Kombinatorik ist die Lehre vom Bestimmen der Anzahlen

Präsentation zum Thema: "Kombinatorik ist die Lehre vom Bestimmen der Anzahlen"—  Präsentation transkript:

1 Kombinatorik ist die Lehre vom Bestimmen der Anzahlen

2 Bsp: Beim Lotto 6 aus 49 gibt es 13983816 verschiedene Tipps.
Man benötigt Kombinatorik, um z.B. bei Laplace-Experimenten die große Anzahl von Ergebnissen zu bestimmen. Bsp: Beim Lotto 6 aus 49 gibt es verschiedene Tipps.

3 Produktregel Anzahl möglicher Menüs bestimmen
4 Burger (Hamburger, Cheeseburger, McRib, BigMäc) 3 Beilagen (Pommes, Potatos, Salat)

4 Produktregel Urnenmodell:
Urne 1: Hamburger (Kugel 1), Cheesburger (Kugel 2), McRib (Kugel 3), BigMäc (Kugel 4) Urne 2: Pommes (Kugel 1), Potatos (Kugel 2), Salat (Kugel 3)

5 Produktregel Urnenmodell LS S.186
Es gibt also 4·3 = 12 Möglichkeiten (Man multipliziert die Anzahl der Kugel aus den beiden Urnen miteinander)

6 Produktregel Zusätzliche Option:
5 Getränke (Cola, Fanta, Wasser, Apfelschorle oder Kaffee)

7 Produktregel Urne 1: Hamburger (Kugel 1), Cheesburger (Kugel 2), McRib (Kugel 3), BigMäc (Kugel 4) Urne 2: Pommes (Kugel 1), Potatos (Kugel 2), Salat (Kugel 3) Urne 3: Cola (Kugel 1), Wasser (Kugel 2), Apfelsaftschorle (Kugel 3), Fanta (Kugel 4), Kaffee (Kugel 5)

8 Es gibt 4·3·5 = 60 verschiedene Menus.
Produktregel Es gibt 4·3·5 = 60 verschiedene Menus. Anzahl der Kugeln in Urne 1 Anzahl der Kugeln in Urne 3 Anzahl der Kugeln in Urne 2

9 Produktregel Satz 1 (Produktregel)
Gegeben sind k Urnen (U1, U2, ... Uk). In U1 liegen n1 Kugeln, in U2 liegen n2 Kugeln, ... , in Uk sind nk Kugeln. Dann gibt es n1·n2·...·nk Möglichkeiten aus jeder Urne genau eine Kugel zu ziehen.

10 Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Fußball-Toto: HSV – Frankfurt :1 Bochum – Aachen 2:2 Mainz – Nürnberg 2:1 Gladbach – Bremen 1:2 1 (Heimsieg) (Unentschieden) 1 (Heimsieg) 2 (Auswärtssieg) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man durch Raten diese vier Spiele richtig tippt, also den Tipp 1012 abgibt?

11 Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Annahme (etwas realitätsfremd): Sieg, Unentschieden und Niederlage haben die gleiche Wahrscheinlichkeit (p = 1/3) Laplace-Experiment

12 Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Anzahl günstiger Ereignisse = (der Tipp 1012) LS 10 S.188

13 Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Für jedes Spiel zieht man also einer Urne mit 3 Kugeln (0,1,2). Es gibt 4 Spiele = 4 Urnen. Also gibt es nach der Produktregel 3·3·3·3 = 34 = 81 Möglichkeiten. P(1022) = 1/81 = 0,012 = 1,2%

14 Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Es ist egal, ob man aus vier gleichen Urnen je einmal zieht, oder aus einer Urne viermal zieht, wenn man die Kugel nach dem Ziehen zurücklegt.

15 Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Satz 2 (Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge) Aus einer Urne mit n Kugeln wird k-mal mit Zurücklegen gezogen. Die gezogenen Kugeln werden in der Reihenfolge des Ziehens notiert.Dann gibt es nk verschiedene Möglichkeiten.

16 Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Wie viele verschiedene 3-stellige Zahlen kann man mit den Ziffern 1, 7, 5 und 3 bilden, wenn sich die Zahlen wiederholen dürfen? Bsp.: 175, 351, 117, 571, 777

17 Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
LS 10 S.187 n = 4 (Anzahl der Kugeln in der Urne) k = 3 (dreimal Ziehen) m.Z. (mit Zurücklegen) m.B.d.R (mit Beachtung der Reihenfolge) Anzahl aller Möglichkeiten = 43 = 64

18 Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Wie viel verschiedene 4-stellige Zahlen kann man mit den Ziffern 1, 7, 5 und 3 bilden, wenn sich die Zahlen nicht wiederholen dürfen? Bsp.: 1753, 7351, 1175, 5713, 7771

19 Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
U1: enthält alle 4 Zahlen (Kugeln) n1 = 4 U2: enthält nur noch 3 Zahlen (Kugeln) n2 = 3 U3: enthält nur noch 2 Zahlen (Kugeln) n3 = 2 U4: enthält nur noch 1 Zahl (Kugel) n4 = 1

20 Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Nach der Produktregel gibt es also ·3·2·1= 24 Möglichkeiten. Fakultät: ·3·2· = 4! (gelesen: 4 Fakultät) ·4·3·2·1 = 5! (5 Fakultät) ·5·4·3·2·1 = 6! (6 Fakultät) ! = 1

21 Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Es ist egal, ob man aus vier Urnen je einmal zieht, in denen jeweils eine Kugel weniger liegt oder ob man aus einer Urne viermal zieht, wenn man die Kugel nach dem Ziehen nicht zurücklegt.

22 Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Wenn man aus einer Urne mit n Kugeln alle Kugeln ohne Zurücklegen zieht (k=n) und die Reihenfolge beachtet, dann gibt es n! Möglichkeiten.

23 Mehrfaches Ziehen aus einer Urne
Wie viel verschiedene 2-stellige Zahlen kann man mit den Ziffern 1, 7, 5 und 3 bilden, wenn sich die Zahlen nicht wiederholen dürfen? Urne 1 enthält 4 Kugeln, Urne 2 enthält 3 Kugeln, also gibt es 4·3=12 Möglichkeiten

24 Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Anzahl der Kugeln Anzahl der Ziehungen

25 Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Es ist wieder egal ob man aus 2 Urnen mit 4 bzw. 3 Kugeln einmal zieht, oder aus einer Urne mit 4 Kugeln ohne Zurücklegen zweimal zieht.

26 Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge
Satz 3 (Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge) Aus einer Urne mit n Kugeln wird k-mal ohne Zurücklegen gezogen. Die gezogenen Kugeln werden in der Reihenfolge des Ziehens notiert. Dann gibt es n!/(n-k)! verschiedene Möglichkeiten.

27 Ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge
Wie viele Möglichkeiten zum Ankreuzen der Lottozahlen gibt es beim Mini-Lotto 3 aus 7? Bsp (2, 3, 5) (1, 4, 7) (2, 6, 3) Problem: (2, 3, 5), (2, 5, 3), (3, 5, 2) (3, 2, 5), (5, 2, 3), (5, 3, 2) sind die gleichen Tipps. D.h. man beachtet die Reihenfolge nicht.

28 Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der Reihenfolge
Wie viele gleiche Möglichkeiten gibt es, wenn man k Kugeln zieht? k=3: 3·2·1=3! Möglichkeiten k=4: ·3·2·1=4! Möglichkeiten Allgemein: k! Möglichkeiten

29 Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der Reihenfolge
Alle Möglichkeiten mit Beachtung der Reihenfolge Anzahl der Kugeln Teilen durch die Anzahl der gleichen Tipps (3!) Anzahl der Ziehungen

30 Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der Reihenfolge
Binomialkoeffizient Lies: n über k

31 Satz 4: Aus einer Urne mit n Kugeln werden k Kugeln gezogen, wobei die Reihenfolge nicht beachtet wird. Dann gibt es

32 Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der Reihenfolge
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man 3 Richtige beim Lotto 5 aus 12? Urne 1: 5 Kugeln für die 5 richtigen Zahlen Urne 2: 7 Kugeln für die 7 falschen Zahlen

33 Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der Reihenfolge
Urne 1: n = 5 (Anzahl der Kugeln) k = 3 (Ziehungen aus Urne 1) ohne Zurücklegen (o. Z.) ohne Beachtung der Reihenfolge (o.B.d.R.)

34 Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der Reihenfolge
Urne 2: n = 7 (Anzahl der Kugeln) k = 2 (Ziehungen aus Urne 2) ohne Zurücklegen (o. Z.) ohne Beachtung der Reihenfolge (o.B.d.R.)

35 Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der Reihenfolge

36 Ohne Zurücklgen, ohne Beachtung der Reihenfolge

37 Was muss ich wissen? n: Wie viele Kugeln sind in der Urne?
k: Wie oft wird gezogen? Mit (ohne) Zurücklegen? Mit (ohne) Beachtung der Reihenfolge?

38 o.Z. m.Z. m.B.d.R nk o.B.d.R