Der Biegebalken Der Biegebalken

Präsentation zum Thema: "Der Biegebalken Der Biegebalken"—  Präsentation transkript:

1 Der Biegebalken Der Biegebalken
Der Biegebalken stellt eines der grundlegenden Konstruktionselemente der Mikrotechnik dar, z.B. als: Gelenk und Federelement in Mikroventilen, Beschleunigungssensoren, Drehratensensoren..., Kontaktzunge in Mikrorelais, Ventilklappe in Rückschlagventilen, Aktorstruktur in Piezo- und Thermobimetallwandlern, ..... Grundlegende Fragen zur konstruktiven Auslegung sind: Wie ist die Verformung abhängig von der Belastung ? Wie ist der Einfluß innerer Spannungen ? Wie verhalten sich Mehrschichtstrukturen ? © IZM München

2 Der Biegebalken Die Biegelinie des geraden Balkens Frage:
Wie ist die Verformung eines geraden Balkens bei reiner Biegebelastung ? Wir verwenden wiederum geometrische Beziehungen... Diese Beziehung gilt streng für beliebige Verformungen !

3 Der Biegebalken Die Differentialgleichung für die elastische Linie
Wir haben für beliebige Verformungen bereits eine Bezie- hung zwischen Krümmungsradius und Belastung herge- stellt. Die Frage ist nun: Wie ist für kleine Verformungen die Beziehung zwischen Durchsenkung w und Belastung ? Dies ist die Differentialgleichung der elastischen Linie des Biegebalkens für kleine Verformungen.

4 Der Biegebalken Weitere Differentialgleichungen der Biegelinie
Mit Hilfe der bekannten Zusammenhänge zwischen Moment, Querkraft und Linienlast lassen sich wei- tere Differentialgleichungen für die Biegelinie ableiten: Anmerkungen: Die letztgenannte Gleichung enthält keine Schnittgrößen, sondern nur die Flächenlast q(x). Sie erlaubt die Bestimmung der Biegelinie bei statisch unbestimmten Problemen (!). Bei nicht konstantem Querschnitt (d.h. Iy  const.) muß streng nach der Produktregel differenziert werden !

5 Der Biegebalken Randbedingungen für die Berechnung der Biegelinie
Die Berechnung der Biegelinie erfordert Randbedingungen an den Balkenenden. Man unterscheidet: geometrische Randbedingungen (d.h. Art der Einspannung) statische Randbedingungen (d.h. Art der Belastung) Einspannung Symbol geometrische Randbedingung statische Randbedingung w w‘ M Q Gelenklager = 0  0 = 0  0 Parallelführung  0 = 0  0 = 0 Einspannung = 0 = 0  0  0 freies Ende  0  0 = 0 = 0

6 Der Biegebalken Die Biegelinie bei statisch bestimmter Lagerung
Wie ist die Biegelinie eines statisch bestimmt gelagerten Balkens mit konstanter Querlast ?

7 Der Biegebalken Die Biegelinie bei statisch unbestimmter Lagerung
Wie ist die Biegelinie eines statisch unbestimmt gelagerten Balkens mit konstanter Querlast ?

8 Der Biegebalken Die Biegelinie bei Balken mit mehreren Feldern
Häufig lassen sich Belastungen (q, F, M), Schnittgrößen (Q, M), oder Verformungsgrößen (w, w‘) nicht durch eine einzige Funktion darstellen. In diesen Fällen ist abschnittsweise zu integrieren. Vorgehensweise: Balken so in Felder unterteilen, daß innerhalb eines Feldes alle o.g. Größen stetig sind, Schnittgrößen abschnittsweise bestimmen, Randbedingungen aufstellen, Übergangsbedingungen an den Bereichsgrenzen der Felder aufstellen, Differentialgleichung abschnittsweise integrieren.

9 Der Biegebalken Übergangsbedingungen der Biegelinie
Bei den gezeigten Lastwechseln gilt für die Biegelinie w(x) und ihre Ableitung w‘(x) an der Feldgrenze...

10 Der Biegebalken Ein Beispiel für die abschnittsweise Integration der Biegelinie Wir kennen bereits den Momentenverlauf am Balken mit Einzellast: Abschnittsweises Integrieren liefert für... Bereich I Bereich II

11 Der Biegebalken Ein Beispiel für die abschnittsweise Integration der Biegelinie Randbedingungen in... Bereich I Bereich II Übergangsbedingungen:

12 Der Biegebalken Föppl-Symbole bei Mehrfeldproblemen
Die abschnittsweise Definition von Belastungsgrößen bedingt einen hohen numerischen Aufwand bei der Integration der Biegelinie (Übergangsbedingungen etc.). Die sog. Föppl-Symbole ermöglichen, abschnittsweise definierte Größen in geschlossener Form darzustellen:

13 Der Biegebalken Ein Beispiel für den Einsatz von Föppl-Symbolen
Frage: Wie verläuft die Biegelinie für den dargestellten Balken mit abschnittsweise anlegender Streckenlast ? Am dargestellten, „relativ simplen“ Balken benötigt man bereits... 2 Biegelinien, abschnittsweise zu integrieren, 2 Randbedingungen für x = 0, 2 Übergangsbedingungen für x = a, d.h. die Rechnung wird zwar nicht kompliziert, aber unübersichtlich und aufwendig !

14 Der Biegebalken Ein Beispiel für den Einsatz von Föppl-Symbolen
Frage: Wie verläuft die Biegelinie für den dargestellten Balken mit abschnittsweise anlegender Streckenlast ?

15 Der Biegebalken Das Superpositionsprinzip
Die Differentialgleichung der Biegelinie ist linear, d.h. Lastfälle und deren Lösungen können generell überlagert werden. Dieser Umstand hilft bei der Lösung statisch unbestimmter Probleme. Vorgehensweise bei unbestimmten Systemen: Das unbestimmte System in statisch bestimmte Teilsysteme zerlegen, die allgemeinen Lösungen der Biegelinie für die Teilsysteme berechnen, Kompatibilitätsbedingungen für die Teilsysteme aufstellen und das Gesamtsystem lösen. Was sind Kompatibilitätsbedingungen ? Kompatibilitätsbedingungen sind wahlweise Bedingungen für... Belastungen (F, Me, q), Schnittgrößen (Mb, Q) und Durchsenkungen (w und w‘), die lokal, d.h. an bestimmten Stellen Beziehungen zwischen den einzelnen Teilsystemen herstellen.

16 Der Biegebalken Ein Beispiel für die Anwendung des Superpositionsprinzips Frage: Wie groß ist das Einspannmoment MA für den gezeigten Balken ? Das System ist einfach statisch überbestimmt, d.h. wir können das Moment bei A nicht ohne weiteres berechnen. Lösung durch Superposition: Wir zerlegen das System in zwei statisch bestimmte Teilsysteme: System 0: Kragbalken mit Linienlast System 1: Kragbalken mit Einzellast X als Ersatz für Lager B +

17 Der Biegebalken Ein Beispiel für die Anwendung des Superpositionsprinzips Die Berechnung der Biegelinien ergibt für... System 0: System 1: Kompatibilitätsbedingung: Am Lager B muß die Auslenkung des Gesamtsystems Null sein:

18 + Der Biegebalken Eine Alternativlösung für unser Problem
In der Wahl der Teilsysteme ist man bei überbestimmten Systemen prinzipiell frei, solange die Teilsysteme für sich statisch bestimmt sind. Eine Alternative wäre hier... System 0: Gelenkbalken mit Linienlast System 1: Gelenkbalken mit eingeprägtem Moment Me als Ersatz für Lager A +