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1 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO Quadratische Reste Definitionen: Quadratischer Rest Quadratwurzel Anwendungen
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2 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO Quadratischer Rest - Quadratwurzel gegeben: n N Das Element a Z n * heisst quadratischer Rest modulo n, wenn es ein b Z n * gibt mit b 2 = a mod n b heisst Quadratwurzel von a modulo n.
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3 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO Beispiel n = 55 Z n * = {1,2,3,4,6,7,8,9,12,13,14,16,17,18,19,21,23,24, 26,27,28,29,31,32,34,36,37,38,39,41,42,43,46,47,48, 49,51,52,53,54} (55) = (5) (11) = 40 Es sei a = 34 Die Quadratwurzeln dazu sind: 12, 23, 32, 43.
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4 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO Erweiterter Euklidischer Algorithmus 1.Euklidischer Algorithmus -> ggT 2.Berechnung der ganzzahligen Koeffizienten s und t mit ggT = sa + tb
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5 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 1. Euklidischer Algorithmus abqst 9978
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6 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 1. Euklidischer Algorithmus abqst 99781 213 151 62 632 30
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7 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO Hier ist 3 = sa + tb = 13 + 00 Deshalb wird in der Tabelle unten bei s = 1 und bei t = 0 eingetragen. ggT = sa + tb
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8 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 2. Setze s=1 und t =0 abqst 99781 213 151 62 632 3010 ggT = sa + tb
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9 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO Erweiterter Euklidischer Algorithmus von unten nach oben das t alt wird in das s neu eingesetzt.
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10 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 3. Setze s neu = t alt abqst 99781 213 151 62 6320 3010
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11 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 4. Berechne t neu = s alt - qt alt abqst 99781 213 151 62 63201 3010 t neu = s alt - qt alt
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12 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 5. Weiter nach oben abqst 99781 213 151 621-2 63201 3010 t neu = s alt - qt alt
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13 (C)2006, Hermann Knoll, HTW Chur, FHO 6. ggT = sa + tb abqst 99781-1114 782133-11 21151-23 15621-2 63201 3010 t neu = s alt - qt alt
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