Graphen Kombinatorik, Zufall, Algorithmen

Präsentation zum Thema: "Graphen Kombinatorik, Zufall, Algorithmen"—  Präsentation transkript:

1 Graphen Kombinatorik, Zufall, Algorithmen
Konstantinos Panagiotou

2 Organisatorisches Prüfung Wieviele? Mündlich oder schriftlich? Wann?

3 Probestudium

4 Tutoren gesucht! Aufwand: 1 Woche (3.9. – 7.9.) Entschädigung: Mail an
Euro 1xGrillfest 1xAusflug Mail an Mich Robert Graf

5 Topologische Voraussetzungen
Strecke: Punktemenge der Form 𝑆= 𝑝+𝜆 𝑞−𝑝 0≤𝜆≤1}, 𝑝,𝑞∈ℝ^2 𝑝,𝑞 sind die Endpunkte von 𝑆, 𝑆 verbindet 𝑝,𝑞 Polygon: Vereinigung endlich vieler Strecken, homöomorph zu Einheitskreis Polygonzug: homöomorph zu [0,1]. 𝑃 bezeichnet die inneren Punkte von 𝑃 Wir nennen zwei Punkte in 𝑂⊂ℝ^2 äquivalent, falls es einen Polygonzug in 𝑂 gibt, der sie verbindet Die Gebiete von 𝑂 sind die Äquivalenzklassen

6 Topologische Voraussetzungen (II)
Der Rand einer Menge 𝑋⊂ℝ^2 ist die Menge aller 𝑦∈ℝ^2, so dass jede Umgebung von 𝑦 sowohl 𝑋 als auch ℝ 2 ∖𝑋 trifft. Eigenschaft (folgt aus den Definitionen): Zwei Punkte auf dem Rand von 𝑓 können durch einen Polygonzug 𝑃 verbunden werden, so dass 𝑃 ∩𝑓= 𝑃 Geben Sie hier eine Formel ein.Geben Sie hier eine Formel ein.Geben Sie hier eine Formel ein.Geben Sie hier eine Formel ein.Geben Sie hier eine Formel ein.Geben Sie hier eine Formel ein. 𝑓

7 Einige Fakten Satz 7.1. (Jordanscher Kurvensatz) Ist 𝑃⊂ℝ^2 ein Polygon, so hat ℝ 2 ∖𝑃 genau zwei Gebiete; 𝑃 ist der Rand von beiden. Lemma 7.2. Seien 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 Polygonzüge mit gleichen Endpunkten und sonst disjunkt. ℝ 2 ∖( 𝑃 1 ∪ 𝑃 2 ∪ 𝑃 3 ) hat genau drei Gebiete. Ist 𝑃 ein Polygonzug mit Endpunkten in 𝑃 1 und 𝑃 3 , dessen Inneres in dem Gebiet von ℝ 2 ∖( 𝑃 1 ∪ 𝑃 3 ) liegt, das 𝑃 2 enthält, so ist 𝑃∩ 𝑃 2 ≠∅.

8 Einige Fakten (II) Lemma 7.3. Seien 𝑋 1 , 𝑋 2 disjunkte Vereinigungen von Punkten und Polygonzügen. Ist P ein Polygonzug zwischen einem Punkt in 𝑋 1 und 𝑋 2 , so dass 𝑃 in einem Gebiet 𝑂 von ℝ 2 ∖( 𝑋 1 ∪ 𝑋 2 ) liegt, so ist 𝑂∖𝑃 ein Gebiet von ℝ 2 ∖( 𝑋 1 ∪ 𝑋 2 ∪𝑃). 𝑃 𝑋 1 𝑋 2