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School of Engineering Kapitel 3: Fouriertransformation SiSy, Rumc, 3-1 Deterministisches Signale periodische Signale wichtige Hilfs- und Testsignale, Leistungssignale.

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1 School of Engineering Kapitel 3: Fouriertransformation SiSy, Rumc, 3-1 Deterministisches Signale periodische Signale wichtige Hilfs- und Testsignale, Leistungssignale Fourierreihe FR => Linienspektrum nicht-periodische Signale transiente Signale, Burst-Signale, Pulse, …, Energiesignale Fouriertransformation FT => kontinuierliches Amplitudendichtespektrum => vor allem die Eigenschaften der FT sind sehr wichtig !

2 School of Engineering Periodische Signale können als Fourierreihe dargestellt werden Linienspektrum mit Linienabstand f 0 = 1/T 0 Nicht-Periodische Signale haben KEINE Fourierreihendarstellung Lösungsansatz: s(t) periodisch fortsetzen und Periode T 0 -> ∞ Beobachtung: c k -Spektrallinien rücken näher zusammen (Linienabstand f 0 = 1/T 0 ) c k -Spektrallinien werden immer kleiner und streben gegen Null Spektrale Dichte hingegen existiert: t T0T0 -T 0 s(t) τ Herleitung Fouriertransformation FT SiSy, Rumc, 3-2

3 School of Engineering Beispiel: Herleitung FT des Rechteckpuls SiSy, Rumc, 3-3 Periodische Fortsetzung Rechteckpuls t T0T0 s(t) 1 -τ/2 -T 0 τ/2 Integrationsbereich von -T 0 /2 bis T 0 /2 sinc-förmige c k -Spektrallinien check DC-Wert c 0 = τ /T 0

4 School of Engineering Zeitbereich spektrale Dichte existiert t T0T0 s(t) 1 τ fix -T 0 DC-Wert geht gegen Null (andere c k -Werte auch) Beispiel: Herleitung FT des Rechteckpuls SiSy, Rumc, 3-4 Frequenzbereich

5 School of Engineering Nullstellen bei Vielfachen von 1/ τ = 4 Hz Abstand f 0 = 1 Hz Beispiel: Herleitung FT des Rechteckpuls SiSy, Rumc, 3-5

6 School of Engineering Nullstellen bei Vielfachen von 1/ τ = 4 Hz Abstand f 0 = 0.5 Hz Beispiel: Herleitung FT des Rechteckpuls SiSy, Rumc, 3-6

7 School of Engineering Fourier- (Rück-) Transformation Grenzübergang T 0 ->∞ Amplitudendichtespektrum S(f) [V/Hz] wobei f = k·f 0 = k/T und für später: Die Fourier-Transformation FT kann auch aus der Laplace-Transformation hergeleitet werden, indem man s = jω setzt. Definition der Fouriertransformation (FT) SiSy, Rumc, 3-7 0

8 School of Engineering Vergleich FT mit FR SiSy, Rumc, 3-8 Ein periodisches Signal s(t) besteht aus einer Summe von Harmonischen => Linienspektrum ●kompl. Fourierreihe (FR): ●c k -Koeffizient enthält Amplitude und Phase der k-ten Harmonischen Ein nicht-periodisches Signal s(t) besteht aus einer "Summe" (Integral) von "allen" Frequenzkomponenten => Dichtespektrum ●(inverse) Fouriertransformation (FT): ●S(f)-Koeffizient enthält Amplitude und Phase der Frequenzkomponente f

9 School of Engineering Fouriertransformation Rechteckpuls SiSy, Rumc, 3-9 Rechteckpuls s(t) der Dauer τ (Dichte-) Spektrum bzw. Fouriertransformierte S(f) sinc-förmig!

10 School of Engineering Fouriertransformation Rechteckpuls SiSy, Rumc, 3-10 Der Rechteck-Puls hat ein sinc-förmiges Spektrum! Pulsdauer τ Bandbreite B = 1/ τ - 4 dB - 14 dB Pulsdauer τ mal Bandbreite B ≈ 1 Nullstellen bei Vielfachen von 1/ τ

11 School of Engineering x(t) = a·s 1 (t) + b·s 2 (t) ○-● X(f) = a·S 1 (f) + b·S 2 (f) Eigenschaften der FT: Linearität SiSy, Rumc, 3-11 Beispiel ○-● s 1 (t) = 1 s 2 (t) = cos(2π·f 0 t) x(t) = 1 + cos(2π·f 0 t) X(f) f f0f0 -f 0 1 1/2 Linearkombination der Zeitsignale Linearkombination der Spektren

12 School of Engineering Eigenschaften der FT: Zeitverschiebung SiSy, Rumc, 3-12 x(t) = s(t-t 0 ) ○-● X(f) = S(f) · e -j2πf·t o gleiche Betragsspektren Darstellung in Polarform Beweis Substitution t’ = t - t 0 Phasendrehung ! Zeitverschiebung => Phasendrehung

13 School of Engineering Beispiel Zeitverschiebung SiSy, Rumc, 3-13 τ = 1/(2π) ms = ms t 0 = 0.5 ms τ f 0 = 1/(2π·τ) = 1 kHz: f 0 = 1 kHz: Einseitige Exponentialfunktion Fourier-Spektrum Fourier-Spektrum zeitverschobenes Signal

14 School of Engineering x(t) = s(a·t) ○-● X(f) = (1/IaI)·S(f/a) Fall a>1: Verkürzung Signal s(t) breiteres Spektrum S(f) Fall a schmaleres Spektrum S(f) Je „kürzer“ ein Puls-Signal ist, desto „grösser“ ist die Bandbreite des Spektrums. Umgekehrt haben „lang“ dauernde Einzelpulse schmale Spektren. Bandbreite und Dauer eines Pulssignals können also nicht unabhängig von einander gewählt werden. Das Zeit-Bandbreite-Produkt ist eine Konstante. Beweis: Substitution t‘ = a·t Zeit-Bandbreite-Produkt Eigenschaften der FT: Zeitskalierung SiSy, Rumc, 3-14 Pulsdauer mal Bandbreite τ ·B ≈ 1

15 School of Engineering kostengünstiges Oszilloskop Tektronix TDS3012B 100 MHz / 1.25 GSps 3 dB-Bandbreite = 100 MHz Pulse mit ca. 10 ns Dauer noch "sichtbar" Le Croy WaveRunner 640 Zi 4 GHz / 40 GSps 3 dB-Bandbreite ≈ 4 GHz Pulse mit ca ns noch "sichtbar" Anwendung "Zeit – Bandbreite – Produkt" SiSy, Rumc, 3-15

16 School of Engineering Beispiel Zeitskalierung SiSy, Rumc, 3-16 Rechteckpulse mit Dauer τ 0 und τ 0 /2 sowie zugehörige Spektren Zeit-Bandbreite-Produkt bleibt konstant!!!

17 School of Engineering s(t) ○-● S(f) S(t) ○-● s(-f) Beispiel Rechteckförmig im Zeitbereich ○-● sinc-förmig im Frequenzbereich sinc-förmig im Zeitbereich ○-● rechteckförmig im Frequenzbereich f f g /2-f g /2 Eigenschaften der FT: Dualität und Beispiel SiSy, Rumc, 3-17 ○-●

18 School of Engineering Multiplikation mit e j2πf 0 ·t ○-● Frequenzverschiebung um +f 0 (nach rechts) duale Aussage zur Zeitverschiebung Prinzip wird in der Nachrichten- und Messtechnik oft verwendet (siehe Beispiel auf der nächsten Folie) x(t) = s(t) · e j2πf 0 ·t ○-● X(f) = S(f-f 0 ) Eigenschaften: Frequenzverschiebung SiSy, Rumc, 3-18

19 School of Engineering s(t) cos(2π·f c ·t) Hilfs-Trägersignal (engl. carrier) y(t) Nachrichtensignal s(t) = 1+0.5·cos(2π·f Ton ·t) Amplituden-Moduliertes (AM-) Signal Nachricht s(t) "steckt" in der Amplitude des Trägersignals Eigenschaften: Frequenzverschiebung SiSy, Rumc, 3-19

20 School of Engineering Beispiel Frequenzverschiebung SiSy, Rumc, 3-20 Multiplikation (Basisband)-Signal s(t) mit cos-(Träger)-Signal Y(f) = 0.5 · S(f-f 0 ) · S(f+f 0 ) Amplitudenmodulation = 0.5 · s(t) · e j2πf ·t · s(t) · e -j2πf ·t 0 0 Frequenzverschiebung (Mischung) = s(t)·cos(2πf 0 t) hochfrequentes Signal kann über Antenne abgestrahlt werden

21 School of Engineering d n /dt n s(t) ○-● (j2πf) n ·S(f) Beispiel aus der Wechselstromlehre Eigenschaften: Differentiation / Integration SiSy, Rumc, 3-21 Differentialgleichung DGL ○-● algebraische Gleichung simple Substitution von d n /dt n durch (jω) n sehr oft genügt die Lösung der DGL im Frequenzbereich i(t) L u(t) DGL u(t) = L·di(t)/dt Algebraische Gleichung U(f) = jωL·I(f) komplexer Widerstand / Impedanz Z L = U(f) / I(f) = jωL = j·2πf·L ○-●

22 School of Engineering Eigenschaften der FT: Faltung SiSy, Rumc, 3-22 Faltung ○-● X(f) · Y(f) Visualisierung der Faltung τ / s 1 1 x(τ) τ / s 1 1 y(τ) 0.5 τ / s t / s y(0.25-τ) = y(-(τ-0.25)) x(t)*y(t) τ / s 1 1 y(τ-0.25) 0.5 "Faltung" Faltung t = 0.25 Multiplikation

23 School of Engineering Faltung Rechteckpuls der Dauer τ 0 mit sich selbst Dreieckpuls sinc 2 -förmiges Spektrum ○-● Beispiel Faltung SiSy, Rumc, 3-23 siehe Demo

24 School of Engineering LTI- System x(t) = δ(t) t y(t) = h(t) t Definition der Stoss- bzw. Impulsantwort h(t) Ausblick zur Faltung SiSy, Rumc, 3-24 x(t) LTI- System Die Stossantwort h(t) beschreibt ein LTI-System vollständig Ausgangssignal = Faltung von Eingangssignal mit Stossantwort Ausgangsspektrum = Eingangsspektrum x Frequenzgang des Systems ○-● X(f) Linear, Time-Invariant H(f) = F{h(t)} Frequenzgang des LTI-Systems Y(f) = X(f)·H(f) Analyse im Frequenz- bereich genügt oft !

25 School of Engineering Spektrum S(f) eines reellwertigen Zeitsignals s(t) s(t) reell ○-● S(-f) = S*(f) s(t) reell, ungerade ○-● S(f) imaginär s(t) reell, gerade ○-● S(f) reell Eigenschaften der FT: Symmetrie SiSy, Rumc, 3-25 Beispiel Spektrum eines reellen Signals Betragsspektrum (gerade Funktion) IS(-f)I = IS(f)I Phasenspektrum (ungerade Funktion) angle{S(-f)} = -angle{S(f)} Matlab: abs(.) Matlab: angle(.) Beispiel: sin(.) Beispiel: cos(.)

26 School of Engineering Energieberechnung mit Satz von Parseval (an 1Ω) überprüfe die Dimension (IS(f)I hat Dimension V/Hz)! Signalenergie, Spektrum Dirac-Puls SiSy, Rumc, 3-26 Spektrum eines Dirac-Impulses s(t) = δ(t) ○-● S(f) = 1 s(t) = 1 ○-● S(f) = δ(f) Ein unendlich schmaler Puls hat ein flaches bzw. weisses Spektrum, in dem alle Frequenzkomponenten vorkommen. Umgekehrt hat ein DC- Signal eine sehr schmale Linie bei f = 0 im Amplitudendichte-Spektrum. t f S(f) s(t) t f S(f) s(t) DC

27 School of Engineering FT eines periodischen Signals SiSy, Rumc, 3-27 ○-● Beispiel Amplitudendichtespektrum des cos-Signals s(t) = cos(2πf 0 ·t) f (1/2) f0f0 -f 0 S(f) "Linien"-Spektrum (Dirac-Impulse statt Linien) periodisches Signal (Darstellung als Fourierreihe) Beweis: Verwende 1.Linearitätseigenschaft der FT 2.Identität c k ○-● c k ·δ(f) 3.Frequenzverschiebungseigenschaft der FT


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