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16 ... mit uns können Sie rechnen!
Gernot Mühlbacher BRUCH-RECHNEN II ... mit uns können Sie rechnen! * Anwendung / Übung Download: Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe © Gernot Mühlbacher

17 Gliederung Grundwissen Übungen 18 Stichwortverzeichnis Probier‘s aus!
I Bruchzahlen verstehen II Bruchzahlen umwandeln III Grundrechenarten Bruchrechenregeln 4 9 12 Folie 4 bis 8 Folien 9 bis 11 Folien 12 bis 18 Grundwissen BRUCHRECHNEN I  … als Überblick 1/2 I V Darstellen, Schätzen, Messen V Die vier Grundrechenarten VI Kritisch nachfragen! VII Fachbegriffe Folien 24 bis 37 24 Folien 21 bis 23 21 Folien 37 bis 38 37 Folie 39 39 Übungen BRUCHRECHNEN II:  Folie 40 40 19 LERNEN … ist mehr als Verstehen! Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren Wie entwickeln sich die Werte bei Mult. oder Div. Richtiger Einsatz des Lehrwerks

18 Folien 2 bis 18: START  BRUCHRECHNEN I
Immer gewünschte Folien-Nr. anklicken! Stichwortverzeichnis Knopf führt immer zum 2 … zum Suchen 1 Gliederung Folie Nr.: Addition 12, 24,25 Ganze Zahl 3, 6 - 8 Brucharten 7 (und 8) Gemeinsamer Nenner 10, 11, … Bruchzahlen verstehen 4 - 6 Gemeinsames Vielfaches 10, 11…, 23 Bruch-Rechenregeln 12 – 17, 18 Geteilt-Operator 5, 39 Mal-Operator 5, 40 Darstellung von Bruchz. 6 (und bei Erklärungen) Gemischte Zahl 7 und 8 Multiplikation , 28 – 30, 37 Division 17, 31, 39 gleichnamig 10, 11,12 23 Nenner 4 Doppelbruch 17, 31 Hauptnenner 10, 11, 12 Operator 40 Echter Bruch 7 und 8 Kürzen 9 Schätzen Durchgehend in den Beispielen Erweitern Kürzungszahl Subtraktion 13, 27, 36 Erweiterungszahl 9, 10 Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) 11, 23 Unechter Bruch Fachbegriffe zu den Grundrechenarten 39 Kehrwert 17,18 Werte vergleichen 9, 10, 11 Faktorenzerlegung (Primfaktoren) Kehrbruch Zähler ? Folien 2 bis 18: START  BRUCHRECHNEN I 19 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Lernen Richtiger Einsatz des Lehrwerks: 20 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 40

19 Die nächste Folie kannst du u.U. auch überspringen.
Lernen ist mehr als Verstehen! Mit den vier wichtigen Bruchrechenregeln wollen wir uns jetzt intensiv beschäftigen! Wenn du verstanden hast, dass die Regeln zu Recht gelten, dann kannst du noch lange nicht sicher mit ihnen umgehen. Die nächste Folie kannst du u.U. auch überspringen. Wir wollen deshalb … Der Lernvorgang ist erst dann beendet, 21 … Beispiele rechnen. … typische Fallen vermeiden. … auf häufig auftretende Rechenfehler hinweisen. wenn du nach dem ersten Verstehen auch später noch sicher und flüssig mit dem neu Gelernten umgehen kannst! … typische Denkfehler vermeiden. … Ergebnisse im Voraus abschätzen, damit wir am Ende der Aufgabe erkennen können, ob wir auch richtig gerechnet haben. … Lösungswege vergleichen. 2 Die nächste Folie gibt dafür zusätzlich eine Erklärung und Begründung!

20 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 2

21 Darstellung von Bruchzahlen
Training Darstellung von Bruchzahlen Also: Auf geht‘s! Löse die folgende Aufgabe auf deinem Arbeitsblatt! Im nachfolgenden Kreisdiagramm steckt ein Fehler. Beschreibe ihn! Eine rechteckiger Obstgarten ist 63 m lang und 20 m breit. 2/7 der Fläche sind mit Zwetschgenbäumen bepflanzt, 1/7 mit Himbeerstauden und der Rest mit Apfelbäumen. 1/8 1/8 Zeichne zuerst ein maßstäblich verkleinertes Bild der Gartenfläche! Fertige daraus ein Streifendiagramm, in dem du die jeweiligen Anteile der Obstsorten einfärbst. Kontrolliere erst dann deine Lösung!  KLICK Das Rechteck wird hier in sinnvoller Weise in der Zeichnung 6,3 cm lang (hoch) und 2 cm breit. Begründung: Länge: 63 m = 6300 cm ≙ 6,3 cm  Maßstab 1 : 1000 Breite: 20 m = 2000 cm ≙ 2 cm  Maßstab 1 : 1000 Von der ganzen Torte (acht Achtel / 8/8) nehme ich sechs Achtel (6/8) weg. Schreibe deine Meinung zuerst auf das Arbeitsblatt! Lösung: Himbeeren (H): 1/7 von 6,3 cm = 0,9 cm H 1/7 Die zutreffende Fehlerbeschreibung siehst du nach einem KLICK! Das übrig bleibende Tortenstück kann nur zwei Achtel (2/8) des Ganzen ausmachen. Z Zwetschgen (Z): 2/7 von 6,3 cm = 1,8 cm 2/7 Die falscherweise restlichen drei Achtelstücke waren sichtbar deutlich zu klein. Hast du gleich gemerkt, dass es anfangs insgesamt neun ‚Achtelstücke‘ waren? 1 ≠ 9/8 A Wenn du mit der rechten Maustaste klickst, dann erhältst du eine Möglichkeit, zurück zu gehen und so noch einmal zu vergleichen (rechts KLICK  ‚zurück‘!) Apfel (A): 4/7 von 6,3 cm = 3,6 cm 4/7 Gesamt: ,3 cm 7/7 2 Achte auch etwas auf diese Art, einen Lösungsweg darzustellen!

22 Schätze! Erledige alle Arbeitsaufträge auf dem Arbeitsblatt (AB)
Liz Paul Ben Kathi Lea Nicht immer ist es ganz einfach, den Wert von Brüchen richtig einzuordnen. Vor allem, wenn der Wert vieler Bruchzahlen verglichen werden soll. Wir haben fünf gleich lange Stöcke. Vier werden gekürzt: ① auf  1/2, ② auf  7/12, ③ auf  5/8 ,④ auf  2/3 der bisherigen Länge. Wie lang sind sie dann wohl? ① ② ③ ④ ⑤ ? ? ? 1 4 3 5 2 1 5 Bei den Stöcken ②③④ hilft nur das (gedankliche) Unterteilen. ganzer Stock Schätze! Markiere den jeweiligen Bruchteil auf dem Stock!  AB Stock ② : Wir unterteilen in 12 Teile und nehmen 7 davon. Zwei Stöcke sind eindeutig erkennbar zuzuordnen. Stock ③: Wir unterteilen in 8 Teile und nehmen 5 davon. Das Schätzen bringt höchstens 2 klare Ergebnisse: Der größte Stock ist die Nummer ⑤  Kathi. Der kleinste Stock ist die Nummer ①  Liz, da alle anderen etwas größer sind als der halbe Stock. Rechne noch nicht! Notiere zum Namen des Kindes entsprechend der Größe die Stocknummer! Wenn du fertig bist: KLICK ! Stock ④: Wir unterteilen in 3 Teile und nehmen 2 davon. Verfahre entsprechend mit den Stöcken 3 und 4!  AB Ordne jetzt die Stöcke endgültig zu! Bei welchen Stöcken hast du die Kürzung falsch eingeschätzt? Kontrolle? KLICK! Weshalb sind die Nr. 2, 3, 4 größer als die Hälfte? Denn: 7/12 und 5/8 sind mehr als die Hälfte. (6/12 und 4/8 wären genau die Hälfte). Bei 2/3 fällt die Begründung nicht so leicht. Aber unsere Erfahrung sagt auch, dass 2/3 mehr sind als die Hälfte. Alltag: Denke an ein 2/3 gefülltes Wasserglas. Denke im Alltag daran: Je mehr du deine Vorstellung von Bruchteilen schulst und je öfter du das Schätzen trainierst, desto besser werden die Ergebnisse! 2 Training: Nimm einen Stab beliebiger Länge. Schätze die Hälfte (ein Viertel)! Markiere mit einer Kreide! Miss nach! Schwerer: Nimm 2 gleiche Gläser! Fülle eines beliebig mit Wasser! Schütte 1/3 davon ins andere Glas! Vergleiche!

23 1 Manchmal sind die restlichen Teil-Nenner im größten Teil-Nenner oder
Training Das kgV und Erweitern Gleichnamig machen und ordnen: Ordne durch Schätzen die Zahlen 1/2 , 7/12 , 5/8 , 2/3 und 1 der Größe nach! Die eigentliche Aufgabenstellung von der vorigen Folie könnte man mathematisch kurz so formulieren: Erst auf dem Block! Kontrolle  KLICK Das Schätzen gestaltet sich ganz schön schwierig und nimmt Zeit in Anspruch.  Arbeitsblatt Wenn man Papier und Schreibzeug zur Hand hat, dann geht das schnell, indem man einen gemeinsamen Nenner (ein gemeinsames Vielfaches) sucht und die Brüche durch Erweitern gleichnamig macht. Bildliche Darstellung: 1 Den gemeinsamen Nenner haben wir gefunden, indem wir das Produkt aller Nenner gebildet haben. ( Folie 10) Suche das kgV als Hauptnenner mit Hilfe der Primfaktoren-Zerlegung! Die bildliche Darstellung gehört nicht mehr zur eigentlichen Aufgabenstellung! Sie hilft ein weiteres Mal, dein Verständnis für Bruchzahlen zu verbessern. kgV als Hauptnenner: Kontrolliere erst dann deine Lösung!  KLICK Bei mehreren Bruchzahlen wenden wir ein schriftliches Verfahren an, in dessen Verlauf wir die Teil-Nenner in sog. Primfaktoren zerlegen. Auf diese Weise erhalten wir das kgV ( Folie 11) 12 = 3 • 4 2 • 2 8 = • 4 2 • 2 2 = Der Bruch ist hier immer Teil eines Ganzen. 3 = 3 HN = 3 • 2 • 2 • = 24 Ein Versuch durch Kopfrechnen: ganzer Stock Wir nehmen den größten Teil-Nenner und untersuchen, ob er der Hauptnenner sein kann. Ist es schon die 12? Ein Austesten lohnt sich: Manchmal sind die restlichen Teil-Nenner im größten Teil-Nenner oder in einem seiner Vielfachen enthalten. Nein: Die 8 ist kein Teiler von 12. Dann verdoppeln wir eben mal die 12. Kann 24 der HN sein? Glück: Die drei anderen Teil-Nenner sind in 24 enthalten. Sonst hätten wir es mit dem Dreifachen von 12 versucht! 2 ① ② ③ ④ ⑤

24 indem man die Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner belässt.
Addition von Bruchzahlen Überprüfe, ob du richtig gerechnet hast! KLICK! Andere Schreibweise: Du kannst die Fünfzehntel auch auf einem langen Bruchstrich zusammenfassen: Hast du eine Idee, wie man das Ergebnis im Voraus schätzen könnte? Notiere deinen Schätzwert! 2/3 ist etwas größer als 1/2 ; hingegen: 2/5 ist etwas kleiner als 1/2 . Also muss die Summe nahe bei 1 liegen. Richtige Lösung: Drei häufige Ergebnisse: 4 8 4 15 1 15 oder oder Eines der obigen Ergebnisse ist richtig. Gegen die Regel! Berechne die Aufgabe auf deinem Arbeitsblatt! Bruchzahlen gleichnamig machen! Dann die Zähler addieren! Die Nenner belassen! Die zwei anderen Ergebnisse wurden mit typischen Fehlern bei der Anwendung der Additionsregel erreicht. Kannst du nachvollziehen, wie das jeweilige falsche Ergebnis zustande gekommen ist?  Arbeitsblatt! Vergleiche mit der richtigen Lösung! Gleichnamige Bruchzahlen addiert man, indem man die Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner belässt. 2

25 indem man die Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner belässt.
Richtige Lösung: Addition von Bruchzahlen (Fortsetzung) Drei denkbare Ergebnisse: oder oder 2. Fehler: Eines der obigen Ergebnisse ist richtig. Gegen die Regel! Berechne die Aufgabe! Dann KLICK! Wie kommt man dazu, zu multiplizieren? Es gibt keinen vernünftigen Grund dafür…. und dennoch geschieht dieser unüberlegte Rechenschritt sehr oft! Die zwei anderen Ergebnisse wurden mit typischen Fehlern bei der Anwendung der Additionsregel erreicht. Kannst du nachvollziehen, wie das jeweilige falsche Ergebnis zustande gekommen ist? Vergleiche mit der richtigen Lösung! Gleichnamige Bruchzahlen addiert man, indem man die Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner belässt. 2

26 Häufige Fehlerquelle! 2 Eine Aufgabe führt uns zum Nachdenken:
Für spätere Zeiten: Ein geübter Rechner schätzt relativ schnell: Du hast sicher bemerkt, dass die gemischten Zahlen zuerst in unechte Brüche verwandelt … oder: Wenn du fertig bist: Vergleiche dein Ergebnis! KLICK! … und dann auf den gemein-samen Nenner gebracht wurden Zum Beispiel: Du hättest den Rechenweg auch anders notieren können. Versuche, ihn nachzuvollziehen! Siehst du das auch? • 15 • 15 Zu Beginn fand offensichtlich ein Platztausch statt: Geht das so einfach? Zur Erklärung müssen wir uns einmal eine gemischte Zahl genau anschauen: Offensichtlich hat dies zu keinem Fehler geführt! … bedeutet eigentlich: Die Rechenaufgabe musst du dir so geschrieben vorstellen: Weshalb ist das alles so erwähnenswert? Wenn zwischen zwei Zahlen oder zwei Variablen (Platzhaltern) kein Rechenbefehl geschrieben ist, so heißt dies in der Mathematik in der Regel: „Multipliziere!“ + Häufige Fehlerquelle! Beispiel: Volumen Quader a b c Formelsammlung: V = a b c Weshalb dürfen wir die Plätze also vertauschen, ohne einen Fehler befürchten zu müssen? Gemeint ist: V = a • b • c Die Schreibweise bei gemischten Bruchzahlen ist die berühmte Ausnahme. Hier ist die Addition gemeint! Summanden sind vertauschbar. … und diese Ausnahme von der Regel führt oft zu Rechenfehlern! 2

27 indem man die Zähler subtrahiert und den gemeinsamen Nenner belässt.
Subtraktion von Bruchzahlen Man kann auch anders vorgehen: Ungefähre Werte ergeben: ~ ~2, ,5 ≈ 2 Das Ergebnis müsste eher etwas unter 2 liegen. Weshalb? Wichtig bleibt: Immer zuerst gleichnamig machen! Hast du eine Idee, wie man das Ergebnis im Voraus schätzen könnte? Notiere deinen Schätzwert! 1 Ganzes in 18/18 verwandeln und auf den Bruchstrich bringen! Weshalb darfst du so vorgehen? Berechne jetzt die Aufgabe! Denke an die Abmachung bei gemischten Zahlen: Überprüfe, ob du richtig gerechnet hast! KLICK! Oder auf dem langen Bruchstrich: ( ) ( ) ( ) Ein gefährlicher Rechenweg! (+)klammer (-)klammer Wenn dein Ergebnis falsch war: Woran lag es?! Siehe oben! Gleichnamige Bruchzahlen subtrahiert man, indem man die Zähler subtrahiert und den gemeinsamen Nenner belässt. 2

28 Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Multiplikation von Bruchzahlen (Bruchzahl mal Bruchzahl) Überprüfe, ob du richtig gerechnet hast! KLICK! 4 10 3/4 davon sind 3/10 Schätze das Ergebnis zunächst einmal ein! oder: 0,75 • 0,4 = 0, 300 Vier denkbare Ergebnisse: Gegen die Regel! Eines der obigen Ergebnisse ist richtig. Kennzeichne es auf dem AB! Berechne die Aufgabe  AB! Wie kommt man dazu, zu addieren? Es gibt keinen vernünftigen Grund dafür…. und dennoch geschieht dieser unüberlegte Rechenschritt sehr oft! Das Ergebnis 5/9 wurde mit einem typischen Fehler bei der Anwendung der Multiplikationsregel erreicht. Kannst du nachvollziehen, wie der Fehler entstanden ist?  AB Auch bei den zwei anderen falschen Ergebnissen wurde ganz einfach die Regel nicht beachtet! Zwei (oder mehrere) Bruchzahlen multipliziert man, indem man alle Zähler und dann alle Nenner mit einander multipliziert. Also: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner 2

29 ( ) … und wenn du mit einer ganzen Zahl multiplizieren sollst? 1/8 1/8
Kannst du diesen häufigen Fehler erklären?  AB Kürzen! :2 Regel befolgen! Vergleiche mit der richtigen Lösung! Berechne zuerst die Aufgabe! Überprüfe, ob du richtig gerechnet hast! KLICK! Falsch: Mit 2 erweitert! Hättest du das selbst merken können? Beim Multiplizieren mit 2 müsste sich der Wert verändern! Hat er aber nicht! Das kann nicht sein! 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Nicht so kürzen! 1/8 1/8 Formuliere selbst, weshalb das nicht geht! Dann KLICK! 1/8 1/8 Kannst du die Lösung bildlich erklären? ==> AB Eine bekannte Fehlerursache! Die gemischte Zahl ist eigentlich eine Summe! So müsste man korrekt schreiben: ... und noch eine Aufgabe: ( ) Rechne! Dann KLICK! ... das wird falsch! = 30 5 = 66 Zuerst in einen unechten Bruch verwandeln! Wenn schon: dann hättest du die Klammer regelrecht ausmultiplizieren müssen: 3 1 Jetzt darfst du kürzen: Einzelne Summanden aus einer Summe sind keine Partner beim Kürzen! Deshalb: Gemischte Zahlen immer zuerst in unechte Brüche verwandeln! Zähler mit der ganzen Zahl multiplizieren, Nenner belassen! 2

30 Training zur Multiplikation von Bruchzahlen 1. (sicherer) Rechenweg: Rechne! Verwandle die gemischten Zahlen zuerst in unechte Brüche! Überprüfe, ob du richtig gerechnet hast! KLICK! Über einen häufig vorkommenden Fehler sollten wir sprechen. Suche die Ursache! Auf welche Ursache führst du das falsche Ergebnis zurück? Eine Hilfe: Falsch! Wenn zwischen zwei Zahlen oder zwei Variablen (Platzhaltern) kein Rechenbefehl geschrieben ist, so heißt dies in der Mathematik in der Regel: Multipliziere! So sollte man rechnen: Der eigentliche Fehler: Du ziehst die beiden Zahlen 2 und 3 (in Wirklichkeit Summanden) nach vorne! Auf einmal sind das Faktoren. Das geht schon gar nicht! … und führt zum falschen Ergebnis. Deshalb: 2. Rechenweg: Und dabei die zwei Summen jeweils in Klammer setzen! ( ) = Beispiel: Volumen Quader a b c Formelsammlung: V = a b c Gemeint ist: V = a • b • c 3 2 10 6 5 12 = Die Schreibweise bei gemischten Bruchzahlen ist die berühmte Ausnahme. Falsch! Falsch! Rechne den begonnenen Weg weiter! … und sie führt oft zu Rechenfehlern! gefährlicher! 12 6 + = Fehler durchschauen heißt … Fehler vermeiden! … bedeutet eigentlich: 6 + 43 12 = 9 7 12 Dies ist eine Vereinbarung, die man oft übersieht! Was geschieht dann? Teile aus Summen kürzt man nicht! Jetzt käme es dir auch nicht mehr in den Sinn, so zu kürzen: Falsch! Das geht nicht! Falsch! Noch eine Übung: Überprüfe, ob du richtig gerechnet hast! KLICK! 2

31 Division von Bruchzahlen
(Bruchzahl durch Bruchzahl) Überprüfe, ob du richtig gerechnet hast! KLICK! Schreibe den Doppelbruch gleich anders: Gratulation, wenn du richtig gerechnet hast! Berechne die Aufgabe! Dann KLICK! 1. Fehler: Vier denkbare Ergebnisse: Gegen die Regel! Eines der obigen Ergebnisse ist richtig. Du hast den Kehrbruch (Kehrwert) der ersten Bruchzahl gebildet! Vergleiche oben mit der richtigen Lösung! Lies die unten stehende Regel noch einmal genau durch! Die drei anderen (falschen) Ergebnisse entstanden durch typische Fehler bei der Anwendung der Divisionsregel.  Arbeitsblatt: Kannst du nachvollziehen, wie die Fehler entstanden sind? Zwei Bruchzahlen dividiert man, indem man die erste Bruchzahl mit dem Kehrwert (Kehrbruch) der zweiten Bruchzahl multipliziert. 2

32 Du darfst glauben, dass diese Fehler immer wieder passieren!
Richtige Lösung: Richtige Lösung: 3. Fehler: 2. Fehler: Gegen die Regel! Gegen die Regel! Beim Lösen wurden die Zähler und die Nenner addiert! Absolut gegen die Regel! Beim Lösen wurde der Kehrwert der zweiten Bruchzahl nicht gebildet. Vergleiche oben mit der richtigen Lösung! Lies die unten stehende Regel noch einmal genau durch! Vergleiche oben mit der richtigen Lösung! Lies die unten stehende Regel noch einmal genau durch! Du darfst glauben, dass diese Fehler immer wieder passieren! Zwei Bruchzahlen dividiert man, indem man die erste Bruchzahl mit dem Kehrwert (Kehrbruch) der zweiten Bruchzahl multipliziert. 2

33 Vier Grundrechenarten … … vier Beispiele
Löse zuerst die Aufgabe ! Nach KLICK kommt die Lösung. Dann Aufgabe ! KLICK … usw. 1 2 1 Eigentlich sieht die Aufgabe so aus! Diese Aufgabe gilt in einer Mathe-Arbeit als schwer. 2 Der Minuend ist mächtiger. Es wird also ein negatives Ergebnis geben. Achtung! Es gibt zwei Rechenwege. Der erste ist der sicherste. Ein zweiter Rechenweg ist auf Grund der Minuszeichen hoch riskant! Versuche, ihn mal zu ver-stehen! Klammern gelöst Aber wähle diesen Rechen-weg nicht! Der Weg über das Verwandeln in unechte Brüche ist sicherer. Denke immer an die besondere Regelung mit dem Plus-Zeichen + ! 2

34 3 4 3 (=0,69444…) 4 2 Löse zuerst beide Aufgaben und !
Nach KLICK beginnt die Lösung der beiden Aufgaben. 3 4 Kürzen! 3 Gehe auch hier wieder den sicheren Weg und bilde unechte Brüche! Komme hier bloß nicht auf die Idee zu kürzen! (=0,69444…) 4 Hier musst du ohnehin unechte Brüche bilden, sonst kannst du nicht den Kehrwert (Kehrbruch) des Divisors bilden. 2

35 1(Ganzes) Kern des Problems 1/3 < 1/2 ? 1/2 1/3 1/2
Bruchrechnen hat mit dem Alltag zu tun! Willst du jetzt dein Denken überprüfen? KLICK! Einfaches Beispiel: Es gibt zwei Lösungs- Formen zu dieser Aufgabe. Hast du eine davon? Klara und Felix packen ihre Satteltaschen für eine Fahrradtour. Die Mutter teilt einen ganzen Brotlaib für die Verpflegung. Klara bekommt die Hälfte. Felix erhält ein Drittel des Laibes. Kannst du kurz begründen, dass für die Mutter überhaupt ein Anteil übrig bleibt? Kern des Problems Wie groß ist der Anteil, den die Mutter für sich zurück behält? bzw: Die Mutter behält einen Rest für sich, denn 1/3 < 1/2 Welche Frage stellt sich jetzt? Fertig? dann KLICK! Wie würdest du die bildliche Darstellung ergänzen bzw. verändern? Oder: Wie heißt die Rechenaufgabe hierzu? (Versuche, die Aussagen im Text und die Frage mit Hilfe der bildlichen Darstellung in eine Mathematik-Aufgabe zu übersetzen!) Rechne! Wie heißt in beiden Aufgaben der Hauptnenner (HN)? …… KLICK! 2 HN = 6 Bilder helfen zum besseren Verständnis! Du hast schon gerechnet. …… Hast du dieses Ergebnis? … KLICK! Die mathematischen Formen haben zum Ziel geführt. Zurück zur Sprache: 1(Ganzes) ? Formuliere einen Antwortsatz! KLICK! 1/2 1/3 „Die Mutter behält 1/6 des Brotlaibes.“ ? Die folgende Aufgabe ist eher technischer Art. Die bildliche Darstellung unterscheidet sich nur auf den ersten Blick. Dies wäre eine Möglichkeit der bildlichen Darstellung. 1/2 Dabei sind die Brot-Anteile wichtig, nicht die Personen!

36 eine große Bedeutung! Ebenso der Rückweg: Rechenaufgabe  Sprache
Manchmal wird ganz nüchtern und sachlich formuliert. Aufgabe: Durch zwei parallel verlaufende Schnitte werden an einer Kugel zwei Kappen K1 und K2 abgetrennt, oben acht Fünfzehntel und unten sieben Zwanzigstel der Kugel. Die vorhergehende Folie erinnerte dich vielleicht an die Kugelform auf der Eingangsfolie? Hier neu mit geänderten Zahlen! Hier handelt es sich um eine nüchterne Thematik aus der Geometrie. Das Problem könnte sich einem Feinmechaniker stellen, der technische Teile aus Eisen herstellt. x K1 ? 7/20 8/15 x Welcher Bruchteil des ganzen Kugelvolumens bleibt für die dadurch entstehende Scheibe? Kern des Problems Übertrage die Informationen, die der Text liefert, auf die Zeichnung! Der Lehrmeister stellt seinem Lehrling eine Aufgabe. Formuliere mit! ... dann KLICK! K2 Stelle eine Art Formel für die Berechnung des Volumens VS der Scheibe auf! Rechne noch nicht! Auf Folie 15 und im Verlauf der vorigen Aufgabe wurdest du darauf hingewiesen, wie wichtig dieser Schritt immer ist! VScheibe = ? Gedankliche Erarbeitung einer Lösungsformel: Das Volumen der Scheibe ergibt sich, wenn ich vom Volumen der ganzen Kugel das Volumen der Kappe1 und das Volumen der Kappe 2 subtrahiere. Welche Gedankengänge haben zu dieser Lösungsformel geführt? Erläutere! Für das Rechnen im Alltag hat die Fähigkeit, Sprache in eine Rechenaufgabe zu übersetzen, eine große Bedeutung! Ebenso der Rückweg: Rechenaufgabe  Sprache Ohne eine bildliche Darstellung des Sachverhaltes gelingt die gedankliche Erarbeitung des Lösungsweges oftmals überhaupt nicht! Übe dies bei einfacheren Bildern frühzeitig! VS = VKugel - VK1 - VK2 das Ganze: KLICK ! … wenn du die Rechenaufgabe formuliert hast! VS = Rechne jetzt! Wenn fertig, dann KLICK! Für die Scheibe bleiben genau 7/60 des gesamten Kugelvolumens übrig. 2

37 oder (Vertauschungs-gesetz !)
Kritisch nachdenken! (1) In vielen Köpfen sitzt fest: „Beim Multiplizieren wird das Ergebnis größer als der Ausgangswert.“ Kann es sein, dass wir diesen aus der Grundschulzeit stammenden ersten Eindruck nicht mehr in Frage gestellt haben? Stimmt das denn immer? Weshalb werden beim Multiplizieren mit echten Brüchen die Ergebnisse wider Erwarten immer kleiner als die Ausgangswerte? Multiplikation Erfahrung aus der Grundschule: Faktor 1 (Ausgangswert) Ergebnis (Produktwert) Faktor 2 Jede Bruchzahl beinhaltet zwei Rechenbefehle. • = • 2  Mal-Operator 2 Ist der Faktor 2 (F2) größer als 1, dann ist das Ergebnis größer als der Ausgangswert (Faktor 1 bzw. F1). 11 • 5,25 = 57,75 5 •  4 2/5 22 7 3 21 4 2,1 8,4 25 1 10 35 0,3 ≈ 11,67 9 2/3 6 3/7 2 3 F1 F2 E :3  Geteilt-Operator 3 F2 > 1 Beispiel: anwachsen … kannst du dir auch so geschrieben denken: F2 = 1 Ergebnis unverändert oder (Vertauschungs-gesetz !) 3 •5 :7 3 :7 • 5 schrumpfen Dazu die Erklärung: Ist der Faktor 2 (F2) kleiner als 1, dann ist das Ergebnis kleiner als der Ausgangswert (Faktor 1 bzw. F1). Da bei echten Bruchzahlen der Geteilt-Operator immer mächtiger sein muss als der Mal-Operator, F2 < 1 wird der Wert des (zu multiplizierenden) Faktor 1 auch schrumpfen. (also der Maloperator auch immer kleiner als der Geteilt-Operator) Diese neue Erfahrung konnten wir erst machen, seit wir mit echten Brüchen rechnen. schrumpfen Ergebnis 2 Ausgangswert

38 : = Divisor > 1 schrumpfen anwachsen Divisor < 1 0,75 0,9
Kritisch nachdenken! (2) In vielen Köpfen sitzt fest: „Beim Dividieren ist das Ergebnis kleiner als der Ausgangswert.“ Stimmt das immer? Kann es sein, dass wir diesen aus der Grundschulzeit stammenden ersten Eindruck nicht mehr in Frage gestellt haben? Weshalb werden die Ergebnisse immer größer als die Ausgangswerte, wenn der Divisor kleiner als 1 ist (echter Bruch!)? Division Erfahrung aus der Grundschule: Dividend (Ausgangswert) Ergebnis (Quotientwert) Bruchzahlen sind immer dann kleiner als 1, wenn der Wert des Zählers (•- Operator) kleiner ist als der des Nenners (:-Operator). Divisor : = Ist der Divisor größer als 1, dann ist das Ergebnis kleiner als der Ausgangswert (Dividend). 9 7/12 : 3 5/6 = 2 1/2 6 1 2/5 4 2/7 3,99 2,1 1,9 8 4 2 25 1 10 0,1 100 35 0,3 ≈ 116,7 21 3/7 49 6/7 3/4 1 1/7 Dezimalzahlen sind auch Bruchzahlen mit dem Nenner 10, 100, 1000, … (zB.: 0,3 = 3/10) Die Regel für das Dividieren durch Bruchzahlen sagt: „Multipliziere mit dem Kehrwert (Kehrbruch)! Rollentausch: Divisor > 1 schrumpfen Dazu die Erklärung: Divisor = 1 Ergebnis unverändert Aus dem 5-Operator wird ein :5-Operator, aus dem : 6-Operator wird ein 6-Operator. anwachsen Ist der Divisor kleiner als 1, dann ist das Ergebnis größer als der Ausgangswert (Dividend). Divisor < 1 0,75 0,9 anwachsen Diese neue Erfahrung konnten wir erst machen, seit wir mit echten Brüchen rechnen. Weil jetzt der Mal-Operator mächtiger ist als der Geteilt-Operator. (Siehe Rollentausch!) 2

39 + - - Fachbegriffe einprägen! + : : Addition Subtraktion Summe
… damit du die Fachsprache überhaupt verstehen kannst. Lösungen zu den vier Beispielen findest du ab Folie 34. Fachbegriffe einprägen! Addition Subtraktion Summe Differenz + - - 1. Summand + 2. Summand Subtrahend Minuend = Summenwert (hier 61/10) = Differenzwert (hier -11/10) Produkt Division Produkt Quotient • : : 1. Faktor • 2. Faktor Multiplikator Dividend Divisor = Produktwert (hier 9) = Quotientwert (hier ~ 5/7) Operator Dieses Fremdwort bedeutet in der Mathematik soviel wie: ‚Mathematische Vorschrift‘ (Auftrag, Befehl). Im Rahmen des Bruchrechnens haben wir es oft zu tun mit dem Mal-Operator z.B.: (• 3) oder dem Geteilt-Operator z.B.: (:5) 2

40 Bruchrechnen Ausprobieren! Umgang mit der Technik:
Gernot Mühlbacher Ein Tipp: Mit der rechten Maustaste erscheint ein Menu. Damit kannst du gut durch das Programm steuern! Bruchrechnen Ausprobieren! Umgang mit der Technik: Die eigentlichen Steuerungsinstrumente sind das Inhaltsverzeichnis (nächste Folie ) oder das Stichwortverzeichnis Wenn du in Zukunft sofort einsteigen willst, oder immer, wenn du das Bild weiter entwickeln willst, dann  (Links-)KLICK ! oder „esc“ Auch mit Hilfe des Maus-Rades kannst du Schritt für Schritt rückwärts (oder vorwärts) gehen. Alle 40 Folien des Lehrwerks fortlaufend zu erarbeiten, … dazu wird in der Regel die Zeit fehlen. Verschaffe dir zuerst mit Hilfe des Inhaltsverzeichnisses einen Überblick über die Angebote und nutze das Stichwortverzeichnis! Richtiger Einsatz des Lehrwerks: Über die entsprechenden Schaltflächen ( ) kannst du alle Folien ansteuern. Zuerst solltest du die vier wichtigsten Bruchrechenregeln verstehen, nicht nur auswendig lernen! Ein besonderer Ratschlag: Lies auch aufmerksam die zwei Folien „Lernen ist mehr als Verstehen!“ Und weshalb lohnt es sich? Viele Alltagsprobleme wirst du nur mit Hilfe des Bruchrechnens lösen! Brüche hat nicht der Mensch erfunden. Die Natur und der Alltag bringen sie hervor. 2 Beim Rechnen mit allgemeinen Zahlen ( Algebra) ist der sichere Umgang mit Bruchtermen sehr wichtig!

41 Kurz erklärt Kommt es zu einem Feuchte- oder Leitungswasserschaden, sind wir der ERSTE Experte am Schadenort. Wir leiten ERSTE Maßnahmen im Rahmen der Ursachenermittlung/-analyse und Schadenminderung ein. Wir treffen ERSTE Entscheidungen, wie mit der jeweiligen Situation unserer Empfehlung nach umzugehen ist und liefern unabhängig von Nachgewerken ERSTE Ergebnisse, Details zum Schadenausmaß und Einschätzungen zur weiteren Vorgehensweise. Auszüge aus START vor

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