunkte bei x=µ σ

93 93 Normalverteilungen Normalverteilung: Dichtefunktion (für - 0) : Verteilungsfunktion:

94 94 Normalverteilung Normalverteilungen mit unterschiedlichen Parametern

95 95 Normalverteilung Verteilungsfunktion

96 96 Normalverteilung Standardnormalverteilung: –Erwartungswert µ = 0 –Varianz σ² = 1 Dichtefunktion:

97 97 Normalverteilung Standardnormalverteilung

98 98 Normalverteilung Approximation durch Normalverteilung: Mit wachsendem n nähern sich viele theoretische Vt. der Normalverteilung Empirische Verteilungen lassen sich ebenfalls oft durch die N-Vt. annähern.

99 99 Normalverteilung Reproduktionseigenschaft (od. Additivitäts- eigenschaft) der Normal-Vt. Additionstheorem der Normalverteilung: –Die Summe (X) von n unabhängig normalverteilten Zufallvariablen X 1,…,X n ist ebenfalls normalverteilt. X = X 1 + … + X n –Der Erwartungswert von X ist die Summe der einzelnen Erwartungswerte μ 1,…,μ n E(X) = μ = μ 1 + … + μ n –Die Varianz von X ist die Summe der einzelnen Varianzen σ 1 ²,…σ n ² Var(X) = σ ² = σ 1 ² + … + σ n ²


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