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1 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO Quadratische Reste Definitionen: Quadratischer Rest Quadratwurzel Anwendungen.

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1 1 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO Quadratische Reste Definitionen: Quadratischer Rest Quadratwurzel Anwendungen

2 2 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO Quadratischer Rest - Quadratwurzel gegeben: n N Das Element a Z n * heisst quadratischer Rest modulo n, wenn es ein b Z n * gibt mit b 2 = a mod n b heisst Quadratwurzel von a modulo n.

3 3 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO Beispiel n = 55 Z n * = {1,2,3,4,6,7,8,9,12,13,14,16,17,18,19,21,23,24, 26,27,28,29,31,32,34,36,37,38,39,41,42,43,46,47,48, 49,51,52,53,54} (55) = (5) (11) = 40 Es sei a = 34 Die Quadratwurzeln dazu sind: 12, 23, 32, 43.

4 4 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO Erweiterter Euklidischer Algorithmus 1.Euklidischer Algorithmus -> ggT 2.Berechnung der ganzzahligen Koeffizienten s und t mit ggT = sa + tb

5 5 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 1. Euklidischer Algorithmus abqst 9978

6 6 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 1. Euklidischer Algorithmus abqst

7 7 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO Hier ist 3 = sa + tb = Deshalb wird in der Tabelle unten bei s = 1 und bei t = 0 eingetragen. ggT = sa + tb

8 8 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 2. Setze s=1 und t =0 abqst ggT = sa + tb

9 9 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO Erweiterter Euklidischer Algorithmus von unten nach oben das t alt wird in das s neu eingesetzt.

10 10 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 3. Setze s neu = t alt abqst

11 11 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 4. Berechne t neu = s alt - qt alt abqst t neu = s alt - qt alt

12 12 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 5. Weiter nach oben abqst t neu = s alt - qt alt

13 13 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 6. ggT = sa + tb abqst t neu = s alt - qt alt


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