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Umgang und Rechnen mit Größen

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Präsentation zum Thema: "Umgang und Rechnen mit Größen"—  Präsentation transkript:

0 ... mit uns können Sie rechnen!
Gernot Mühlbacher Einführung ... mit uns können Sie rechnen! Begriffsklärungen ... G R Ö S S E N I * G R Ö S S E N Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! Bildnachweis: 26 Folien 27/28 27 © Gernot Mühlbacher Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe

1 Umgang und Rechnen mit Größen
Gernot Mühlbacher Umgang und Rechnen mit Größen Bildnachweis: 2 Stichwortverzeichnis 27 Folien 27/28 I Begriffsklärung an Beispielen II Basiseinheiten, abgeleitete und zusammengesetzte Einheiten III Das Dezimalzahl-System 3 13 21 Folien 3 bis 12 Folien 13 bis 20 Folien 21 bis 24 Grundwissen GRÖSSEN I:  G R Ö S S E N I GLIEDERUNG … als Überblick I V Begründung und Ziele V Schrittweiten und Kommasetzung VI Bewegen im Dezimalzahl-System VII Regeln zur Umwandlung Folien 29 bis 31 29 Folien 25 bis 28 25 Folien 32 bis 34 32 Folien 36 bis 39 36 U m r e c h n u n g GRÖSSEN II:  Lernen ist mehr als Verstehen! 26

2 Gewünschte Folien-Nr. anklicken!
G R Ö SS E N I Stichwortverzeichnis Knopf führt immer zum 2 … zur Orientierung 1 Folie Nr.: Abgeleitete Einheit 14, 15, 16 Größe 12 Basiseinheit 13 Kraft / Kräfte 10 Beispiele für Größen 3 Längenmaße 13, 29 Cent, EURO 32, 33 Masse und Gewicht 10, 19, 34 Regeln zur Umwandlung 27, 37, 38 Dezimalsystem 21-23, 32-35 Maßeinheit Schrittweite , 29, 30, 31, 36 Dezimalzahl, Dezimalbruch 23, 35 Maßzahl Stellenwertsystem Endständige Nullen 23, 33 Metrisches System 11 Umrechnung, Umwandlung, Regeln EURO, Cent Nullen im Zahlenhaus Unendlicher Dezimalbruch 22 Flächenmaße 14, 30 Operator 37, 38 Urmeter / Urkilogramm Geldmaß (€,ct) 32 Periodische Dezimalbrüche Vorsilben (Kilo-, Zenti-….) 20 Geschwindigkeit 17, 18 Randständige Nullen Wert von Nullen Gewichtskraft und Masse 10, 20 Raummaße 15, 16, 31 Zusammengesetzte Maßeinheiten 17, 18, 19 ? Gliederung 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Gewünschte Folien-Nr. anklicken! (Folien 25 bis 41)  Größen II

3 Größen Was versteht man überhaupt darunter?
Im Umgang zwischen Menschen sind immer wieder die Angaben von Größen üblich und notwendig. Dazu Beispiele aus den Bereichen: Bild 4 Bild 5 Bild 1 Bild 2 Bild 3 4 SPORT Geschäftsleben Verkehr Natur Technik Physik 5_6 7 8 9 10 US-army 1928 Überfliege zunächst beliebige Beispiele aus den Bereichen, die dich besonders interessieren! Das Beispiel aus der Physik ist für den Einstieg ganz schön happig! Die ersten 11 Folien sollen zunächst nur einen unvollständigen Einblick bieten. Dabei wird klar, welche Bedeutung unserem Thema „Größen“ im Alltag zukommt. Innerhalb dieses ‚Vorspannes‘ kannst du immer die Folie 2 (Stichwortverzeichnis) an-streben. Nicht versäumen darfst du aber die Folie 12. Dort werden die drei bis dahin locker verwendeten Begriffe „Größe“, „Maßzahl“ und „Maßeinheit“ für die weitere Arbeit erklärt und geklärt. vor Wenn‘s weiter gehen soll: Immer irgendwo hin klicken! 2 12

4 Übliche Größen und nicht so häufig gebrauchte Größen
P O R T In diesen Bildern spielen verschiedene Größen eine Rolle bei der Angabe von: Geschwindigkeit, Zeit, Schlagzahl, Weite, Höhe Bild 1 9,58 s Zeit Notiere die Größenangabe! Um welche Größe geht es? In den folgenden Sätzen werden Größenangaben gemacht. Bild 2 Notiere die Ergebnisse auf einem Block und vergleiche dann mit der Lösung! Klick Heute steht der 100 m-Welt-rekord auf 9,58 s. Susanne siegte beim Weitsprung mit 5,80 m. Silke hat heute die Latte auf 1,55m gelegt. Das Rennen begann mit 32 Schlägen pro Minute. Der Oldtimer brummte mit 20 Sachen um die Kurve. 5,80 m Weite 1,55 m Höhe 32 Schläge/min Schlagzahl 20 Sachen = 20 km/h Geschwin-digkeit Bild 3 1928 Bild 4 vor US-army Bild 5 zurück 2 3 12

5 Solche Größenangaben sind z.B. wichtig für die Gestaltung des Preises.
Geschäftsleben Kaufleute und Handwerker müssen in der Regel die Länge, die Breite, den Umfang, die Fläche, die Masse (oder das Gewicht) einer Ware angeben. Solche Größenangaben sind z.B. wichtig für die Gestaltung des Preises. (Auch der Geldwert ist eine Größe!) Coutchtisch: Massive Kiefer, braun gebeizt, modernes Design, 90X75 cm 99,00 € Anzeige Welche 3 Größen werden hier in der Werbung angegeben? Notiere auf einem Blatt! An der Vorhalle des Freiburger Münsters findest du heute noch mittelalterliche Maßangaben der Bäckerzunft für die Größe der Backwaren (Anfang 14. Jh.) . Damals gab es noch keine Größen-angaben in m oder cm. Spanne, Elle oder Fuß waren übliche Einheiten. 1 Länge 90 cm 2  Breite  75 cm 3  Geldwert  99,00 € vor Bild 1 Fertig? ... KLICK! zurück 2 3 12

6 Weißt du, wie die jeweiligen Größen genannt werden?
Geschäftsleben Der Schneider oder ein Verkäufer im Kleidergeschäft wollen von dir Größenangaben zu deiner sog. Konfektionsgröße wissen: vor Bild 1 Weißt du, wie die jeweiligen Größen genannt werden? Arbeitsblatt ausfüllen! ... dann KLICK! Kennst du eigene Größenangaben? zurück 2 3 12

7 Verkehrsschilder am Straßenrand enthalten oft Größenangaben.
Bei Brücken gilt ein Durchfahrtsverbot unter Angabe der sog. Tonnage: Eine Größenangabe zur Steigung (oder Gefälle) sehen wir oft auf Warnschildern: Bild 2 140% 100% 54,5° Bild 1  100 m Entfernung (waagrecht gemessen)  20 m Höhengewinn (senkrecht gemessen) 45° Im Alltag und in den unteren Klassen der Schulen tut man so, als seien t oder kg Maßeinheiten für das Gewicht. Im Fach Physik wird aber schnell geklärt, dass es hier eigentlich um Angaben zur Masse handelt . Wenn es dich interessiert oder wenn du das klären musst, dann klicke hier: 20% 11,3° 20 m pro 100 m ≙ 20% vor Die Angabe in % ist keine eigentliche Größenangabe, sondern eine Bruch-Schreibweise ... wohl aber die Angabe in Grad °. 20% = 20/100 zurück 10 19 2 3 12

8 Brückendurchfahrt Temperatur Höhenangabe
Beschreibungen von Zuständen oder Eigenschaften in der Natur sind wichtig und hilfreich. Beispiele: 116 m Messgerät: digital oder traditionell VHF 19 23 22 21 20 Lichte Höhe einer °C °F Wann gefriert wohl Wasser? Du kannst den Gefrierpunkt in °C oder in °F angeben. Gefrierpunkt von Wasser: °C oder 32°F oder 273,15 K. Schifffahrt Wissenschaftlich ist die Angabe in °K. Bild 1 Freiburger Münster Brückendurchfahrt Temperatur Höhenangabe An der Flächengröße und der Tiefe können wir erkennen, um welchen See es sich handelt. Welcher See ist dies wohl? Fläche: 535,5 km2 Tiefe: 254 m Der Rauminhalt eines massiven Stück Holzes (meist Rundholz) wird in Festmetern (fm) gemessen. 1 fm = 1 m3 Bodensee vor Der Rauminhalt bei gestapeltem Brennholz wird in Ster berechnet Ster = 1 m3 (die Luft dazwischen zählt mit!) zurück 2 3 12

9 Kennst du Längenmaße, die kleiner sind als Millimeter (mm)?
METALL FRÄSEN T E C H N I K Kennst du Längenmaße, die kleiner sind als Millimeter (mm)? Gehe zum Arbeitsblatt (AB) Folie 8-12! Fertig, dann KLICK! z. B. das Mikrometer (µm) Bild 1 Fräsmaschinen schaffen bei der Metallbearbeitung am Zylinderkopf eines Verbrennungsmotors mit einer Genauigkeit von 0,04 mm. (1mm = 1000 µm (Mikrometer) / 0,04 mm = 40 µm) Zum Vergleich: Menschliches Kopfhaar ist um die 50 µm (Mikrometer) dick. Der Seidenspinner drückt aus seiner Drüse einen Faden von ca. 35 µm Dicke. vor zurück Wie kann man so was Kleines überhaupt messen? 2 3 12

10 (Natürlich ohne Raumanzug)
Masse und Gewicht 19 P h Y S I K Erde Fliehkraft Erdanziehung Mondanziehung Die Kräfte sind zeitweise jeweils gleich groß, aber mit entgegen gesetzter Richtung. Sie heben sich auf. Der Astronaut (oder ein anderer Körper) wird schwerelos. Auf der Kreisbahn um die Erde: Auf dem Weg zum Mond: Die Masse eines Körpers bleibt im All unverändert. Aber sein Gewicht erfährt fortlaufend eine Änderung. Du siehst hier Bilder des Astronauten Buzz Aldrin. Wir schätzen seine Masse auf etwa ... Auf dem Weg zum Mond wird zu einem bestimmten Zeitpunkt die Anziehungskraft der Erde durch entgegen wirkende Kräfte aufgehoben. Buzz Aldrin schwebt dann in seiner Weltraumkapsel. Er hat während solcher Zeitspannen auf der Waage kein Gewicht mehr. Bild 1 Vergleichbar mit der Fliehkraft, die bei den Drehungen des Werfers eines Diskus oder eines Schleuderballs entsteht. Masse: kg auf dem Flug zum Mond. Masse: kg auf der Erde. Masse: kg auf dem Mond. (Natürlich ohne Raumanzug) Sicher gilt: Wir können die Größe der Masse und die des Gewichts (besser: Gewichtskraft) nicht mit gleichen oder verwandten Maßeinheiten angeben. Für dich und für Buzz Aldrin gilt: Masse hat man. Egal wo man sich aufhält. Bild 2 Bild 3 Aber unser Gewicht, ...das bekommen wir. Ursache dafür ist die Massenanziehungskraft. Die Erde -oder der Mond- wirken auf deinen (auf alle) Körper. Je größer eine Masse ist, desto stärker anziehend wirkt diese auf andere Körper. Eine Eigenschaft entsteht so: die Gewichtskraft. Die Einheit der Gewichtskraft ist das Newton (N). Leicht lässt es sich merken: Die Masse 1 kg (z.B. das Urkilogramm) hat auf der Erde ein Gewicht von ≈ 10 N (Newton). Gewicht: ? ≈ 720 N Eine Tafel Schokolade (Masse 100 g) wiegt ≈ 1 N. Gewicht: ? ≈ 120 N Die Masse der Erde ist sechs mal größer als die des Mondes. Deshalb beträgt die Gewichtskraft, die ein Körper auf dem Mond erfährt, nur 1/6 des Gewichts auf der Erde. Auf der Erde ist die Gewichtskraft sechs mal größer als auf dem Mond. Kennst du den Grund!  KLICK 2 3 12

11 , Zwei Begriffe solltest du auseinander halten können:
Nichtmetrisches System: Metrisches System: Aus dem mittelalterlichen England stammt das heute noch in den USA geltende englisch-ameri-kanische Maßsystem. Bekannte Beispiele: Zoll [Bild](inch), Fuß (foot), Schritt (yard), Meile (mile), Unze (ounce), Pfund (pound), Stein (stone), Flüssigunze (fluid ounce), Pint(e) (pint), Quart (quart), Gallone (gallon). Wie zeitraubend das Messen und Rechnen ist, kannst du am Beispiel der Größe des Bildschirmes an einem Computer nachvollziehen: Erstmals so etwa um das Jahr 1800 wurde die früher unübersichtliche Flut von Maßeinheiten vereinheitlicht und gestrafft. Kleine und große Maßeinheiten sollten leicht(er) und schnell(er) umzurechnen sein. Benachbarte, verwandte Maßeinheiten werden immer in Zehner- Hunderter- oder Tausenderschritten ( … und so fort) erreicht, wenn die Maßeinheiten kleiner werden. Beispiele: (KLICK!) 1 dm = 10 cm 1€ = ct 1 kg = g Bild 1 2,54 cm = 1“ Hingegen: Wenn die Maßeinheiten größer werden, dann geht es immer in Zehntel-, Hundertstel-, Tausendstel-, …-Schritten. Berechne diese Größe in cm! Beispiele: (KLICK!) 1 cm = 0,1 dm = 1/10 dm 1 ct = 0,01 € = 1/100 € 1 g = 0,001 kg = 1/1000 kg Gib die Länge der Diagonale deines Bildschirmes in cm an! Notiere sie! Rechne in Zoll um! Wir bewegen uns im Dezimalsystem: Bildschirmgrößen werden als Länge der Diagonalen in Zoll [“] angegeben. Es gibt noch viele andere Beispiele: Rohre, Gewinde, … 100stel 1000stel 2 100er 10er Einer 10tel , 3 12 Das erinnert an unsere Folie 5

12 Was verstehen wir unter einer Größe ?
Jetzt die endgültige Antwort: Beim Gang durch die verschiedenen Folien hast du viele Beispiele von Größenangaben und den Gebrauch verschiedenster Maßeinheiten im ganz gewöhnlichen Alltag vor Augen gehabt. Notiere auf einem Blatt jetzt 3 Beispiele von Größen aus verschiedenen Bereichen! Du kannst gewünschte Folien ansteuern, indem du zurück gehst zu Folie 3. Beim Schreiben ist zwischen Maßzahl und Maßeinheit immer ein Leerzeichen! Du hast den Auftrag richtig erledigt, wenn deine Notizen folgendermaßen geschrieben sind: 19,1 °C Größe: Beispiel: Kontrolliere! Jetzt musst du dir zusätzlich zwei Begriffe einprägen: Maßzahl Maßeinheit Merke dir: Ergänze den Merksatz! Jede Größe besteht aus einer und der zugehörigen vor Maßzahl Maßeinheit! Weshalb findest du in dieser Aussage keine Größe? Wenn fertig: ... KLICK! zurück Aussage: Die Straße hat eine Steigung von 11%. 11% = 11/ Die Maßeinheit fehlt! 2 3

13 Basiseinheiten und …….. Wie wurden solche Basiseinheiten festgelegt?
Es würde zu weit führen, alle Größen und die zugehörigen Maßeinheiten zu besprechen. Zunächst ein paar sogenannte Basiseinheiten (... insgesamt gibt es 7). Diese mussten von Wissenschaftlern ausgedacht und festgelegt, dann von der internationalen Staatengemeinschaft anerkannt werden. (Dass dies nicht immer gelang, kannst du daran erkennen, dass im anglo-amerikanischen Maßsystem heute noch Maßeinheiten wie ‚inch‘, ‚food‘ oder ‚yard‘ üblich sind.) Wie wurden solche Basiseinheiten festgelegt? Bild 1 Meter [1m] Das sogenannte Urmeter wurde 1799 in einer Marmorplatte des Museums Louvre in Paris eingelassen. Es könnte heute den Ansprüchen an Genauigkeit nicht mehr gerecht werden. Lies weiter unter ‚Urmeter‘ nach! Atomuhr Bild 1 Kilogramm [1kg] In Sèvre bei Paris befindet sich das Urkilogramm. Sekunde [1s] Zeit kann man ja nicht mit Hilfe eines Materials darstellen. Eine moderne Festlegung geschieht mit Hilfe von Abläufen beim Zerfall des radioaktiven Cäsium-Atoms. Atomic clock - Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB) in Braunschweig 2

14 … abgeleitete Einheiten (1)
1 m2 1 dm2 1 cm2 Flächenmaße: Den Flächeninhalt berechnest du: A = Länge • Breite a Quadratmeter Quadrat-dezimeter Quadrat-zentimeter Im Bild ist die cm2-Fläche etwa richtig, die dm2-Fläche zu klein und besonders die m2-Fläche viel zu klein gezeichnet. 1 cm 1 dm 1 m ….. mm2 km2….. Wie viele cm2 hat ein dm2 ? 1 dm2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Wie du leicht ablesen kannst, wird die 1 dm2-Fläche durch mal cm2 bedeckt. Du bastelst (in Gedanken) einen Streifen, indem du 10 mal die „cm2-Flächen“ neben einander legst. 10 1 cm2 = mm2 Notiere und überprüfe dann!  Klick Entsprechend gilt: 1 dm2 = cm2 1 m = dm2 10 Diesen Streifen (10 cm2 ) legst du in die Quadratdezimeterfläche! Bei Flächenmaßen: Hunderter-Schritte Größere Flächenmaße: 1 a = m2 1 ha = a 1 km2 = ha Wie viele solche Streifen kannst du neben einander in der Quadratdezimeterfläche anlegen? Notiere auf deinem Block und prüfe dann  Klick 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2

15 … abgeleitete Einheiten (2)
Raummaße / Hohlmaße: 1 m3 1 dm3 1 cm3 V = Länge • Breite • Höhe Kubikmeter Kubik-dezimeter (Liter) Kubik-zentimeter 1 m3 ist im Vergleich zu 1 dm3 zu klein dargestellt, 1 cm3 dagegen wird viel zu groß gezeigt. 1 cm 1 dm 1 m km3….. ….. mm3 Beim Bearbeiten der nächsten 2 Folien bekommst du einen besseren Eindruck von den wahren Größenverhältnissen. Das ältere Hohlmaß Liter gehört in diese abgeleitete Gruppe von Raummaßen. Ein Bierfass aus Holz fasst beispielsweise 0,5 hl. Die Silben vor den Maßeinheiten sind verräterisch: 1 l = 1 dm3 1 l = cm3 Hekto (h)  • 100 Dezi (d)  1/10 Zenti (c)  1/100 Milli (m)  1/1000 1 hl = 100 l 1 dl = 1/10 l 10 dl = 1 l 1 cl = 1/100 l 100 cl = 1 l 1 ml = 1/1000 l = 1 cm3 1000 ml = 1 l Besonders im Haushalt und in der Gastronomie geht man oft mit Größenangaben in l, dl, und cl um. 2

16 … abgeleitete Einheiten (3)
Wir bauen einen Würfel: V = 1 dm3 Bausteine des Kubikdezimeter-Würfels sollen sein: Einzelne Würfel mit dem Volumen V = 1 cm3 Zehn solche fügen wir hinter einander zu einer Stange zusammen. 1 cm In mathematischen Formelsammlungen steht meist: V = a • b • c (Länge • Breite • Höhe) VStange  L VPlatte  L • B Würfel: Vges  L • B • H 1 cm 1 cm 1 dm Eine Stange hat also mit ihrer Länge L ein Volumen von 10 cm3 . 1 dm 10 Stangen legen wir hinter einander zu einer quadratischen Bodenplatte. Eine Bodenplatte hat also ein Volumen von 100 cm3. Wie groß hätten die Bausteine sein müssen, um einen Würfel mit V = 1 cm3 zu bauen? Wie viele hättest du gebraucht? 1000 Stück  1 cm3 = 1000 mm3 1 mm3 1 dm c H Vges = 1 dm3 = cm3 10 Platten stapeln wir übereinander. Wie groß hätten die Bausteine sein müssen, um einen Würfel mit V = 1 m3 zu bauen? Wie viele hättest du gebraucht? 1 dm3 1000 Stück  1m3 = dm3 b B Also: VPlatte = 10 • 10 cm3 VPlatte  L • B a L Wie groß ist die Schrittweite beim Umwandeln benachbarter Raummaße? Bei benachbarten Raummaßen: Stets Tausender-Schritte ! VStange = 10 cm3 2

17 zurückgelegter Wegstrecke (s)
Zusammengesetzte Maßeinheiten (1) Geschwindigkeit Wir haben auf einer der ersten Folien eine Situation in einem Autorennen geschildert: Der Oldtimer brummte mit 20 ‚Sachen‘ um die Kurve. Bild 1 Diese Aussage ist im Alltag wohl üblich und volkstümlich, aber für den Mathematiker und den Physiker absolut nicht korrekt! Geschwindigkeiten werden nicht in ‚Sachen‘ gemessen. Deshalb ist die sogenannte Maßeinheit ‚Sachen‘ auch in Anführungszeichen gesetzt. Was ist damit eigentlich gemeint? Eine Alltagssituation kann es verdeutlichen. Zwei Buben diskutieren. Paul meint: „Ich habe gestern zwei Stunden (2 h) lang auf einem ebenen Waldweg gejoggt und dabei 22 km zurück gelegt.“ Denis entgegnet: „Ich bin heute 3 Stunden (3 h) lang gleichmäßig gerannt und habe dabei 30 km geschafft. Meine Geschwindigkeit war dabei wohl größer!“ Ist die Behauptung von Denis richtig? Fälle zuerst dein Urteil! Notiere! Welche Größen musst du berücksichtigen, wenn du zu einem Urteil kommen willst? Notiere! ... und prüfe dann! benötigter Zeit (t) zurückgelegter Wegstrecke (s) Wenn du die Geschwindigkeit (v) beurteilen willst, dann beachte das Zusammenspiel von 2

18 ... zusammengesetzte Maßeinheiten (2)
Geschwindigkeit Die Größe der Geschwindigkeit (v) können wir beurteilen, wenn wir wissen, welche Wegstrecke (s) jeweils in der gleichen Zeit (t) zurückgelegt wurde. Zugrunde legt man genau eine Stunde (1 h). Paul: Weg s = 22 km Zeit t = 2 h Paul hat also pro Stunde km zurückgelegt. Geschwindigkeit= Weg Zeit Denis: Weg s = 30 km Zeit t = 3 h Denis hat also pro Stunde (nur) km zurückgelegt. Beim Nachdenken wird klar: Du hast die Wegstrecke durch die Zeit dividiert. Wie hast du deine Ergebnisse errechnet? Somit ergibt sich eine Formel für die Berechnung der Geschwindigkeit v: V = S t Sprich: Die Geschwindigkeit von Denis betrug 10 km pro 1 Stunde. = 10 h km 22 km 2 h Sprich: Die Geschwindigkeit von Paul betrug 11 km pro 1 Stunde. VPaul = 11 10 ... dann Klick! = 11 km h ... dann Klick! Durch das Zusammenwirken von zwei Größen ist eine zusammengesetzte Größe entstanden, die wir landläufig mit ‚Sachen‘ benennen. Korrekt müssen wir sagen: „Kilometer pro Stunde“. Schreiben mit Symbolen: Umrechnung: Das gesprochene Wort pro entspricht rechnerisch immer einem Bruchstrich oder einem Divisionszeichen. und umgekehrt! pro oder Rechnen: Sprache: km h 1 = 1 km 1 h 1000 m = 60 s m s = 16,67 : Bruch- strich Divisions-zeichen km h m s 1 = 3600 m 3600 s 3,6 km = 1 h km h = 3,6 Geschwindigkeiten gibt man auch in Meter pro Sekunde an. Erweitern mit 3600, denn 1 h = 3600 s! m s 2

19 ? ... zusammengesetzte Maßeinheiten (3) 1 1 N
Ein bisschen Physik: Gewichtskraft Als Maßeinheit bei der Angabe von Größen des Gewichts wird international das Newton (N) verwendet. Das Gewicht ist eine Kraft. Andere Kräfte: Reibungskraft (Denke an die Bremse beim Auto!), Fliehkraft (Die Fliehkraft ist Ursache vieler Verkehrsunfälle.), elektromagnetische Kraft (Kommt beim Elektromotor zur Geltung.) etc. Man könnte auf die Idee kommen, zu sagen, : „1 N ist die Kraft, mit der 1 kg (z.B. das Urkilogramm) von der Erde angezogen wird.“ Das wäre keine gute Idee, denn nicht überall auf der Erde (vom Mond gar nicht zu reden!) wird die Masse 1 kg gleich stark angezogen. Wie ist die Größe der Kraft 1 N festgelegt? Die Erde hat jedoch keine ideale Kugelform. Sie ist an den Polen minimal abgeplattet. Es gilt: Die Kraft 1 N wird genau dann benötigt, wenn man die Masse 1 kg so beschleunigen will, dass ihre Geschwindigkeit in jeder Sekunde genau um 1 m/s zunimmt. ? 1 s 1 m/s 2 s 2 m/s 3 s 3 m/s 4 s 4 m/s Zeit Geschw. ! ! ! Weil dort die Entfernung zum Erdmittelpunkt geringer ist, wird jede Masse an den Polen der Erde messbar stärker angezogen als am Äquator . Drei Maßeinheiten spielen bei dieser Festlegung eine Rolle: kg ( Masse) s ( Zeit) und m/s ( Geschwindigkeit) d.h.: Wenn die Geschw. zunimmt, dann wird die zurückgelegte Wegstrecke in jeder Sekunde auch größer. Den Vorgang im Bild musst du dir fließend vorstellen, nicht ruckweise! Eine bessere Idee: Die Kraft, die man zum Beschleunigen eines Körpers (z.B. der Masse 1 kg) benötigt, ist überall gleich groß. Selbst überall im Weltall. Den Luftwiderstand auf der Erde muss man aber abziehen. Das kann man. Unter Anwendung aller Rechenregeln ergibt sich so eine zusammengesetzte Maßeinheit: kg m s2 1 1 N ... bekannt unter: 2

20 Vorsilben bei Maßeinheitenn
© 2014 Gernot Mühlbacher Vorsilben bei Maßeinheitenn Namen verraten was! Du hast schon gelernt, dass eine (Maß)Einheit alleine nicht geeignet ist, alle Größen sinnvoll zu beschreiben. Leicht würden zu große oder zu kleine Zahlen entstehen  Folie 27 Man schafft also größere oder kleinere verwandte Einheiten. Diese beziehen sich immer auf die Bezugseinheit (z.B. g, m, s, l) und betragen das Zehnfache, ….. oder 1 Zehntel …… usw. Wir bewegen uns ja im Dezimalsystem. Die neue, verwandte Maßeinheit bekommt dann eine aus der griechischen Sprache abgeleitete Vorsilbe, die uns einen Hinweis auf die Schrittweite geben wird. 10-6 ….. 10-3 10-2 10-1 101 102 103 ….. 106 1/ 1/1000 1/100 1/10 •10 •100 •1000 ….. Bezugs- einheit Mikro... ….. Milli... Zenti... Dezi... Deka... Hekto.. Kilo... Mega.. µg mg g Masse kg mN cN N Gewicht daN kN MN µm mm cm dm m Länge dam hm km Mikrogramm = Millionstel Gramm Milligramm = Tausendstel Gramm ml cl dl l Hohlmaß hl ms s Zeit Minuten u. Stunden sind nicht im Dezimalsystem ! An einem Beispiel sollst du erkennen: Rein rechnerisch ist es im Ergebnis völlig egal, ob du die folgenden Schreibweisen verwendest: B 1 g 1/1000 = 1 mg oder Speicher-platz kB Wer sich mit Potenzen auskennt, benutzt auch negative Hochzahlen: z.B.: 1/100 = 10-2 1/1000 = 10-3 MB Für 1/100 s = 0,01 s und 1/10 s = 0,1 s gibt es keine Vorsilben obwohl diese Maßeinheiten bei der Zeitmessung im Sport eine große Rolle spielen. Das Byte (B) ist eine relativ junge Maßeinheit. In der Computertechnologie wird das Speichervermögen von Festplatten, CD‘s, DVD‘s, USB-Stick‘s in B, kB und Mb angegeben, ja inzwischen auch in GB (Gigabyte) und TB (Terabyte). 1g/1000 = 1 mg oder 2 1g  0,001 = 1 mg

21 , , , Das Dezimalzahl-System .... .... ist ein Stellenwert-System … ,
Der Wert einer Ziffer hängt also davon ab, in welcher Spalte, an welcher Stelle sie steht. Von Stelle zu Stelle ( nach links hin) bekommt eine Ziffer als Zahl den zehnfachen Wert: Schon in der Grundschule lernt man , sich im Zahlenhaus zu bewegen. Die Ziffern erhalten ihren Wert, je nachdem sie in die Einer-, die Zehner-, die Hunderter- Spalte usw. eingetragen werden. 6 • 1  6 • 10 • 10 7 • 10  7 H 4 7 Z 6 E • 100 1000stel Wer hat‘s erfunden? 4 • 100  4 100stel 100er Einer 10tel 10er , Die Inder … Was tun mit Bruchzahlen? … vor über 2000 Jahren! Am Zahlenhaus wird (  rechts) angebaut: Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ... bekommen ihre Stellen zugewiesen. H Z E , z h t T zt Ergänze die Zahl 476, indem du 3 Zehntel, 5 Hundertstel und 2 Tausendstel einfügst! , Zuerst auf den Block! Dann zur Kontrolle: KLICK! 4 7 6 3 5 2 Die Bruchzahlen und die Ganzen werden durch ein Komma getrennt. Die Begriffe Dezimalbruch und Dezimalzahl werden im gleichen Sinn verwendet. Zeichne die Häuschen und trage ein! Wir wollen daran weiterbauen. Dann KLICK! Trage z.B. die Zahl 476 ein! Den Zähler des Bruches trägst du ein. Mathematiker sind schreibfaul: Der Nenner ergibt sich aus der Stellung der jeweilige Zahl. Ein schnell auftauchendes Problem wollen wir auf der nächsten Folie lösen. Ahnst du schon, worum es gehen wird? z h t : 10 : 1000 , E 3  3 • 1/10 = 3/10 = 0.3 3 5 2 5  5• 1/100 = 5/100 = 0.05 Zu Deutsch: Das ZEHNER-SYSTEM .... ist ein Stellenwert-System 2  2• 1/1000 = 2/1000 = 0.002 2 Anwendung Folien 32 33 34 35

22 .... und wenn es kein Fortsetzung ‚Dezimal-System‘ Zehntel-, Hundertstel- oder Tausendstel-Bruch … ist? 2 10 oder 0,2 Beide haben den Nenner 10. (Ausgeschrieben oder nicht.) Sie verdienen beide den Namen Dezimalbruch. Einfacher Fall: Wandle in eine Dezimalzahl: (Dezimalbruch) In dieser Form kann diese Bruchzahl nicht ins Dezimalsystem übertragen werden. Schon etwas schwieriger: Wandle in eine Dezimalzahl: (Dezimalbruch) Wenn der Nenner eine Primzahl ist oder ein Vielfaches einer Primzahl, dann hilft kein Erweitern oder Kürzen, um einen dezimalen Nenner (10tel, 100stel, 1000stel ... ) zu erhalten. (Ausnahme: Die Primzahl 2) 7 5 9 25 Wo liegt das Problem? Es gibt keinen Platz für 25stel. Es geht überraschend einfach: Erweitere die Bruchzahl mit 4! Man kann es natürlich so machen, wie in der Grundschule gelernt: Da hilft nur das reine Verfahren des Ausdividierens. 7 25 •4 = 28 100 20 + 8 7,0000 : 25 = 0, 2 8 Typisch: Das Divisionsverfahren endet nicht. Es entstehen unendliche Dezimalzahlen: -50 20 -200 Ergebnis: 0,28 0, = 0,5 5 9 = 000 Ausdividieren! 4 11 = 1 15 11 = 1, = 1,36 Keine attraktive Methode in Zeiten des Taschenrechners! Viele Bruchzahlen kann man kürzen oder erweitern, so dass ein Dezi-malbruch entsteht. Dieser kann ins Dezimal-System überführt werden. Grundsätzlich gilt: Bruchzahlen lassen sich in Dezimalzahlen umwandeln, indem man den Nenner durch den Zähler dividiert. Kein Problem mehr in Zeiten des Taschenrechners. Aber verstehen sollte man die Zusammenhänge schon! 2

23 , Randständige und mittelständige Nullen , ,
Fortsetzung ‚Dezimal-System‘ „Null ist nichts!“ sagt der Volksmund. Ob das immer richtig ist, wollen wir kritisch hinterfragen. H Z E , z h t T zt Beispiel : (Es handelt sich um eine Größe.) km Du entdeckst zwei mittelständige Nullen. Sie färben sich rot bei einem KLICK Was geschieht, wenn wir an der Tausender-Stelle (T) eine Null einsetzen? 6 3 2 9 Tausender-Schritt: 1 km = 1000 m Also: 3 Stellen nach dem Komma vorhalten. Notfalls mit Randnullen auffüllen! Was geschieht, wenn wir die Null an der Einer-Stelle (E) streichen? Was geschieht, wenn du an der Tausender-Stelle eine Null einfügst? Überlege! Was geschieht, wenn wir die Null an der Hundertstel-Stelle (h) streichen? 6 3 , 2 9 km Auch in diesem Fall haben die rand-ständigen Nullen wirklich keinen Wert. Sie schaffen Platz (Leerstellen), wenn das Komma verschoben werden soll. Dazu muss man oft eine sinnvolle Anzahl Nullen vorrichten. Randständige Nullen dienen nach dem Komma oft als Platzhalter, um dem Leser zu signalisieren, ob Zehner-Schritte, Hunderter-Schritte oder Tausender-Schritte für die betreffenden Maßeinheiten typisch sind. 6 3 , Notiere, falls ein neues Bild im Zahlenhaus entsteht! Hat dies Folgen? 2 9 km Notiere, falls ein neues Bild im Zahlenhaus entsteht! Hat dies Folgen? ... dann Klick! ... dann Klick! Randständige Nullen kann man immer streichen oder einsetzen! Die Einerstelle wird frei, die 3 rutscht von der Zehner- auf die Einerstelle. In der Folge rutscht die 6 von der Hunderter- auf die Zehnerstelle. Aus 630 km werden 63 km. Die Hundertstel-Stelle wird frei, die 9 rutscht von der Tausendstel- auf diese Stelle. Da 1 km 1000 m hat, wäre es ratsam, weiterhin 3 Stellen nach dem Komma beizu-behalten. Eine Null besetzt die Tausendstel-Stelle. Aus 630,209 km werden 630,290 km. Wertänderung! Eine randständige Null ist entstanden. Was bewirkt dieser Platzhalter wohl? Die randständige Null auf der Tausendstel-Stelle hält lediglich die dritte Stelle für das dreischrittige km-Maß frei. Die 9 oder die 2 werden zu keinem Nachrücken veranlasst. Der Wert ändert sich nicht! Mittelständige Nullen darf man nie streichen oder einfügen! Dies führt zu Wert-Veränderungen! 2

24 , , Dezimalzahlen als Bruchzahlen deuten: + +
Fortsetzung ‚Dezimal-System‘ Das Zahlenhaus zum Dezimalzahlschema 1000stel 100stel , Trage die Maßzahl(Dezimalzahl) zur Hilfe zuerst in das Dezimalschema ein! 2,437 kg 100er Einer 10tel 10er , 2 , 4 3 7 Das sind: 2 ganze kg 4/10 kg = 400/1000 kg 3/100 kg = 30/1000 kg 7/1000 kg + erweitert und zusammen 437/1000 kg /1000 kg Das sind: 2 ganze kg /10 kg = /1000 kg /100 kg = /1000 kg + erweitert und zusammen /1000 kg Rechne! H Z E , z h t T zt 1. Zähler der Brüche? 2. Dann erweitern (gleichnamig machen) und addieren! Zeige, dass 2,437 kg = 2kg und 437/1000 kg ! Wandle folgende Dezimalzahlen in Bruchzahlen um: (Setze sinnvolle Randnullen, beachte die Bedeutung der mittelständigen Nullen!) ÜBUNG: 43, 924 km = km = 43km 924 m 6, 5 m = m = 6 m 50 cm 21,02 kg = kg = 21 kg 20 g ____________-Schritt 1000er 100er 924/1000 50/100 20/1000 6,50 m Notiere zuerst! Dann  Klick 5/10 (gekürzt) wäre auch richtig ... 21,020 ... aber nicht sinnvoll. 1m = 100 cm  Der 100er-Schritt zwischen m und cm macht es sinnvoll, gleich die Maßzahl 6,50 einzurichten. So wird der Bruch 50/100 leichter verständlich. Wende dies entsprechend auf 21,02 g an! (Tausender-Schritt!) 2

25 ... mit uns können Sie rechnen!
2. Teil: Umrechnen von Größenn Bevor du in das Thema ‚Umrechnung von Größen‘ einsteigst, solltest du mit folgenden Begrifflichkeiten aus Teil 1 umgehen können: Sonst gehe zurück!  Größe, Maßzahl, Maßeinheit 12 Metrisches System, Nichtmetrisches System 11 Dezimalsystem, Stellenwertsystem 21 Basiseinheit, abgeleitete Einheit 13 ... mit uns können Sie rechnen! Zusammengesetzte Maßeinheiten 17 Vorsilben (Vorsätze) bei Maßeinheiten 20 Neue Begriffe: Zehnerschritte Hunderterschritte Tausenderschritte Nutze auch immer das Stichwortverzeichnis 2

26 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Bewusstsein (= bestehendes Wissen + Erfahrung) Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind.

27 2 Bildnachweis: Größen I
Eigene Fotos und eigene Werke wurden nicht in die fortlaufende Nummerierung aufgenommen. Folie: 3/4 Bild1 LJ French Athletics Championships 2013 t jpg  CC-BY 3.0 Urheber © Marie-Lan Nguyen / Wikimedia Commons / CC-BY 3.0 Titel/Jahr: Weitsprungsprung / 13. Juli 2013 Medium: Fotografie (verkleinert Ort: Stade Charléty in Paris am 13. Juli 2013. URL / Datum https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Jastrow Folie: 3/4 Bild2 Men 100 m French Athletics Championships 2013 t jpg  CC-BY 3.0 Urheber © Marie-Lan Nguyen / Wikimedia Commons / CC-BY 3.0 Titel/Jahr: 100m-Lauf / 13. Juli 2013 Medium: Fotografie (verkleinert Ort: Stade Charléty in Paris am 13. Juli 2013. URL / Datum https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Jastrow Folie: 3/4 Bild3 Ford Model T / Ford T Jon Sullivan.jpg public domain/ "This image is public domain, because I took the picture and I've made it public domain. [...]" Urheber Jon Sullivan Titel/Jahr: Oldtimer Ford Model T / Medium: Fotografie (verkleinert) Ort: Mother Goose Parade URL / Datum Folie: 3/4 Bild4 EthelCatherwood1928.jpg / public domain https://commons.wikimedia.org/wiki/Template:Not-PD-US-URAA Urheber Unbekannt /ursprünglich  Antoinel in der Wikipedia auf Französisch Titel/Jahr: Ethel Catherwood en 1928 aux Jeux Olympiques d'été de d'Armsterdam. Medium: Fotografie (verkleinert) Ort: Olympiade Amsterdam 1928 URL / Datum Übertragen aus fr.wikipedia nach Commons Folie: 3/4 Bild5 Rowing - USA Lwt World Champs 2003.jpg  Urheber Fotograf: Dieses Bild wurde von einem Mitglied der United States Army während der Ausführung seiner Dienstpflichten erstellt. Als eine Arbeit der Bundesregierung der Vereinigten Staaten ist dieses Bild in public domain. Joel Rogers Titel / Jahr: Rudern / URL Folie: 5 Bild1 Preussische Elle und Preussischer Fuss an Rathaus.jpg von Sebastian Wallroth als gemeinfrei veröffentlicht. Dies gilt weltweit. Urheber Sebastian Wallroth Titel/Jahr:  Preußische Elle und Preußisches Fuß / 30. September 2004 Medium: Fotografie (verkleinert) Ort: Rathaus von Bad Langensalza, Thüringen, Deutschland URL / Datum https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3APreussische_Elle_und_Preussischer_Fuss_an_Rathaus.jpg Folie: 6 Bild1 Body measures SVG.svg  Lizenz: https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Unported (CC BY-SA 3.0) Urheber MagentaGreen eigenes Werk Titel/Jahr: Body measures / 26. Februar 2014, 11:03:50 Medium: Bild (verkleinert) Folie: 7 Bild 1 Zeichen 262.svg Urheber aus: Verkehrszeichenkatalogs (VzKat), der Straßenverkehrsordnung (StVO) Titel/Jahr: Zeichen 262 (1992) und Medium: Fotografie (verkleinert) Ort: URL / Datum de:Bundesministerium für Verkehr, Bau- und Wohnungswesen Folie: 7 Bild2 Traffic sign Slope Gefälle 20 per cent (Germany).JPG  Lizenz: https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de Urheber LepoRello Quelle: Titel/Jahr: Verkehrsschild "Gefälle 20 Prozent" (Albstadt-Laufen, Deutschland) 2. September 2009 Ort: Albstadt-Laufen, Deutschland Medium: Fotografie (verkleinert) Folie: 8 Bild1 Enslen Freiburger Münster.jpg  Lizenz: Dieses Werk ist gemeinfrei, urheberrechtliche Schutzfrist abgelaufen. Titel / Jahr Blick vom Schlossberg auf Freiburg mit Münster 1839 Urheber Carl Georg Enslen after Gay Medium: Teilkopie nach dem Stahlstich von Gay. Öl auf Leinwand (verkleinert) Herkunft: 2

28 2 Bildnachweis: Größen I Fortsetzung von Folie 27
Eigene Fotos und eigene Werke wurden nicht in die fortlaufende Nummerierung aufgenommen. Folie: 9 Bild1 Makino-S33-MachiningCenter-example.jpg  Lizenz https://en.wikipedia.org/wiki/de:Creative_Commons / {{Cc-by-sa-2.0} Urheber Glenn McKechnie / Photograph taken by Glenn McKechnie Titel/Jahr: Kühlschmiermittel beim Fräsen / 26. August 2005 Medium: Fotografie / Verkleinerung URL / Datum Verwendung auf de.wikipedia.org: z.B.: https://de.wikipedia.org/wiki/Fräsen Folie: 10 Bild 1  Lizenz „NASA-Material nicht durch Urheberrecht geschützt . Urheber NASA Titel/Jahr: Astronaut Bruce McCandless II bei einem Außenbordeinsatz / Medium: Film Type 70 mm Ort: während der Mission STS-41-B URL / Datum Astronaut-EVA.jpg Folie: 10 Bild2 Buzz Aldrin (Apollo 11).jpg  Lizenz „NASA-Material nicht durch Urheberrecht geschützt . Urheber NASA, cropped by W.wolny Titel/Jahr:  Buzz Aldrin during Apollo 11. / aufgenommen Mai 1969 Medium: Ausschnitt aus : The Apollo 11 Prime Crew - GPN jpg URL / Datum Folie: 10 Bild3 Aldrin Apollo 11.jpg  Lizenz „NASA-Material nicht durch Urheberrecht geschützt . Urheber NASA Titel/Jahr:  Astronaut Buzz Aldrin on the moon. /20. Juli 1969 Medium: Ausschnitt aus o.g. Bild (verkleinert) URL / Datum Folie: 11 Bild1 (50).jpg / Aus Wikimedia Commons, dem freien Medienarchiv  Lizenz https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de (CC BY-SA 3.0) Urheber ursprünglich: Mafmafmaf in der Wikipedia auf Englisch Titel/Jahr: Neptun " green monochrome monitor / 28. November 2006 Medium: Fotografie (verändert) URL / Datum https://en.wikipedia.org/?uselang=de Folie: 13 Bild1 Atomicclock.jpg / Aus Wikimedia Commons, dem freien Medienarchiv  Lizenz / Urheber: NASA-Urheberrechtsrichtlinie-Seite Diese Datei ist gemeinfrei (public domain), da sie von der NASA erstellt wurde. Titel/Jahr: Atomuhr Medium: Fotografie (Ausschnitt) URL / Datum Folie: 17 Bild 1 Ford Model T / Ford T Jon Sullivan.jpg public domain/ "This image is public domain, because I took the picture and I've made it public domain. [...]" Urheber Jon Sullivan Titel/Jahr: Medium: Fotografie (verkleinert) Ort: Mother Goose Parade URL / Datum Folie: 27 Bild 1 Human_brain_NIH.png Urheber : This image is a work of the National Institutes of Health, part of the United States Department of Health and Human Services. As a work of the U.S. federal government, the image is in the public domain. Quelle: from en-wiki / on page http://lbc.nimh.nih.gov/osites.html) Titel/Jahr: Human brain 16:37, 23. Jul. 2007 Medium: Fotografie (stark verändert und verkleinert) 2

29 Kurz erklärt Kommt es zu einem Feuchte- oder Leitungswasserschaden, sind wir der ERSTE Experte am Schadenort. Wir leiten ERSTE Maßnahmen im Rahmen der Ursachenermittlung/-analyse und Schadenminderung ein. Wir treffen ERSTE Entscheidungen, wie mit der jeweiligen Situation unserer Empfehlung nach umzugehen ist und liefern unabhängig von Nachgewerken ERSTE Ergebnisse, Details zum Schadenausmaß und Einschätzungen zur weiteren Vorgehensweise. Auszüge aus START vor

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