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Simulation von Zufallsexperimenten

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Präsentation zum Thema: "Simulation von Zufallsexperimenten"—  Präsentation transkript:

1 Simulation von Zufallsexperimenten

2 Sitzungsablauf Didaktik III- Der grafikfähige Taschenrechner im Mathematikunterricht SS 2011 Frau Scherer Erläuterung anhand eines Beispiels:  Zufallsexperiment  Relative Häufigkeit  Absolute Häufigkeit Empirisches Gesetz der großen Zahlen Simulation Aufgaben in Gruppenarbeit Besprechung der Aufgaben Zuordnung der Lernziele und Kompetenzen Rolle des GTR im Mathematikunterricht Weiterführende Beispiele Referentin: Ina Förster

3 Erläuterung anhand eines Beispiels Eine Münze wird viermal geworfen und es wird dabei festgestellt, ob Kopf oder Zahl oben liegen. 2-mal liegt im Zufallsexperiment Zahl oben. Bilquelle: Neue Wege 10, Kap.7 Quelle: Olmscheid, Werner: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Aufgaben. Softfrutti.1993.

4 Zufallsexperiment Experiment: Unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbarer Vorgang Ergebnis eindeutig feststellbar einmalige Durchführung = Versuch Zufallsexperiment: Alle möglichen Ergebnisse sind bekannt, jedoch nicht das Ergebnis, das bei der Durchführung tatsächlich eintreten wird Quelle: Olmscheid, Werner: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Skript. Softfrutti.1993.

5 Merkmale eines Zufallsexperimentes Kann verschiedene Ergebnisse haben Kopf = 0 Zahl = 1 Ergebnis (mind. zwei Möglichkeiten) kann nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden, hängt vom Zufall ab Ergebnismenge: Ω= {0,1} Quelle: Olmscheid, Werner: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Skript. Softfrutti.1993.

6 Absolute Häufigkeit Anzahl der Versuche, bei denen ein bestimmtes Ergebnis eintritt. „2-mal liegt beim Zufallsexperiment Zahl oben“ Dann ist die Zahl 2 die absolute Häufigkeit.

7 Relative Häufigkeit Genauer: Tritt das Ergebnis A in einer Serie von n Versuchen z-mal ein, so heißt die Zahl h(A)= z/n relative Häufigkeit von A in dieser Serie Relative Häufigkeit h(A)= (absolute Häufigkeit von A) / (Gesamtzahl der Versuche) 2/4, also 1/2 ist die relative Häufigkeit Quelle: Olmscheid, Werner: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Skript. Softfrutti.1993.

8 Annäherung bei einer langen Versuchsreihe an einen festen Zahlenwert = Empirisches Gesetz der großen Zahlen

9 Empirisches Gesetz der großen Zahlen Bei großer Anzahl von Wiederholungen unter gleichen Bedingungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit um einen festen Zahlenwert, dem Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit Fällt eine Münze mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf Kopf und Zahl? Quelle: Olmscheid, Werner: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Skript. Softfrutti.1993.

10 Kopf := 0 Zahl := 1 Die relative Häufigkeit, dass bei einem Münzwurf Kopf fällt beträgt bei 100 Versuchen hier 48%. d.h. bei großer Anzahl von Wiederholungen unter gleichen Bedingungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit um einen festen Zahlenwert, h(A) = ½

11 Simulation Verfahren, um eine Situation mit Hilfe geeigneter isomorpher Zufallsgeneratoren (Münze, Würfel, Urne, Glücksrad, Zufallszahlentabellen) nachzuspielen, um so ein geeignetes Modell für die Situation zu erhalten, das zur Analyse und Prognose eingesetzt werden kann Quelle: Didaktik II - Daten und Zufall, SS 2010, Prof. Dr. Anselm Lambert

12 Simulationsplan: Was soll simuliert werden? Modellierung Wahl des Zufallsgerätes und des Zufallsversuches Festlegung der Zufallsgröße X, ihrer möglichen Werte und des Ergebnisses A n-malige Wiederholung des Versuches und Protokollierung, welchen Wert die Zufallsgröße X jeweils annimmt Auswertung: Ermittlung der relativen Häufigkeit h(A) Quelle: Lergenmüller, Arno; Schmidt, Günter: Neue Wege 7 - Badenwürttemberg. Schrödel Kap.7

13 Beispiel Simulation des Korbwurfes eines Basketballspielers Modellierung: ein Anfänger trifft erfahrungsgemäß mit 50%- iger Wahrscheinlichkeit den Korb Zufallsgerät: Münze Zufallsgröße X: Kopf oder Zahl Mögliche Ergebnisse: 0 oder 1 Ergebnis: Zahl fällt Anzahl der Wiederholungen: z.B. 100 Ergebnistabelle Bei n-maliger Wiederholung: h(A)= 1/2

14 Nutzen der Simulation fördert Modellbildungsfähigkeiten stützt den Erwerb stochastischen Denkens, insbesondere der unverzichtbaren sekundären Intuitionen löst Probleme, für die nur unzureichende mathematische Werkzeuge vorhanden sind Quelle: Didaktik II– Daten und Zufall, SS 2010, Prof. Dr. Anselm Lambert

15 Simulation des Treffens des Korbes eines Basketballspielers mit Hilfe des GTR Ein Basketballspieler trifft mit einer 50%-igen Wahrscheinlichkeit den Korb. Wie oft trifft er wohl bei 200 Versuchen? Mit Hilfe des GTR Simulation durch Werfen einer Münze. „0“ = nicht getroffen/ Kopf „1“ = getroffen/ Zahl

16 Spalte A und B: Um Zufallszahlen zu erzeugen, drücke nun edit (über w ) u um nach rechts zu Fill zu gelangen und drücke Fill über q Trage bei Formula zuerst das Zeichen = ein über L., drücke L 4, gehe zu RanInt# und drücke l Trage in die Klammern 0,1) ein und drücke l Trage nun bei CellRange A1:B100 ein und drücke zweimal l Nun wird in Spalte Zufallszahlen produziert und wir müssen nur noch ausrechnen, wie oft die 1 vorkommt. Spalte C: Drücke wieder edit über w, dann fill über u und füge das = bei Formula ein Jetzt drücke Cell über r und anschließend Sum über y Trage nun A1:B100(Doppelpunkt über exit w ) in die Klammer ein und bei CellRange C1:C1 Drücke 2mal l und so erhältst du die Zahl, wie oft die 1 vorkommt. z.B. er trifft 98-mal => 49% Trefferquote (tendiert gegen 50%)

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18 Es sollte jedoch besonders anfangs beim Einstieg in die Simulation von Zufallsexperimenten auf die händische Simulation nicht verzichtet werden.

19 Gruppenarbeit Zeit: 1 h Präsentation des Ergebnisses in der Gruppe Zuordnung der Lernziele und Kompetenzen

20 1. Aufgabe: Der „Pasch“ Zwei Glücksräder, die 10 gleich große Felder haben, die von 0 bis 9 nummeriert sind, werden unabhängig voneinander gedreht. Schätze durch Simulation, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass beide dieselbe Zahl zeigen. Erstelle mit Hilfe des GTR einen Simulationsplan für 200 Wiederholungen. Wie könnte man schnell viele Ergebnisse erhalten? Bildquelle: Neue Wege 10, Kap.7 Quelle: Lergenmüller, Arno; Schmidt, Günter: Neue Wege 7 - Badenwürttemberg. Schrödel Kap.7 (Check-up, Aufg. 4).

21 Lösung zu Beispiel 2: Simulationsplan: Simulation zweier Glücksräder mit jeweils gleichgroßen Feldern 0,…,9 Modellierung: Wahrscheinlichkeit für jede Zahl eines Glücksrades: 1/10 Zufallsgerät: Zufallszahlen von 0,..,9, erzeugt mit GTR oder Tabellenkalkulation Paar (Zahl 1|Zahl 2) Ergebnis E: Zahl 1 = Zahl 2 Anzahl der Wiederholungen: n=200 Die Simulation wird n-mal durchgeführt Ermittlung der relativen Häufigkeit h(E) Jede Klasse führt z.B. 20 Simulationen durch, die dann zusammengeführt werden.

22 a)Spalte A und B (zwei Glücksräder): Um Zufallszahlen zu erzeugen, drücke nun edit (über w ) u um nach rechts zu Fill zu gelangen und drücke Fill über q Trage bei Formula zuerst das Zeichen = ein über L., drücke L 4, gehe zu RanInt# und drücke l Trage in die Klammern 0,9) ein und drücke l Trage nun bei CellRange A1:B200 ein und drücke zweimal l Nun werden dir in Spalte A und B Zufallszahlen produziert

23 Spalte C: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cellif über e Trage in die Klammer A1=B1,1,0) ein, bestätige mit l Trage bei Cellrange C1:200 ein und drücke zweimal l Spalte D: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cell über r Drücke sum über y und trage in die Klammer C1:C200 ) ein, bestätige mit l Trage bei Cellrange D1:D1 ein und drücke zweimal l Die relative Häufigkeit, dass beide dieselbe Zahl zeigen beträgt hier 9,5%.

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25 2. Aufgabe: Das Glückslos Bei einem Fest wurden die Lose mit den Nummern 000 bis 999 verkauft. Auf der Bühne werden drei Glücksräder gedreht, um den Hauptgewinn zu ermitteln. Der Hauptgewinn fällt auf das Los mit der vom Glücksrad „gezogenen“ Nummer. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt das Los Nummer 345? b) Alle Lose, deren Endziffer mit der Endziffer der gezogenen Zahl übereinstimmen, erhalten einen Gutschein für eine Fahrt mit der Achterbahn. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Inga eine Freifahrt, wenn sie nur ein Los kauft? Quelle:Lergenmüller, Arno; Schmidt, Günter: Neue Wege 7 - Badenwürttemberg. Schrödel S. 226, Kap. 7.

26 Lösung zu Beispiel 1: a)Spalte A bis C (drei Glücksräder): Um Zufallszahlen zu erzeugen, drücke nun edit (über w ) u um nach rechts zu Fill zu gelangen und drücke Fill über q Trage bei Formula zuerst das Zeichen = ein über L., drücke L 4, gehe zu RanInt# und drücke l Trage in die Klammern 0,9) ein und drücke l Trage nun bei CellRange A1:C100 ein und drücke zweimal l Nun werden dir in Spalte A bis C Zufallszahlen produziert

27 Spalte D: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cellif über e Trage in die Klammer A1=3 And B1 =4 And C1=5,1,0) ein, bestätige mit l Trage bei Cellrange D1:D100 ein und drücke zweimal l Spalte E: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cell über r Drücke sum über y und trage in die Klammer D1:D100 ) ein, bestätige mit l Trage bei Cellrange E1:E1 ein und drücke zweimal l Die relative Häufigkeit, dass das Los Nummer 345 gewinnt beträgt hier 0%. (1/1000)

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29 b) Spalte A bis C: siehe a) Spalte D: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cellif über e Trage in die Klammer C1=5,1,0) ein, bestätige mit l Trage bei Cellrange D1:D100 ein und drücke zweimal l Spalte E: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cell über r Drücke sum über y und trage in die Klammer D1:D100 ) ein, bestätige mit l Trage bei Cellrange E1:E1 ein und drücke zweimal l Die relative Häufigkeit, dass Inga mit ihrem Los die richtige Endziffer 5 trifft beträgt hier im Zufallsexperiment 8%.

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31 3. Aufgabe: Simulation eines Tennisspiels Angenommen Daniel gewinnt gegen Hendrik einen Satz mit der Wahrscheinlichkeit von 60%. Der Sieger des Tennismatches ist derjenige, der zuerst 2 Sätze gewonnen hat. a) Hat Hendrik überhaupt eine Chance, das Match in 2 Sätzen zu gewinnen? Begründe. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Hendrik direkt in 2 Sätzen ein Match? c) Simuliert mindestens 100 Tennismatches. Wie häufig hat Hendrik dabei direkt in 2 Sätzen gewonnen? Wie viel Prozent der simulierten Spiele sind das? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Hendrik, wenn maximal drei Sätze gespielt werden? (zwei Gewinnsätze entscheiden) Überlege welches Zufallsexperiment du zum Modellieren wählen würdest. Bildquelle: Neue Wege 10, Kap.7 Vgl. Quelle: Lergenmüller, Arno; Schmidt, Günter: Neue Wege 7 – Badenwürttemberg. Schrödel S. 225, Kap.7 (abgeändert)

32 Lösung zu Aufgabe1: a) Hendrik kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% einen Satz gewinnen, dann kann er grundsätzlich auch 2 Sätze hintereinander gewinnen. b) 0,4*0,4 = 0,16 => Hendrik hat eine Wahrscheinlichkeit von 16% direkt in 2 Sätzen ein Match zu gewinnen. c) Modellannahme: Hendrik gewinnt einen Satz stets mit einer Wahrscheinlichkeit von 40%. Durchführung der Simulation: Man dreht das Glücksrad 0-9: Erhält man die Ergebnisse 0,1,2 oder 3 dann hat Hendrik den Satz gewonnen, sonst Daniel. Spiele solange bis einer der beiden zwei Sätze gewonnen hat. Mögliche Ergebnisse: 5,9 bedeutet => „2:0“ für Daniel 7,3 bedeutet => „1:1“

33 Hendrik gewinnt := 1 Daniel gewinnt := 0 Spalte A und B (2 Sätze): Um Zufallszahlen zu erzeugen, drücke nun edit (über w ) u um nach rechts zu Fill zu gelangen und drücke Fill über q Trage bei Formula zuerst das Zeichen = ein über L., drücke L 4, gehe zu RanInt# und drücke l Trage in die Klammern 0,9) ein und drücke l Trage nun bei CellRange A1:B100 ein und drücke zweimal l Nun werden dir in Spalte A und B Zufallszahlen produziert Spalte C: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cellif über e Trage in die Klammer A1≤3,1,0) ein, bestätige mit l („≤“ durch Relatnl über y u ) Trage bei Cellrange C1:C100 ein und drücke zweimal l

34 Spalte D: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cellif über e Trage in die Klammer B1≤3,1,0) ein, bestätige mit l Trage bei Cellrange D1:D100 ein und drücke zweimal l Spalte E: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cellif über e Trage in die Klammer C1=1 und D1=1, 1,0) („und“ über i u y q ) Trage bei Cellrange E1:E100 ein, und drücke zweimal l Spalte F: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cell über r Drücke sum über y und trage in die Klammer E1:E100 ) ein, bestätige mit l Trage bei Cellrange F1:F1 ein und drücke zweimal l Hendrik gewinnt also 17 von 100 Tennisspielen in zwei Sätzen, d.h. er hat 17% der simulierten Spiele gewonnen.

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36 d) Spalte A, B und C (3 Sätze): Um Zufallszahlen zu erzeugen, drücke nun edit (über w ) u um nach rechts zu Fill zu gelangen und drücke Fill über q Trage bei Formula zuerst das Zeichen = ein über L., drücke L 4, gehe zu RanInt# und drücke l Trage in die Klammern 0,9) ein und drücke l Trage nun bei CellRange A1:C50 ein und drücke zweimal l Nun werden dir in Spalte A und B Zufallszahlen produziert Spalte D: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cellif über e Trage in die Klammer A1≤3,1,0) ein, bestätige mit l („≤“ durch Relatnl über y u ) Trage bei Cellrange C1:C100 ein und drücke zweimal l

37 Spalte E: äquivalent mit B1≤3,1,0 Spalte F: äquivalent mit C1≤3,1,0 Spalte G: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cellif über e: drücke Cell über r, dann sum über y und trage in die Klammer D1:F1 ≥ 2,1,0)) ein, bestätige mit l Trage bei Cellrange G1:G50 ein, und drücke zweimal l Spalte H: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cell über r Drücke sum über y und trage in die Klammer G1:G50 ) ein, bestätige mit l Trage bei Cellrange H1:H1 ein und drücke zweimal l Drücke File über q, dann Recalcs über r um die Simulation zu wiederholen. Auf diese Weise kann man beispielsweise 1000 Wiederholungen simulieren. Hendrik gewinnt also 13 von 50 Tennisspielen, wenn maximal drei Sätze gespielt werden, d.h. er hat 26% der simulierten Spiele gewonnen.

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39 4. Aufgabe: Der Schnellimbiss Eine Schnellimbisskette verschenkt mit jedem Essen einen von 4 verschiedenen Schlüsselanhängern. Die Gäste können jeweils den Anhänger wählen. Angenommen die Gäste wählen jedes der Geschenke mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Finde mithilfe einer Simulation heraus, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass nach 4 Essen jeder der 4 Anhängertypen genau einmal verschenkt wurde. TIPP: Man kann die Simulation auch mithilfe einer Urne und 4 Kugeln durchführen. Bildquelle: Neue Wege 10, Kap.7 Vgl. Quelle: Lergenmüller, Arno; Schmidt, Günter: Neue Wege 7 – Badenwürttemberg. Schrödel S. 226, Kap.7 (abgeändert)

40 Modellannahme: Jeder der 4 Schlüsselanhänger wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit von den Gästen gewählt. Durchführung der Simulation: Man zieht 4-mal aus einer Urne mit 4 Kugeln Mögliches Ergebnis: 1,1,2,4 Wunschergebnis: 1,2,3,4

41 Lösung zu Aufgabe 2: Spalte A bis D (4 Essen): Um Zufallszahlen zu erzeugen, drücke nun edit (über w ) u um nach rechts zu Fill zu gelangen und drücke Fill über q Trage bei Formula zuerst das Zeichen = ein über L., drücke L 4, gehe zu RanInt# und drücke l Trage in die Klammern 1,4) ein und drücke l Trage nun bei CellRange A1:D20 ein und drücke zweimal l Nun werden dir in Spalte A bis D Zufallszahlen produziert.

42 Spalte E: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cellif über e Trage in die Klammer A1=B1 OR A1=C1 OR A1=D1,0,1) ein, bestätige mit l Trage bei Cellrange E1:E20 ein und drücke zweimal l Spalte F: Äquivalent mit B1 Spalte G: Äquivalent mit C1 Spalte H: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cellif über e: drücke Cell über r, dann sum über y und trage in die Klammer E1:G1 = 3,1,0)) ein, bestätige mit l Trage bei Cellrange H1:H20 ein, und drücke zweimal l Spalte I: Drücke Fill über q, bei Formula L. und gehe zu Cell über r Drücke sum über y und trage in die Klammer H1:H20 ) ein, bestätige mit l Trage bei Cellrange I1:I1 ein und drücke zweimal l Drücke File über q, dann Recalcs über r um die Simulation zu wiederholen. Die relative Häufigkeit, dass nach 4 Essen jeder der 4 Anhängertypen genau einmal verschenkt wurde beträgt hier 9,4%.

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44 Lernziele Die Student(inn)en: können mit dem GTR umgehen, insbesondere in Bezug auf das Simulieren von Zufallsexperimenten wissen um den richtigen Einsatz der dazu benötigten Befehle können Vorgehensweisen anderer nachvollziehen, überprüfen und erläutern können den Aufgaben mathematische Kompetenzen zuordnen planen statistischer Erhebungen können Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen beschreiben

45 reflektieren über die neuen Möglichkeiten, die ein Einsatz der Neuen Medien, z.B. Taschencomputer im Unterricht mit sich bringt; über eine neue Aufgabenkultur, über die Grenzen, die selbst solch ein modernes Werkzeug aufweist – sogar prinzipiell aufweisen muss! sind in der Lage formale Techniken per GTR durchzuführen Wissen um die sinnvolle Verwendung dieser Neuen Medien im Unterricht Wissen um die medienpädagogischen Aspekte Quelle: Hirsch & Lambert (Hrsg.): Virtuelles Praktikum Taschencomputer:

46 Rolle des GTR im Mathematikunterricht Medium zur Darstellung, Demonstration und Veranschaulichung mathematischer Phänomene wie Graphen, Tabellen,… Werkzeug zur Einübung gewisser Techniken und Fertigkeiten, zur Unterstützung des Verständnisses mathematischer Verfahren und Begriffe und zur Verringerung des Rechenaufwandes bei Beispielen Quelle: Scherer, Pia: Einführung in die Integralrechnung im LK Mathematikunterricht unter Verwendung eines CAS-Rechners. Pädagogische Arbeit für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen im Fach Mathematik

47 Entdecker, als Hilfe beim Entdecken und Überprüfen von Hypothesen Unterrichtsinhalt, als Gegenstand des Unterrichts, z.B. bei der Untersuchung von Phänomenen: Wie geht der GTR vor, um Zufallszahlen entstehen zu lassen? Quelle: Scherer, Pia: Einführung in die Integralrechnung im LK Mathematikunterricht unter Verwendung eines CAS-Rechners. Pädagogische Arbeit für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen im Fach Mathematik

48 Mathematische Kompetenzen Mathematisch argumentieren Mathematisch modellieren Probleme mathematisch lösen Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Kommunizieren

49 Mathematisch argumentieren: Lösungswege werden beschrieben/begründet Mathematisch modellieren: Aufgaben werden in die Mathematik übersetzt Mathematische Modelle werden konstruiert Ergebnisse werden zurück in die Wirklichkeit übersetzt

50 Probleme mathematisch lösen: Aufgaben/Probleme werden mit dem GTR bearbeitet/gelöst Strategien werden eingesetzt Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen: GTR wird benutzt Tabellen werden verwendet Es wird zwischen natürlicher und symbolischer Sprache gewechselt Kommunizieren: Lösungswege werden dokumentiert und präsentiert Vorgehensweisen anderer werden nachvollzogen/überprüft und erläutert

51 Weiterführendes Beispiel Finde mit Hilfe des GTR durch Simulation heraus, wie lange man beim Würfeln im Mittel auf die erste „Sechs“ warten muss. Erstelle einen Simulationsplan. Verwende für die Simulation Zufallszahlen, die du mit dem GTR erzeugen kannst. Bildquelle: Neue Wege 10, Kap.7 Quelle: Lergenmüller, Arno; Schmidt, Günter: Neue Wege 7 - Badenwürttemberg. Schrödel Kap.7(Check-up, Aufg. 3).

52 Lösung zu Aufgabe 3: Simulationsplan: Simulation für die Wartezeit auf das Ergebnis „6“ beim Würfeln Modellierung: Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer „6“: 1/6 Zufallsgerät: Zufallszahlen von 1 bis 6, erzeugt mit GTR X: Anzahl der Würfe bis zum Erscheinen der „6“ Ergebnis E: die „6“ taucht in der Würfelserie zum ersten Mal auf Mögliche Werte: 1,2,3.. Anzahl der Wiederholungen: z.B. 100 Die Simulation der Würfelserien wird n-mal durchgeführt und protokolliert Ermittlung der relativen Häufigkeit h(E) (Hinweis: die theoretisch zu erwartende Anzahl beträgt 6)

53 Danke für Eure Aufmerksamkeit!!!

54 Literaturverzeichnis Gebauer, Torsten: Einführende Tipps in die Arbeit mit dem Casio FX-9860GII. Cornelsen S Hirsch & Lambert (Hrsg.): Virtuelles Praktikum Taschencomputer: Aufgabe zu „Empirisches Gesetz der großen Zahlen“: Rechnung/W6.html Prof. Dr. Lambert, Anselm: Didaktik II– Daten und Zufall, SS Scherer, Pia: Einführung in die Integralrechnung im LK Mathematikunterricht unter Verwendung eines CAS-Rechners. Pädagogische Arbeit für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen im Fach Mathematik Lergenmüller, Arno; Schmidt, Günter: Neue Wege 7 - Badenwürttemberg. Schrödel Kap.7 Lergenmüller, Arno; Schmidt, Günter: Neue Wege 10 - Rheinland-Pfalz Kap. 7 Olmscheid, Werner: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Skript. Softfrutti.1993.


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