Graphentheorie Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana.

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1 Graphentheorie Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

2 Königsberger Brückenproblem
Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

3 Was ist ein Graph? Ecken= vertices Kanten= V edges E Im Jahre 1736
Leonhard Euler löste das Problem allgemein und begründete damit die Graphentheorie Jede Kante verläuft von Ecke zu Ecke. Ein Graph besteht aus einer Eckenmenge und einer Kantenmenge Ecken= vertices Kanten= edges V E Mindestens eine Ecke Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

4 Gundbegriffe Der Grad einer Ecke ist die Anzahl der abgehenden Kanten.
Die Adjazenz-Matrix gibt an, durch wie viele Kanten die Ecken verbunden sind. Der Grad einer Ecke ist die Anzahl der abgehenden Kanten. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

5 Eulersche Begriffe In einem Eulerschen Weg kommt
Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Kanten, die zu ihrer Startecke zurückkehren, heißen Schlingen. Ein geschlossener Eulerscher Weg heißt Eulerscher Kreis. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

6 Eulersche Begriffe In einem Eulerschen Weg kommt
Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Ein geschlossener Eulerscher Weg heißt Eulerscher Kreis. In welchen Graphen gibt es einen Eulerschen Kreis? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

7 Eulers Lösung: Eulerscher Satz: Einen Eulerschen
Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein Eulerscher Satz: Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben. Beweis: ??? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

8 Eulers Lösung: Eulerscher Satz: Einen Eulerschen
Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein Eulerscher Satz: Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

9 Eulers Lösung: Eulerscher Satz: Einen Eulerschen
Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein Eulerscher Satz: Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben. Im Königs-berg-Graphen gibt es keinen Eulerschen Kreis. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

10 Das Haus des Nikolaus In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

11 Das Haus des Nikolaus In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Eulerscher Satz: Einen offenen Eulerschen Weg gibt es genau dann, wenn genau zwei Ecken einen ungeraden Grad haben. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

12 Graphen in unserer Welt
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

13 Graphen in unserer Welt
Mit Graphen schafft man sich ein Modell der Wirklichkeit, das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet. Die geometrische Lage und Form spielt bei Graphen eigentlich gar keine Rolle. Bei Streckenplänen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

14 Graphen in unserer Welt
Mit Graphen schafft man sich ein Modell der Wirklichkeit, das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet. Die geometrische Lage und Form spielt bei Graphen eigentlich gar keine Rolle. Bei Streckenplänen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

15 Routenplaner und Graphen
Die Routenplaner arbeiten mit bewerteten Graphen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

16 Routenplaner und Graphen
Die Routenplaner arbeiten mit bewerteten Graphen Die Bewertung kann Entfernung, Zeit, Kosten .... bedeuten. Erstmal leichtere Probleme: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

17 Stadtplanung und Graphen
Für das Stadt- bauamt kann die Bewertung Baukosten bedeuten. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

18 Optimierung und Graphen
Bewertung Baukosten Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Greedy-Algorithmus Protokoll greedy=gierig Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

19 Optimierung und Graphen
Nicht nehmen, sonst wird es ein Kreis. Bewertung Baukosten Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Eine Kante davon wählen. Greedy-Algorithmus Protokoll Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

20 Optimierung und Graphen
Bewertung Baukosten Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Entstanden ist ein „minimaler Spannbaum“ Greedy-Algorithmus Protokoll Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

21 Optimierung und Graphen
Bewertung Baukosten Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Entstanden ist ein „minimaler Spannbaum“ Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph ohne Kreise. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

22 Optimierung und Graphen
Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Markiere solange die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nächst teureren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Selber machen Protokoll Übrigens: gibt es hier einen Eulerschen Weg? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

23 Optimierung und Graphen
Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Markiere solange die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Protokoll Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

24 Optimierung und Graphen
Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Markiere solange die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Protokoll Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

25 Graphen- Theorie ist eins der spannendsten und dynamischsten
mathematischen Themen zur Zeit. Zwei Mathematiker greifen die Idee von „Sofies Welt“ auf……. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

26 Erstmal so wie Sie es in der Klausur machen sollten!
Kürzeste-Wege-Bäume Das ist das Routenplaner- Problem. Es ist schwieriger zu lösen. Dijkstra-Algorithmus. Wir suchen die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen Ecken Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Niederländischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960 An der geforderten Ecke anfangen Sprich ij wie ei Zu den Nachbarecken auf billigste Art mit „Grips“ Erstmal so wie Sie es in der Klausur machen sollten! weiter so Weg anmalen, Ecken mit Ihrem Abstandswert beschriften Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

27 Lassen Sie sich im Folgenden lediglich auf den Grundgedanken ein.
Kürzeste-Wege-Bäume Das ist das Routenplaner- Problem. Es ist schwieriger zu lösen. Dijkstra-Algorithmus. Wir suchen die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen Ecken Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Niederländischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960 An der geforderten Ecke anfangen Sprich ij wie ei Zu den Nachbarecken auf billigste Art mit „Grips“ Lassen Sie sich im Folgenden lediglich auf den Grundgedanken ein. weiter so Weg anmalen, Ecken mit Ihrem Abstandwert beschriften Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

28 Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke.
Kürzeste-Wege-Bäume Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken. Fertige Ecken: A Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Unfertige Ecken: B1A, E9A, D2A, Aktive Ecke wird: B1A Unbetretene Ecken: C F G H I Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

29 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken. Die aktive Ecke ist fertig. Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet. Fertige Ecken: A, B1A, Unfertige Ecken: E9A, E8B, D2A, C7B, Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Aktive Ecke wird: D2A Unbetretene Ecken: F G H I Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

30 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken. Die aktive Ecke ist fertig. Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, Unfertige Ecken: E8B, C7B, E7D, H5D, Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Aktive Ecke wird: H5D Unbetretene Ecken: F G I Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

31 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken. Die aktive Ecke ist fertig. Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D Unfertige Ecken: C7B, E7D, E6H, I9H Aktive Ecke wird: E6H, Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Unbetretene Ecken: F G Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

32 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken. Die aktive Ecke ist fertig. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H Unfertige Ecken: C7B, I9H, I8E, F11E Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet. Aktive Ecke wird: C7B Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Unbetretene Ecken: G Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

33 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Die aktive Ecke ist fertig. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B Unfertige Ecken: I8E, F11E, F9C, G13 C, ggf. Ecken neu bewertet. Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Aktive Ecke wird: I8E Unbetretene Ecken: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

34 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken. Die aktive Ecke ist fertig. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B, I8E Unfertige Ecken: F9C, G13 C, G12I, ggf. Ecken neu bewertet. Aktive Ecke wird: F9C Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Unbetretene Ecken: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

35 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Dijkstra-Algorithmus. Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Die aktive Ecke ist fertig. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B, I8E, F9C, G10F Unfertige Ecken: G12I, G10F ggf. Ecken neu bewertet. Aktive Ecke wird: G10F Die letzte aktive Ecke ist fertig. Unbetretene Ecken: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

36 Kürzeste-Wege-Bäume Das ist nun ein kürzeste-Wege-Baum.
Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum. Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A. Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B, I8E, F9C, G10F Das ist nun ein kürzeste-Wege-Baum. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

37 Kürzeste-Wege-Bäume Dijkstra-Algorithmus. Das ist das Routenplaner-
Problem. Es wird gelöst vom Dijkstra-Algorithmus. Interaktive Version an der TU München Dies ist Aufgabenblatt 6 bei der TUM Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

38 Logistik Modellierung des Problems mit Graphen
Bewertung des Graphen mit Fahrzeiten oder Fahrkosten Streckenlänge…. Lösung des Kürzeste-Wege-Problems Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

39 Landkarten färben Modellierung des Problems mit Graphen:
Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Länder verschieden gefärbt sein sollen? Modellierung des Problems mit Graphen: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

40 Landkarten färben mit Graphentheorie
Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Hauptstädte verschieden gefärbt sein sollen? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

41 Landkarten färben mit Graphentheorie
Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Hauptstädte verschieden gefärbt sein sollen? Vier-Farben-Satz Es reichen immer vier Farben Erst 1976 mit Computereinsatz bewiesen (Appel, Haken) Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

42 Eckenfärbung von Graphen
Die Ecken sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Ecken verschiedene Farben haben Gibt es einen hier Eulerschen Weg? Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

43 Eckenfärbung von Graphen
Die Ecken sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Ecken verschiedene Farben haben Eulerschen Weg? Nein, 3 Ecken mit ungeradem Grad, durften höchstens 2 sein. Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

44 Mobilfunk-Konfliktgraphen
Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konflikt- graphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

45 Mobilfunk-Konfliktgraphen
Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konflikt- graphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

46 Konflikt-Graphen Die Verkehrsströme werden Ecken.
Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

47 Konflikt-Graphen Die Verkehrsströme werden Ecken.
Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

48 Konflikt-Graphen Adjazenzmatrix dazu
Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden. Eine zulässige Eckenfärbung des Graphen zeigt: Verkehrsströme mit der gleichen Farbe dürfen gleichzeitig „Grün“ an ihrer Ampel haben. Mehr dazu im Buch Nitzsche: Graphentheorie, tw.moodle Kap 11 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

49 Graphentheorie in Büchern
Kombinatorische Optimierung erleben: Im Studium und Unterricht Stephan Hußmann (Autor), Brigitte Lutz-Westphal (Autor) Manfred Nitzsche Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

50 Fuzzy-Logik „weiche Logik“
Bereich Algebra, Logik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

51 Knotentheorie Zöpfe Bereich Knotentheorie, moodle Kap. 11 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

52 Fraktale, Chaostheorie
Bereich Fraktale Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

53 Fraktale, Chaostheorie
Bereich Fraktale Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

54 Fraktale, Chaostheorie
Bereich Fraktale, moodle Kap.10 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,