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Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke.

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1 Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (Kees) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke Institut für Theoretische Astrophysik Universität Heidelberg

2 Die ersten Gedankenexperimente: Zeit-Dilatation und Lorentz-Kontraktion

3 Einsteins Gedanken-Experiment Zug fährt mit einer Geschwindigkeit v zug in einen Bahnhof ein. Achtung: Der Zug bremst nicht ab, sondern fährt mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Frage: Bewegt sich der Zug oder bewegt sich der Bahnhof?

4 Einsteins Gedanken-Experiment Zug Bahnsteig

5 Einsteins Gedanken-Experiment Zug Bahnsteig

6 Einsteins Gedanken-Experiment Zug Bahnsteig v x =v zug

7 Einsteins Gedanken-Experiment v x =v zug L

8 Einsteins Gedanken-Experiment v x =v zug x y L Raum-Koordinaten (vom Bahnhof aus gesehen)

9 Einsteins Gedanken-Experiment v x =v zug vxvx vyvy v y =v ball,0 Geschwindigkeits- Koordinaten (vom Bahnhof aus gesehen)

10 Einsteins Gedanken-Experiment v x =0 vxvx vyvy v y =v ball,0 Geschwindigkeits- Koordinaten (vom Zug aus gesehen)

11 Einsteins Gedanken-Experiment L

12 Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Zug aus gesehen) L

13 Einsteins Gedanken-Experiment Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Bahnhof aus gesehen) L

14 Einsteins Gedanken-Experiment v x =v zug vxvx vyvy vyvy Geschwindigkeits- Koordinaten (vom Bahnhof aus gesehen)

15 Einsteins Gedanken-Experiment Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Zug aus gesehen) L Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, zu welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera?

16 Einsteins Gedanken-Experiment Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Bahnhof aus gesehen) L Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, zu welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera? Aufgabe: Berechne wie viel länger es vom Bahnhof aus gesehen dauert.

17 Zeit-Dilatation Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Bahnhof aus gesehen) L Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, an welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera? Die Person im Zug ist jedoch völlig überzeugt, dass der Puls zum Zeitpunkt t=L/c ankommt! Also: seine Uhr läuft langsamer: Problem: Denkt der Mensch im Zug nicht auch, dass unsere Uhr (am Bahnhof) langsamer als seine Uhr läuft?? Antwort: Ja; aber dazu später...

18 Zeit-Dilatation Zug Bahnsteig Beispiel: v zug =0.866 c, und damit v y =0.5 c (weil =1) L

19 Zeit-Dilatation Zug Bahnsteig Beispiel: v zug =0.866 c, und damit v y =0.5 c (weil =1) L

20 Zeit-Dilatation Zug Bahnsteig Beispiel: v zug =0.866 c, und damit v y =0.5 c (weil =1) L

21 Lorentzkontraktion L Wir ändern das Lichtpuls-Experiment leicht ab: (vom Zug aus gesehen) Die Dauer ist nun: vom Zug aus gesehen, und vom Bahnhof aus gesehen

22 Lorentzkontraktion L Nun drehen wir dieses Experiment, so dass der Lichtpuls in Fahrtrichtung des Zuges geht: (vom Zug aus gesehen) Die Dauer ist nun: vom Zug aus gesehen, und vom Bahnhof aus gesehen

23 Lorentzkontraktion Aber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich ist? Wenn wir dies ausarbeiten finden wir eine Inkonsistenz... Aufgabe: (a)Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls den bewegten Spiegel erreicht. (b)Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls wieder zurück bei der (bewegte) Kamera ist. (c)Zeige, dass dies um den Faktor zu lange dauert, im Vergleich zur o.g. Formel.

24 Lorentzkontraktion Aber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich ist? Lass uns dies aus Sicht des Bahnhofs berechnen. Zuerst: zu welchem Zeitpunkt t 1 erreicht der Puls den Spiegel? Und zu welchem Zeitpunkt t 2 fällt der Puls in die Kamera?

25 Lorentzkontraktion Wir haben also ein Problem: Wir haben gerade ausgerechnet, dass die Dauer des Experiments ist, aber wir wissen, dass es eigentlich sein muss... Was ist los? Henrik Lorentz kam zu dem Schluss, dass sich Längen in Fahrtrichtung verkürzen!

26 Lorentzkontraktion Statt L müssen wir L vbhag (L vom Bahnhof aus gesehen) benutzen (aber nur für das Experiment in Fahrtrichtung!): Und mit der Lorentzkontraktion erhält man dann wieder die richtige Antwort:

27 Lorentzkontraktion

28 Leiter-Paradoxon der Lorentzkontraktion Leiter bewegt sich, Garage steht still: Garage bewegt sich, Leiter steht still:

29 Relativitätsprinzip Galilei und Newton wussten schon, dass absolute Geschwindigkeiten keine physikalische Bedeutung haben, sondern nur relative Geschwindigkeiten: dies heißt Galilei-Invarianz. Wir kennen das: Im ICE bei 200 km/h kann man problemlos laufen, spielen, tanzen, als ob der Zug stillsteht. Problem: Die Lichtgeschwindigkeit scheint jedoch absolut zu sein. Wenn wir trotzdem fordern, dass eine bewegte Person dieselbe Lichtgeschwindigkeit misst, so erhält man Zeitdilatation und Lorentzkontraktion. Diese sehen aber asymmetrisch aus!

30 Raum-Zeit Diagramme

31 Raum-Zeit-Diagramme Um einen besseren Blick zu bekommen, machen wir Bewegung durch Raum-Zeit Diagramme ersichtlich. Traditionell: Raum horizontal und Zeit vertikal. Beispiel: rennende Person

32 Raum-Zeit-Diagramme

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35 SupermarktWohnungBüroLunchroom Weltlinie

36 Raum-Zeit-Diagramme Deine Geburt Deine Hochzeit Die Hochzeit eines Freundes Die Geburt deines Kindes Ereignisse

37 Raum-Zeit-Diagramme: 2+1D y x t Etwas schwieriger um damit zu arbeiten...

38 Raum-Zeit-Diagramme: 3+1D (=4D) Noch schwieriger um damit zu arbeiten... Sorry, Powerpoint kann leider noch keine 4-D Grafen erstellen... Versuchen Sie es in 30 Jahren wieder...

39 Galilei Invarianz BahnhofZug Der Zug fährt aus dem Bahnhof raus...

40 Galilei Invarianz BahnhofZug...oder der Bahnhof fliegt vom Zug weg... Wer hat recht?

41 Galilei Transformation BahnhofZug Bahnhof und Zug haben eigene Zeitachsen Das bedeutet: x=0 an t0 hat eine andere Bedeutung in den zwei Bezugssystemen x=0 x=1

42 Galilei Transformation BahnhofZug Wir können durch eine Koordinaten- Transformation vom (x,t) ins (x,t)- System wechseln. x=0 x=1

43 Galilei Transformation BahnhofZug Bahnhof und Zug haben eigene Zeitachsen Das bedeutet: x=0 an t0 hat eine andere Bedeutung für den zwei Bezugssystemen x=0 x=1

44 Galilei Transformation BahnhofZug Bahnhof und Zug haben eigene Zeitachsen Das bedeutet: x=0 an t0 hat eine andere Bedeutung für den zwei Bezugssystemen x=0 x=1

45 Galilei Transformation BahnhofZug Wir können durch eine Koordinaten- Transformation vom (x,t) ins (x,t)- System wechseln. x=0 x=1

46 Galilei Transformation BahnhofZug Wir können durch eine Koordinaten- Transformation vom (x,t) ins (x,t)- System wechseln. x=0 x=1

47 Inertialsystem (inertiales Bezugssystem) Ein Koordinatensystem (x,t) ist ein Inertialsystem wenn eine geradlinige gleichförmige Bewegung als geschrieben werden kann. Das heißt, dass ein neues Koordinatensystem (x,t) welches von (x,t) abgeleitet ist durch (mit C und u Konstanten) auch ein Inertialsystem ist, und zwar völlig gleichwertig.

48 Weltlinie & Raumzeit-Geschwindigkeit 0 s 1 s 2 s (Zeit) (Raum) vxvx

49 Relativistische Raum-Zeit-Diagramme (Minkowski-Diagramme)

50 Hermann Minkowski "Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentell-physikalischem Boden erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale. Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren. (Hermann Minkowski, 80th Assembly of German Natural Scientists and Physicians, September 21, 1908)

51 Minkowski Diagramme Für die Gedankenexperimente ersetzen wir die t-Achse durch eine ct-Achse (also wir multiplizieren die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit). Die Zeitache hat jetzt auch Dimension meter

52 Lichtkegel Jetzt bewegt sich Licht entlang diagonalen Linien mit ±45 Winkel

53 Lichtkegel

54 Mehrere Lichtkegel Zwei Lichtpulse, unterschiedliche Orte

55 Mehrere Lichtkegel Zwei Lichtpulse, unterschiedliche Ort und Zeit

56 Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Raumzeit- Geschwindigkeit für stillstehende Person

57 Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Raumzeit- Geschwindigkeit für bewegende Person t ist die Zeit so wie die bewegte Person sie wahrnimmt.

58 Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Dieser Raumzeit- Geschwindigkeitsvektor liegt immer auf der gestrichelte Linie. Grund: Zeitdilatation! t ist die Zeit so wie die bewegte Person sie wahrnimmt.

59 Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel t ist die Zeit so wie der bewegender Mensch sie wahrnimmt. Aufgabe: Zeige, dass dieser Raumzeit- Geschwindigkeitsvektor folgendermaßen aussieht:

60 Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel t ist die Zeit so wie der bewegender Mensch sie wahrnimmt. Aufgabe: Zeige, dass dies eine Hyperbel ist, d.h. dass die Zeit- und Raum- Komponente V ct bzw V x folgende Gleichung befolgen:

61 Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Die gestrichelte Hyperbel ist also die ct=1 Linie. Sie ist nicht horizontal (wie klassisch) sondern eine Hyperbel wegen der Zeit-Dilatation.

62 Was ist gleichzeitig? Das Prinzip der Uhren-Synchronisation und die Vermischung von Raum und Zeit

63 Aus dem Urpsrunglichen Paper von Albert Einstein (1905)

64 Wie synchronisiert man Uhren? Aufgabe: Überlegt euch eine Methode (protocoll) womit man trotz Zeit-Verzögerung feststellen kann ob die Uhren synchron laufen. Stellt euch vor, wir haben eine Mars-Kolonie mit der wir über Radio-Funk kommunizieren können. Wir wollen checken, ob die Uhr dort synchron mit unserer Uhr auf der Erde läuft. Aber: Licht (das Radio-Signal) braucht ca. 20 Minuten von Erde bis zum Mars, und ca. 20 Minuten wieder zurück (wie lange genau müssen wir noch vermessen). Wenn wir über Funk fragen: wie viel Uhr ist es bei euch, dann kommt die Antwort viele Minuten später, und damit ist die Information schon veraltet.

65 Wie synchronisiert man die Uhren? ErdeMars

66 Von vorbeifliegendem Raumschiff aus gesehen ErdeMars Für den Raumschiffpiloten bewegen sich Erde und Mars Man sieht: Die Linie der synchronen Ereignisse ist nun gekippt!

67 Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen!

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70 Zug-Bahnhof-Symmetrie wiederhergestellt? Aufgabe: Beweise, dass das Längenverhältnis A/a dasselbe ist wie B/b, also dass A/a=B/b. A B b a

71 Autobahnpolizei A Jeweils nur Auto A messen: A Jeweils nur bei Blitzer B messen: B B Die Uhr A geht langsamer (Zeit-Dilatation) Die Uhr gemessen von Station B geht schneller!

72 Zurück zum Zug+Bahnhof-Beispiel Zug Bahnsteig Das Kippen der Raum-Achse bedeutet, dass die Uhren im Zug vom Bahnhof aus gesehen nicht überall dieselbe Uhrzeit anzeigen. Dieses Beispiel: am t=0 standen sich D und d gegenüber und hatten beide dieselbe Uhrzeit. Wenige Zeit später sieht die Lage so aus: ABCDEFG abcdefg Aufgabe: Erkläre diese Lage mit dem x-ct Diagramm. (1) Warum ist Uhr d hinterher im Vergleich zu D? (2) Warum ist Uhr b weiter als D? (3) Warum ist Uhr a weiter als Uhr g?

73 Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung Wenn eine Ente im Wasser mit den Füssen wackelt, produziert sie Wellen. Solange die Ente nicht vom Platz bewegt, breiten die Wellen sich in allen Richtungen gleich aus: Wenn die Ente aber vorwärts bewegt, so sieht sie sich plötzlich nicht mehr genau in der Mitte der Wellen:

74 Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung Die Ente kann also messen dass sie bewegt, indem sie sieht dass sie nicht mehr in der Mitte der Welle ist. Da aber die Lichtgeschwindigkeit auch für eine sich bewegende Person immer c ist, ist eine sich bewegende Person immer im Zentrum seiner Lichtwellen. Wie kann dies sein?

75 Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung ab ab

76 Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung a b a=b

77 Mit fast-Lichtgeschwindigkeit durch Tübingen fahren...

78 Intermezzo: Koordinatentransformationen, Matrizen, Vektoren

79 Die Lorentz-Transformation

80 Zwei Inertialsysteme

81 Das eine Inertial Koordinatensystem (blau)

82 Das andere Inertial Koordinatensystem (grün)

83 Beide Systeme (gesehen vom blauen)

84 Beide Systeme (gesehen vom grünen)

85 Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren ct x Zeit-Vektoren Licht-Vektoren Raum-Vektoren

86 Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren ct x Lorentz- Koordinaten- Transformation zum Bezugssystem mit v>0. Wichtig: Zeit-Vektoren bleiben Zeit-Vektoren, Raum-Vektoren bleiben Raum-Vektoren und Licht-Vektoren bleiben Licht-Vektoren.

87 Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren ct x Lorentz-Vektor- Transformation (Beschleunigung) in positive Richtung.

88 Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation Eine allgemeine Raumzeit-Transformation kann man folgendermaßen schreiben: Aufgabe: Beweise, dass wenn man fordert, dass Licht-Vektoren Licht-Vektoren bleiben (sie dürfen andere Länge erhalten, müssen aber Licht-Vektoren bleiben), dann folgt C=B und D=A. Man erhält also:

89 Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation Wir wissen aus den vorherigen Transparenten, dass die Raumzeit-Geschwindigkeits Vektoren von einer sich bewegenden und einer stillstehenden Person folgendermaßen aussehen: Aufgabe: Wenn man V b aus V s erhalten möchte indem man eine Lorentz-Transformation anwendet: leite damit her, was A und B sind in Abhängigkeit von (v/c).

90 Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation Die Lorentz-Transformation hat also die folgende Form: wo der Lorentzfaktor γ und die dimensionslose Geschwindigkeit β folgendermaßen definiert sind: Aufgabe: Wenn man einen Vektor V mit β Lorentztransformiert, und danach mit –β Lorentztransformiert (was ja die Rücktransformation ist), dass man tatsächlich wieder den ursprunglichen Vektor V erhält, wie es sein muss.

91 Lorentz-Kontraktion im x-ct-Diagramm Zug-EndeZug-Anfang

92 Lorentz-Kontraktion im x-ct-Diagramm Zwar wird die x- Komponente des Raumvektors größer, der Zug wird kürzer. Zug-EndeZug-Anfang

93 Zukunft und Vergangenheit

94 Was geschieht zuerst? ct x C D x A B Aufgabe: Kann man eindeutig feststellen ob Ereignis A oder ereignis B zuerst passiert? Und was mit Ereignis C oder D?

95 Raum versus Zeit; Zukunft und Vergangenheit Meine Zukunft Meine Vergangenheit Ereignisse die räumlich getrennt von mir sind Ereignisse die räumlich getrennt von mir sind

96 Wenn man schneller als Licht reisen könnte... Jetzt machen wir eine Lorentz- Transformation

97 Wenn man schneller als Licht reisen könnte... Jetzt machen wir eine Lorentz- Transformation

98 Wenn man schneller als Licht reisen könnte... Und reisen wieder mit über-Licht- Geschwindigkeit (diesmal sogar noch etwas schneller) zurück. Jetzt treffen wir uns selbst... Hallo, wie geht es mir? Also reisen mit überlicht- Geschwindigkeit führt zu Absurditäten...

99 Lorentz-Transformationen an anderen Stellen Lorentz-Transformation zentriert auf dem unteren (roten) Ereignis:

100 Lorentz-Transformationen an anderen Stellen Lorentz-Transformation zentriert auf dem oberen (grünen) Ereignis:

101 Weltlinie und Eigenzeit x ct ct=1 ct=2 ct=3 ct=4 ct=5 ct=6

102 Zwillingsparadoxon x ct Aufgabe: Löse dieses Paradoxon.

103 Und jetzt... E=mc 2

104 Energie-Impuls-Vektor

105 Doppel so große Masse

106 Energie-Impuls-Vektor Für ganz kleine Geschwindigkeiten (v<

107 Energie-Impuls-Vektor Die Zeitkomponente von P (P 0 ) ist etwas kniffliger. Zunächst würde man sagen, dass im Limes v<

108 Energie-Impuls-Vektor Man kann dies für v<

109 Energie-Impuls-Vektor Also kann man P0 folgendermaßen annäheren (für v<

110 Energie-Impuls-Vektor

111 Energie-Impuls-Vektor von Licht Energie des Photons Impuls des Photons

112 Umwandlung von Ruhemasse in Licht (Zerfall eines Elementarteilchens in zwei Photonen)

113 Umwandlung von Ruhemasse in Licht (Zerfall eines Energiezustandes eines Teilchen in zwei Photonen)

114 Beschleunigung einer Rakete......und die erste Hinweise wie Gravitation funktionieren könnte!

115 Wenn sich eine Rakete beschleunigt...

116

117 Je weiter unten: desto mehr Schwerkraft 1 kg

118 Kommt bekannt vor... 1 kg

119 Je weiter unten: desto langsamer die Uhren

120

121 Rindler Modell eines schwarzen Lochs Ereignis-Horizont Um nicht in das schwarze Loch zu fallen, muss man ständig beschleunigen.

122 Rindler Modell eines schwarzen Lochs Ereignis-Horizont Um nicht in das schwarze Loch zu fallen, muss man ständig beschleunigen. Wenn man nicht beschleunigt, geht man irgendwann durch den Horizont, und kann niemals wieder zurück in den normalen Raum. Ereignis-Horizont Achtung: richtige schwarze Löcher sind komplizierter. Aber das Konzept Ereignis-Horizont wird mit dem Rindler- Modell gut beschrieben!


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