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Info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 1 Numerische Verarbeitung digitaler Signale Glätten drei gemessene Werte y n-1, y.

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1 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 1 Numerische Verarbeitung digitaler Signale Glätten drei gemessene Werte y n-1, y n, y n+1 linearer Mittelwert Aus einem Satz von N Messwerten erhält man N-2 geglättete Werte

2 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 2 Zweimaliges Glätten

3 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 3 Beispiel: Messwerte Tabelle 1: Numerische nynyn aus unsym. Ausgleichsf ,94 25,45,63- 36,55,975,886,15 46,06,076,026,09 55,76,036,145,87 66,46,336,396,30 76,96,806,886,82 87,17,267,187,30 97,87,47-7,67 107,5--7,53

4 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 4 Ausgleichsgerade Bsp.: durch folgende 5 Messpaare x n, yn wird ein Ausgleichspolynom 1. Ordnung gelegt. N12345 xnxn ynyn Ausgleichspolynom f(x)=P(x) Polynom 1. Ordnung f(x)=a+bx

5 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 5 Gaußsches Prinzip der kleinsten Quadrate. b ba X y xnxn x n+1 ynyn y n+1 Streng genommen: senkrechter Abstand muss minimiert werden Praxis: Abzisse wird fehlerfrei angenommen minimiert wird Ordinaten-Differenz f(x)-y n

6 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 6 Herleitung Gaußsches Fehlerquadrat

7 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 7 Gaußsches Fehlerquadrat

8 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 8 Zum Beispiel Ausgleichsgerade durch 5 Punkte

9 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 9 Skizze: Ausgleichspolynom

10 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 10 Ausgleichspolynom 3.Ordnung durch 5 Punkte x n- 2 x n- 1 xnxn x n +1 x n +2 (x n, )geglätteter Wert / wahrscheinlichere Wert n Stützstellen k = -2, -1, 0, 1, 2 (x n+k, y n+k )

11 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 11 Polynom 3. Ordnung

12 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 12 4 Gleichungen

13 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 13 aus (1) und (3) folgt: Die ersten beiden und die letzten beiden Punkte wurden nicht geglättet. Ausgleichspolynom

14 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 14 Unsymmetrische Ausgleichsformel

15 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 15 Differenzenquotient Messweite y n Variable x n Äquidistanter Abstan x n+1 -x n =h Aus Taylorreihe folgt: Differenzenquotient aus den zu (x n,y n )benachbarten Stellen

16 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 16 Taylorsche Satz

17 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 17 Quadraturformeln - Integrieren Der Name Quadraturformel stammt vom Delischen Problem der Quadratur des Kreises Quadraturformeln, ermöglichen die numerische Berechnung von Flächeninhalten. Visualisierung zur numerischen Integration Visualisierung

18 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 18 Integrieren x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 xNxN x y Gesamtfläche

19 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 19 Trapezregel x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 xNxN y1y1 y2y2 A2A2 A3A3 h Formel für Trapezfläche Gesamtfläche:

20 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 20 Keplersche Fassregel Durch 3 Stützstellen wird Polynom 2.Ordnung gelegt Integrationsintervall von 2h x1x1 x2x2 x3x3 y1y1 h02h

21 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 21 Herleitung Keplersche Fassregel Übung

22 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 22 Keplersche Fassregel 2 Streifen Bemerkung: Bei gerader Zahl von Messwerten: Simpson-Regel

23 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 23 Simpson-Regel

24 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 24 3/8-Regel Polynom 3.Ordnung 3 Streifen y(x)=a+bx+cx²+dx³ x1x1 x2x2 x3x3 y1y1 h02h x4x4 3h A3A3 drei Streifen

25 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 25 Newton-Cotes-Formeln 4. Ordnung

26 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 26 Beurteilung der Integrationsverfahren Welche Verfahren wird man in der Praxis einsetzen? Abwägung: Speicherplatz – Prozessorleistung Früher waren Speicherplatz und schnelle A/D-Wandler teuer ->Prozessor + SW Heute: Integrationsintervall klein -> Rechteckregel Übung: Anzahl der Intervalle vergrößern.

27 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 27 Numerische Integration -gewöhnliche Differentialgleichungen Lösbar mit Kepler Fassregel

28 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 28 Inhomogene DGL DGL x(t)y(t)

29 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 29 Herleitung: DGL aus Frequenzbereich Aufstellung der Gleichungen R y(t)Cx(t)

30 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 30 Herleitung über Fourierbereich

31 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 31 Polygonzugverfahren nach Euler R y(t)Cx(t)

32 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 32 Übung: Vergleich Analytisch – Numerisch Stellen Sie die beiden Kurven in Excel dar. Eingangsfunktion x[n]=1 für 0t x[n]=0 für 0>t RC=1; h=0,1 Bereich 0…7

33 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 33 Explizites Polygonzugverfahren - Euler y0y0 y(t 1 ) y1y1 t0t0 t1t1 y(t) h h* dt Steigung an der linken Grenze

34 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 34 Implizites Polygonzugverfahren y0y0 y(t 1 ) y1y1 t0t0 t1t1 y(t) h h* dt Steigung an der rechten Grenze

35 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 35 Trapezverfahren nach Heun y0y0 h t0t0 t1t1 t Integration einer DGL nach Trapezverfahren

36 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 36 Zwei Tiefpässe hintereinander CUeUe CU2U2 UeUe R R

37 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 37 Z-Transformation Kontinuierliche Fourier-Transformation Zeitsignale DiskreteZ-Transformation ZeitsignaleDFT ist Spezialfall der Z-Transformation

38 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 38 z-Tranformierte Z-Transformation ordnet Zeitsignal x(n T a )=x n Z-Transformierte Fourier-Transformierte Diskrete Fourier-Transf. Im allgemeinen gilt: Funktion Zuordnung komplexe Variable z

39 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 39 Z-Tranformierte als Abbildung Beschränkung auf einseitige Z-Transformation x n =0 für n<0 instabilstabil Z-Ebene +1 s-Ebene

40 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 40 Eigenschaften der Z-Transformation ist ein Polynom von z Der Faktor z -n separiert die Funktionswerte voneinander. Der Faktor z -n beinhaltet eine Verzögerung um n T a von t=0 aus. Einheitskreis in der Z-Ebene

41 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 41 Anwendung auf nichtrekursive Filter akak x(n T a )=x k y(n T a )=y k Blockschaltbild eines nicht-rekursiven Filters Ausgangssignal hängt nur von Werten des Eingangssignals ab. Keine Rückkopplung immer stabil

42 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 42 Zusammenhang: Y(z), X(z), A(z)

43 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 43 Filterkoeffizienten - Übertragungsfunktion

44 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 44 Kausaler Filter

45 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 45 Akausaler Filter

46 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 46 Beispiel für FiR-Filter 1023 x(n*T a ) y(n*T a ) t n 0 akak x(n·T a )y(n · T a ) t n

47 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 47 Beispiel: mittelnder Filter

48 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 48 Blockschaltbild nicht rekursiver Filter z -1 x n+N x n-N xnxn a -N a -N+1 a0a0 aNaN yNyN

49 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 49 Filterkoeffizienten für Kreisfunktionen

50 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 50 Abtast- intervall Zeit- bereich Analogie Filter – Komplexe Koeffizienten

51 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 51 TP Übertragungsfunktion

52 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 52 Idealer Tiefpass angenähert durch Koeffizienten ak gerade Funktion fg = Grenzfrequenz fa = Abtastfrequenz

53 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 53 Integralsinus Kleine Übung: Stellen Sie die Funktion si(x) im Bereich von -20

54 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 54 Beispiel: Berechne Tiefpass Filter- gleichung

55 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 55 Kleine Übung Eingangsfunktion für Filter Impuls der Breite 5 – Amplitude = 1 Berechnen Sie die Ausgangswerte für den TP mit Excel

56 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 56 Filtergleichung Gleichspannungsverstärkung

57 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 57 Kleine Übung Plotten Sie die Filtergleichung für x=-3…3

58 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 58 Übung: Berechnen Sie die Filterkoeffizienten für einen Hochpass mit: fg=20Hz N=3 fa=100Hz Ermitteln Sie die Ausgangsfunktion y[n] bei einer Eingangsfunktion: Rechteck mit der Breite von 9 Abtastwerten der Amplitude 1.

59 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 59 Tiefpass Hochpass

60 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 60 Koeffizienten für Hochpass k0+/-1+/-2+/-3 a k,AP1000 a k,TP0,4 a 0,TP 0,3 a 1,TP 0,09 a 2,TP -0,06 a 3,TP a k,HP0,6 1-a 0,TP -0,3 - a 1,TP -0,09 -a 2,TP 0,06 -a 3,TP

61 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 61 Tiefpass Bandpass TP O TP U BP

62 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 62 Bandsperre

63 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 63 Rekursive Filter Beschränkung für neues aktuelles Ausgangssignal Augenblicklicher Eingangswert x n und zurückliegende Eingangswerte x n-k Rückführung nur von vergangenen Ausgangswerten y n-k Endliche Anzahl von Koeffizienten

64 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 64 Rekursive Filter Ordnung des Filters größere Zahl von M oder N

65 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 65 Blockbild rekursiver Filter z -1 xnxn x n-N a0a0 a1a1 a N-1 aNaN z -1 y n-M bMbM b M-1 b1b1 + y n-1 ynyn

66 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 66 Beispiel

67 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 67 Abtasttheorem Bei allen numerischen Filterberechnungen FIR muss das Abtasttheorem eingehalten werden

68 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 68 Herleitung Berechnung Koeffizienten FIR Optimierung nach Kleinstes Fehlerquadrat

69 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 69 Filter allgemein Filter lassen sich nach verschiedenen Kriterien entwerfen. Die Kriterien sind: 1. Welligkeit im Durchlassbereich (Frequenzbereich) 2. Welligkeit im Sperrbereich (Frequenzbereich) 3. Steilheit beim Übergang vom Durchlass- zum Sperrbereich (Frequenzbereich) 4. Eignung zur Impulsübertragungsfunktion (Zeitbereich) 5. Vorsicht: Filterordnung im analogen Bereich nicht mit Filterordnung (Taps) im digitalen Bereich gleichsetzen wgwg |A|

70 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 70 FIR-Filter - DSP Digital Signal Processor –RISC-Prozessor –Jeder Befehl wird in einem Taktzyklus ausgeführt Filtergleichung: Addition und Multiplikation –Koeffizienten multipliziert mit Messwerten –MAC Multiplizier- und Accumuliereinheit modifizierte Harvard-Architektur –im Programmspeicher sind auch Daten – Koeffizienten

71 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 71 Suche nach dem idealen DSP…. Der ideale DSP kann in einem Taktzyklus: Koeffizienten von Speicher 1 und Messwerte von Speicher 2 einlesen, multiplizieren und Addieren BSP: ADSP 21xx BSP: TMS 320xx BSP: Motorola 56xxx, 96xxx

72 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 72 Korrelationsmesstechnik Messgröße x Messgröße y Zusammenhang? =Korrelation X Ernteertrag – Niederschlagsmenge y

73 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 73 Mittelwert

74 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 74 Varianz

75 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 75 Kovarianz

76 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 76 Korrelationskoeffizient

77 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 77 Berechnungen in EXCEL Analyse Plug-in aktivieren Kleine Übung Sie haben zwei Messreihen: x n, y n –x n: 1, 2, 3, 4, 5, 6 –y na: 6,5,4,3,2,1 –Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten –Berechnen Sie den Korrelationskoeffizeinten für –y nb: 1,2,3,4,5,6 –Berechnen Sie den Korrelationskoeffizeinten für –y nc: 1,2,3,3,2,1 –Stellen Sie die Messreihen als Kurven dar.

78 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 78 Ergebnisse Korrelationkoeffzient: –+1 vollständige Abhängigkeit – 0 statistisch unabhängig –-1 vollständige Abhängigkeit aber gegenläufig

79 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 79 Korrelationsfunktionen

80 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 80 Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion 1,2,4,6,3 2,3,2,1,3 Faltung – Kreuzkorrelationsfunktion

81 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 81 Autokorrelationsfunktion Dien Funktion wird mit sich selbst übereinandergeschoben und multipliziert und aufsummiert –symmetrisch –Maximum ist bei Verschiebung ττ=0 Beispiel: –Geschwindigkeitsmessung mit zwei Sensoren –Autokorrelationsfunktion

82 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 82 Kreuzkorrelationsfunktion eigentlich nur periodische Funktionen nicht periodische Funktionen T->unendlich Funktion 1 wird gegen Funktion 2 um τ verschoben und jeweils miteinander multipliziert und aufsummiert

83 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 83 Kreuzkorrelation – Faltung -HPVEE Kreuzkorrelation xcorrelate –Device – Function – Signalprocessing – Convolve

84 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 84 KKF und AKF

85 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 85 Stetige Korrelationsfunktionen Mittelwert Varianz

86 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 86 Kovarianz

87 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 87 Kreuzkorrelationsfunktion

88 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 88 Andere Schreibweise

89 info2 Prof. J. WALTER Info-numerische.mht Stand: Dezember 2003 Seite 89 diskrete Korrelation – diskrete Faltung Beachten Sie bei der konkreten Aufgabe die Randbedingungen und die Reduktion auf signifikante Punkte.


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