Primzahlen zum Zweiten

Präsentation zum Thema: "Primzahlen zum Zweiten"—  Präsentation transkript:

1 Primzahlen zum Zweiten
Mehr über Primzahlen und Zahlentheorie Primzahlen zum Zweiten

2 Referenzen: Meine Hochschule
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3 Referenzen: Meine Gemeinde
Fritz-Herrmann Lutz, bewundernswerter Kommunikator, aber: Er hat noch nie eine Matheveranstaltung in Eppelborn besucht. Mathephobie? Zur Zeit Wahlk(r)ampf Primzahlen zum Zweiten

4 Primzahlen zum Zweiten
Der Plan Was sind Primzahlen und warum sie interessant sind Es gibt unendlich viele Primzahlen Praxis, Primfaktorzerlegung Pause für notwendige körperliche Aktivitäten Primzahlenzwillinge Rekorde Wie Sie berühmt werden können Wie geht es weiter? Primzahlen zum Zweiten

5 Primzahlen zum Zweiten
Anmerkungen Was kann man einem intelligenten Laien-publikum zumuten? Nicht alle Ankündigungen werden erfüllt Das Problem der Ergebnissicherung Primzahlen zum Zweiten

6 Primzahlen zum Zweiten
Die endgültige Definition: Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 1 ist keine Primzahl. (Eine Konvention der Mathematiker) Primzahlen zum Zweiten

7 Primzahlen zum Zweiten
Einige Primzahlen Der Anfang: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …. Einige größere Primzahlen: 131, 313, 641, , , eine Zahl mit Dezimalstellen. Die größte bekannte Primzahl ( !) Primzahlen zum Zweiten

8 Primzahlen zum Zweiten
Anmerkung 273 – 1 ist keine Primzahl, denn: 273 – 1 = = 439 * ( ) * ( ) Primzahlen zum Zweiten

9 Anmerkung zur Anmerkung
Können Sie diese Rechnung überprüfen? Wie kann man 273 berechnen? (2*2*2*…*2, 73 Faktoren)? Wie berechnet man dieses Riesenprodukt bei der Zerlegung? Haben Sie Vertrauen zu Programmen? Primzahlen zum Zweiten

10 Warum Primzahlen wichtig sind (aus der Sicht der Mathematiker)
Der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen Beispiele: 42 = 2∙3∙7 700 = 2∙2∙5∙5∙7 = 22∙52∙7 Sie finden dies bei Euklid Primzahlen zum Zweiten

11 Warum Primzahlen wichtig sind (Praxis)
Große Primzahlen für asymmetrische Verfahren der Kryptologie Es ist schwierig, die Primfaktorzerlegung großer Zahlen herzustellen. Primzahlen zum Zweiten

12 Wie viele Primzahlen gibt es?
Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen Primzahlen zum Zweiten

13 Schönheit in der Mathematik
Paul Erdös Idee: Proofs from the Book Eine Sammlung schöner Beweise Primzahlen zum Zweiten

14 Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet
Die Idee: Aus endlich vielen Primzahlen kann man eine neue konstruieren. Beispiele: p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5 E = 2∙3∙5 + 1 = 31: Eine neue Primzahl! Primzahlen zum Zweiten

15 Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet
Beispiele: p1 = 3, p2 = 5, p3 = 7 E = 3∙5∙7 + 1 = 106: Keine neue Primzahl! Aber: E enthält nur neue Primzahlen als Faktoren, hier die Zahlen 2 und 53. Keine der Zahlen 3,5,7 teilt 106 Primzahlen zum Zweiten

16 Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet
Allgemein: p1, p2, p3, …, pn seien Primzahlen. E = p1∙ p2 ∙ p3 ∙ … ∙ pn + 1 : Keine der Zahlen p1, p2, p3, …, pn teilt E. Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen. Primzahlen zum Zweiten

17 Beweise für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen
Sechs Beweise in THE BOOK 12 Beweise in Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory 27 Beweise auf Primzahlen zum Zweiten

18 Primzahlen zum Zweiten
Der Fakultätenbeweis Idee: Keine der Zahlen 1, 2, 3, 4, …, n ist Teiler von f(n) = n! + 1. Also sind alle Primfaktoren von f(n) größer als n. Primzahlen zum Zweiten

19 Primzahlen zum Zweiten
Exkurs: Fakultäten 4! = 1∙2∙3∙4 = 24 n! = 1∙2∙3∙ ∙∙∙∙∙ ∙(n-1) ∙n 0! = 1 5! = 120 10! = Primzahlen zum Zweiten

20 Warum Rainer Roos Mathematiker wurde
Warum ist 0! = 1? Ist x! eine „richtige“ Funktion? Wie kommt ein Auto zum Stehen? Später: Wie sicher sind mathematische Aussagen? Primzahlen zum Zweiten

21 Primzahlen zum Zweiten
100! Primzahlen zum Zweiten

22 Primzahlen zum Zweiten
1000! \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Primzahlen zum Zweiten

23 Primzahlen zum Zweiten
Stirlingsche Formel James Stirling, 1692 – 1770, Mitstreiter Newtons Primzahlen zum Zweiten

24 Primzahlen zum Zweiten
Der Fakultätenbeweis n Zerlegung von n! + 1 2 3 7 4 5∙5 5 11 ∙11 6 7 ∙103 71 ∙71 8 61∙661 9 19 ∙71∙269 Primzahlen zum Zweiten

25 Primzahlen zum Zweiten
Der Satz von Wilson p ist genau dann eine Primzahl, wenn p ein Teiler von (p-1)! + 1 ist. Beispiel: p = 7: 7 teilt 6! + 1; 7 ist Primzahl p = 6; 6 teilt 5! + 1 nicht; 6 keine Primzahl Primzahlen zum Zweiten

26 Ein Beweis mit Fermat-Zahlen aus dem Buch
Pierre de Fermat Geb.: in Beaumont de Lomagne Gest.: 1665 in Castres Genialer Zahlentheoretiker Primzahlen zum Zweiten

27 Primzahlen zum Zweiten
Fermat-Zahlen Fermats Vermutung: Alle Zahlen dieser Form sind Primzahlen. Primzahlen zum Zweiten

28 Primzahlen zum Zweiten
Fermat-Zahlen F(0) = = 3, Primzahl F(1) = = 5, Primzahl F(2) = = 17, Primzahl F(3) = = 257, Primzahl F(4) = = , Primzahl F(5) = = = 641 ∙ Primzahlen zum Zweiten

29 Eine wunderschöne Idee:
Man zeigt: Die Fermat-Zahlen sind paarweise teilerfremd. Daher enthalten verschiedene Fermatzahlen verschiedene Primfaktoren. Es gibt aber unendlich viele Fermatzahlen, fertig! Primzahlen zum Zweiten

30 Primzahlen zum Zweiten
Teilerfremde Zahlen Beispiele: 25, 42 sind teilerfremd 40, 63 sind teilerfremd 24, 42 sind nicht teilerfremd: 2, 3, 6 sind gemeinsame Teiler Primzahlen zum Zweiten

31 Die Teilerfremdheit der F(n)
Man beweist: Für jede natürliche Zahl n gilt: F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2 Primzahlen zum Zweiten

32 F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2
3 ∙ 5 ∙ 17 = 257 – 2 Primzahlen zum Zweiten

33 F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2
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34 F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2
Jeder gemeinsame Teiler von F(i), i <n, und F(n) teilt 2. Alle F(i) sind ungerade. Es bleibt nur eins übrig als Teiler von 2. Primzahlen zum Zweiten

35 Bestimmung von Primzahlen
Verschiedene Vorgehensweisen: Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe) Formeln (traurig und schön) Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen Primzahlen zum Zweiten

36 Eine Formel für alle Primzahlen
Hardy und Littlewoods Formel n Zweien bei f(n) ω = … Zur Berechnung von ω benötigt man alle Primzahlen Nicht sehr praktisch! Es gibt weitere solcher Formeln Primzahlen zum Zweiten

37 Noch einmal: Drei wichtige Probleme
Wie findet man große Primzahlen? Wie prüft man große Zahlen auf Primzahl-eigenschaft? Wie hoch ist der Aufwand, beliebige große Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen? Primzahlen zum Zweiten

38 Große Primzahlen für die Praxis
Erzeuge eine Zufallszahl mit vorgegebener Stellenzahl. Teste, ob die Zahl durch kleine Primzahlen teilbar ist. Teste mit einem probabilistischen Test auf Primalität, mehrfach. Primzahlen zum Zweiten

39 Probabilistische Tests (z.B. Miller-Rabin)
Sagt der Test nein, dann keine Primzahl. Sagt der Test ja, dann mit hoher Wahrscheinlichkeit Primzahl. Irrtumswahrscheinlichkeit: etwa 0,001 Bei n-maliger erfolgreicher Durchführung ist die Fehlerwahrscheinlichkeit (0,001)n. Primzahlen zum Zweiten

40 Deterministische Tests für beliebige Zahlen n
Bis vor wenigen Monaten nur Tests mit nicht polynomialer Laufzeit in n. Seit dem sieht die dieser Teil der Primzahlenwelt freundlicher aus. Primzahlen zum Zweiten

41 Test von Nitin, Neeraj, Manindra (August 2002)
A(n) = Aufwand, n auf Primalität zu testen A (n) = O((ln n)12) Primzahlen zum Zweiten

42 Aufwand bei Primfaktorzerlegung: Quadratisches Sieb
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43 Aufwand beim quadratischen Sieb
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44 Primzahlen zum Zweiten
Primzahlenzwillinge Primzahlen im Abstand 2: 3, 5 11, 13 29, 31 101, 103 …….. Primzahlen zum Zweiten

45 Primzahlen zum Zweiten
Die Top 10 Primzahlen zum Zweiten

46 Wie viele Zwillinge gibt es?
Man weiß es nicht. Wahrscheinlich unendlich viele (Hardy) Primzahlen zum Zweiten

47 Primzahlen zum Zweiten
Bruns Witz Primzahlen zum Zweiten

48 Primzahlen zum Zweiten
Viggo Brun Norwegischer Mathematiker, 1885 – 1978 Bedeutender Zahlen-theoretiker Primzahlen zum Zweiten

49 Primzahlen zum Zweiten
Rekorde 2. Dezember 2003: Größte Primzahl entdeckt, Typ Mersenne: M( ) = – 1 Diese Zahl hat Dezimalstellen! Projekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) Primzahlen zum Zweiten

50 Primzahlen zum Zweiten
Wie groß ist diese Zahl? In Winword bei 12-Punkt-Arial 3825 Einsen pro Seite Also : 3825 Seiten, dies sind mehr als 1650 Seiten Primzahlen zum Zweiten

51 Primzahlen zum Zweiten
Einige Anmerkungen M40 oder M41 oder M42? Preise: $ für die erste Primzahl mit Stellen $ für die erste Primzahl mit Stellen $ für die erste Primzahl mit Stellen (Electronic Frontier Foundation) Primzahlen zum Zweiten

52 Wege zum Ruhm: Offene Probleme der Zahlentheorie
Die Goldbachsche Vermutung Die Riemannsche Vermutung Vermutung, dass es nur endlich viele Fermatprimzahlen gibt Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt Ein schnelle Algorithmus zur Primfaktorzerlegung Primzahlen zum Zweiten

53 Konkurrenten beim Berühmtwerden
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54 Die Goldbachschen Vermutungen
Christian Goldbach Geb in Königsberg Gest.: 1764 in Moskau Bedeutender preussischer Mathematiker, Zusammenarbeit mit Euler und den Bernoullis Primzahlen zum Zweiten

55 Primzahlen zum Zweiten
Brief an Euler 1742 Primzahlen zum Zweiten

56 Primzahlen zum Zweiten
Die Vermutungen Goldbach I: Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe zweier Primzahlen. Beispiel: 100 = = = = …. Goldbach II: Jede ungerade Zahl > 7 ist die Summe von drei ungeraden Primzahlen Beispiel: 51 = = = = …. Primzahlen zum Zweiten

57 Goldbach I: State of the Art
Bestätigt bis 2x1016 Jede gerade Zahl ist Summe von höchstens 6 Primzahlen Vinogradov: Jede genügend große Zahl ist Summe von höchstens 4 Primzahlen Vinogradov: Fast alle geraden Zahlen sind Summe von 2 Primzahlen Cheng Jing-run (1966): Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe aus einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens zwei Primfaktoren Primzahlen zum Zweiten

58 Goldbach I: State of the Art
Im Jahr 2000 wurde ein Preis von $ für den Beweis der Goldbachschen Vermutung ausgesetzt. Nach Ansicht der meisten Mathematiker stimmt die Goldbachsche Vermutung; statistische Argumente sprechen dafür. Primzahlen zum Zweiten

59 Goldbach II: State of the Art
Cheng und Wang 1989: Jede Zahl n > erfüllt Goldbach II Mit der Riemannschen Vermutung: Jede Zahl > 1,615∙1012 erfüllt Goldbach II; Überprüfung mit Computern war erfolgreich! Primzahlen zum Zweiten

60 Primzahlen zum Zweiten
Bernhard Riemann (1826 – 1866) Nachfolger von Gauß in Göttingen Mathematisches Genie Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts- theorie Primzahlen zum Zweiten

61 Die Riemannsche Vermutung
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62 Ein weiterer Weg zum Ruhm
Es gibt nur endlich viele Fermat- Primzahlen Primzahlen zum Zweiten

63 Primzahlen zum Zweiten
Primzahlenzwillinge Zeigen Sie, dass es unendlich viele gibt, entschärfen Sie den Witz von Viggo Brun. Sie werden länger berühmt sein als Daniel Kübelböck. Sie werden die Fields-Medaille oder den Abelpreis erhalten. Primzahlen zum Zweiten

64 Ein schneller Algorithmus zur PFZ
Überleben schwierig! Falls doch, Sie sind berühmt, für immer! Primzahlen zum Zweiten

65 Primzahlen zum Zweiten
Literaturtipps Harald Scheid: Zahlentheorie Spektrum Verlag 2003, 49,95 € Paolo Ribenboim: My Numbers, my Friends Springer Verlag 2000, 39,95 $ Paolo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records Springer Verlag 1996, 40,41€ Primzahlen zum Zweiten

66 Primzahlen zum Zweiten
Links (The Mac-Tutor of History of Mathematics Archive) Primzahlen zum Zweiten

67 Weitere Veranstaltungen
Mathe für Alle in Eppelborn: Induktion und voll-ständige Induktion Im April 2004 Schrecken der Unendlichkeit II: Am um in Tholey. Ort: Sitzungsaal im Rathaus Primzahlen zum Zweiten