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Lateinquadrate. Nur eine Standardanordnung für k=3 ABC BCA CAB ACBBCACABCBABAC ABC CAB BCA ACBBCACABCBABAC (Anzahl der Quadrate mit Standardanordnung)

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Präsentation zum Thema: "Lateinquadrate. Nur eine Standardanordnung für k=3 ABC BCA CAB ACBBCACABCBABAC ABC CAB BCA ACBBCACABCBABAC (Anzahl der Quadrate mit Standardanordnung)"—  Präsentation transkript:

1 Lateinquadrate

2 Nur eine Standardanordnung für k=3 ABC BCA CAB ACBBCACABCBABAC ABC CAB BCA ACBBCACABCBABAC (Anzahl der Quadrate mit Standardanordnung) x k! x (k-1)! = 12

3 Lateinquadrate Standardanordnung, k=4 ABCD BADC CDBA DCAB ABCD BCDA CDAB DABC ABCD BDAC CADB DCBA ABCD BADC CDAB DCBA Jedes dieser Quadrate führt bei Festhalten der ersten Zeile auf 6 mögliche Permutationen der Zeilen Zusammen mit den 24 Permutationen der ersten Zeile ergibt dies 144 mögliche Quadrate. Insgesamt : 4x24x6 = 576 Quadrate

4 Orthogonale Lateinquadrate k=3 ABC BCA CAB ABC CAB BCA Legt man die Quadrate übereinander, so taucht jede Kombination von Behandlungen gleich oft auf, z.B. hier AA, AB, BA, AC, CA … je einmal. Wenn k eine Primzahl oder eine Potenz einer Primzahl ist lassen sich orthogonale Lateinquadrate konstruieren.

5 Konstruktion orthogonaler Lateinquadrate k=5 ABCDE BCDEA CDEAB DEABC EABCD ABCDE CDEAB EABCD BCDEA DEABC

6 Konstruktion, k=5 ABCDE DEABC BCDEA EABCD CDEAB ABCDE EABCD DEABC CDEAB BCDEA Bei Übereinanderlegen von zwei Quadraten kommt in den k 2 Feldern jeweils ein Paar AA, BB, CC, DD, EE, sowie jeweils eines der k(k-1) Paare AB, BA, AC, CA, … vor. Die Konstruktion funktioniert für jede mögliche erste Zeile.

7 Williams-Quadrate ABCD CADB DCBA BDAC k=4 In den Zeilen folgt jede Behandlung unmittelbar auf jede andere genau einmal, AB, BA, AC, CA, …. Ausgewogenheit bezüglich einfacher Nachwirkungseffekte

8 Williams-Quadrate, k gerade Erste Zeile i 1 (1), …, i k (1) Permutation von 0, …, k-1 Z.B.: 0, 1, k-1, 2, k-2, 3, k-3, …, k/2 k=6: 0, 1, 5, 2, 4, Bedingung: (i j (1) -i j-1 (1) )|mod k, j=2,…,k: Permutation von 1, …, k-1 Algorithmus zur Konstruktion: i j (r+1) =i j (r) +1|mod k

9 Williams-Quadrate (Einschub) Erste Zeile nicht eindeutig i j (1) → „Prime to k“ x i j (1) |mod k z.B. k=6: Multiplizieren mit 2 0, 1, 5, 2, 4, 3 0, 2, 4, 4, 2, 0 auch nicht mit 3! mit 5 0, 5, 1, 4, 2, 3 Andere Anfangszeile 0, 2, 1, 4, 5, 3

10 Konstruktion eines Williams-Quadrats k=6 0A0A 1B1B 5F5F 2C2C 4E4E 3D3D |mod

11 Williams-Quadrate, k ungerade Zwei Quadrate zu Block zusammenfassen Z.B.: k= Allgemein: Quadrat 1, 1.Z.: 0,1,k-1,2,k-2,…,(k-1)/2,(k+1)/2 Quadrat 2, 1.Z.: (k+1)/2,(k-1)/2,…,k-2,2,k-1,1,0 Algorithmus: i j (r+1) =i j (r) +1|mod k

12 Modell für ein LQ Y ijk = μ + ρ i + π j + τ k + ε ijk “Row”: Proband “Column”: Periode Behandlung Zufallsfehler

13 Ausgewogene unvollständige Blöcke t Behandlungen b Blöcke (z.B. Patienten) k (

14 Ausgewogene unvollständige Blöcke AB BA AC CA BC CB Blöcke (Patienten) t=3 b=6 k=2 r=4 λ=2 N=12

15 Modell Y ij = μ + τ i + β j + ε ij Messung, wenn im Block j die Behandlung i angewandt wurde Behandlung Block (Proband) Zufallsfehler

16 Blöcke mit Behandlungswiederholungen (individuelle Bioäquivalenz) RTRT TRTR TRTR RTRT Abschätzung der Variabilität innerhalb der Blöcke zwischen verschiedenen Anwendungen der gleichen Behandlung oder bei Wechsel der Behandlungen. Behandlungen R :Referenz T: Test Blöcke z.B. Probanden

17 Modell Enthält Variabilität innerhalb der Probanden getrennt nach Behandlung Varianzkomponente für die Wechselwirkung Proband x Behandlung (Variabilität durch Wechseln der Behandlungen, “Switchability”)

18 Die Analyse von Fall-Kontroll-Studien s “Fälle” mit der Erkrankung K r x s (r≥1) gematchte Kontrollen ohne Erkrankung X: Einflussvariablen, einschließlich der Exposition

19 Fall-Kontroll-Studie (Forts.) Z: Indikatorvariable ob Person in Fall-Kontroll-Studie π 1 = P(Z=1|K=1,X) π 0 = P(Z=1|K=0,X)

20 Fall-Kontroll-Studie (Forts.) exp [α * ]

21 Fall-Kontroll-Studie (Forts.)

22 Fall-Kontroll-Studie Bedingte logistische Regression k-tes “Stratum” mit Fällen und Kontrollen, k=1,…,s Wahrscheinlichkeit, dass gerade die n k beobachtenen Fälle im Stratum auftreten, bedingt dass irgend welche n k aus dem Stratum Fälle sind

23 Bedingte logistische Regression Nur Exposition (ja/nein), keine weiteren Kovariablen L cond =


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