© Prof. Dr. Remo Ianniello Biegung Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello 𝜎 𝑏 Biegespannung Flächenträgheitsmoment Satz von Steiner Durchbiegung FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Biegespannung Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Biegung 𝜎 𝑏 Die Balken in der Skizze denke man sich aus lauter waagerechten Schichten bestehend, etwa wie ein Buch. Die Schichten sind aber miteinander verwachsen. Durch die Kräfte am Ende der Balken werden die Balken tordiert / gestreckt / gebogen / gestaucht. FTM In der oberen Hälfte jedes Balkens herrscht Zug / Druck / Schub / Torsion, in der unteren Druck. Diese verschiedenen Spannungen werden als Torsions- / Schub- / Biege- Spannung zusammengefasst. Am stärksten ist die Biegespannung in der obersten / mittleren / untersten Schicht. Nur die mittlere Schicht ist nicht gespannt. Diese Schicht besteht aus neutralen Fasern. Krümmt sich der Balken, werden die die neutralen Fasern länger / kürzer / bleiben gleich lang. Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Biegespannung Bei Zug-Druck gilt für die Spannung: mit A = Querschnittsfläche 𝜎 𝑏 σ = F/A FTM Gilt das auch bei Biegung ? F und A sind bei beiden Balken gleich. Ist dann auch in beiden Balken die Biegespannung gleich? Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Biegemoment Momenten-Bilanz σb hängt vom Biegemoment Mb = F∙r / nur von der Belastungskraft F ab. Dieses Biegemoment Mb wird im Querschnitt des Bretts gelöscht / kompensiert / verstärkt / geschwächt. Dazu wirken im Querschnitt Kräfte: Zugkräfte in der oberen - und Scher- / Zug-/ Druck-Kräfte in der unteren Hälfte. Diese Kräfte erzeugen eine Torsion, Kraft, ein Gegenmoment zum Biegemoment. Der Hebelarm im Querschnitt ist sehr lang / breit / kurz, daher müssen die Kräfte dort entsprechend parallel / groß / klein / senkrecht sein. 𝜎 𝑏 FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Biegung Springer auf dem Brett Ein Springer steht mit seinen 81 kg am Ende eines Sprungbrettes. Betrachten Sie den Querschnitt des Brettes 3,4 m hinter dem Mann. Das Brett ist 8 cm hoch und 40 cm breit. 𝜎 𝑏 FTM Wie groß ist das Moment Mb, mit dem der Springer eine Biegung im Brett verursacht? Würde diese Biegung durch zwei einzelne, antiparallele Kräfte im Querschnitt kompensiert (blau): Wie groß wären die Kräfte, wenn sie mittig in der oberen bzw. unteren Hälfte wirken würden? Wie sähe das Kräfteprofil im Querschnitt aus? Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Biegespannung 𝜎 𝑏 Hebelarm L Biegespannung (Zug) 2 gestreckte Randfaser FTM größte Biegepannung Hebelarm L 3 Biegespannung (Druck) Biegespannung (Zug) größte Biegepannung gestreckte Randfaser Biegespannung (Druck) gestauchte Randfaser gestauchte Randfaser größte Biegepannung neutrale Faser (spannungsfrei) Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Biegespannung Stützwirkung Obwohl sich Biegespannungen aus Zug- und Druck-Spannungen zusammen setzen, sind die zulässigen Spannungen für Biegung größer als die für Zug oder Druck. Beispiel Einsatzstahl 18CrNi8 Re = 785  N/mm2 < bF = 1.100 N/mm2 Wie ist dieser Unterschied zu erklären? 𝜎 𝑏 FTM Die Festigkeitswerte bei Biegebelastung sind infolge der Stützwirkung größer als bei Zug- bzw. Druck-Belastung Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Biegespannung 𝜎 𝑏 Gleichung der Biegespannung FTM Flächenträgheits- Moment I Widerstands-Moment W Schmetterlings- Gleichung Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Biegespannung 𝜎 𝑏 Sprungbrett Ein stämmiger Herr steht am Ende eines Sprungbrettes, 4,5 m von der Einspannung entfernt. Mit seinen 98 kg verbiegt er das Brett (W = 106 mm³) bis die Randfasern stark unter Biegespannung stehen. Wie groß ist diese Biegespannung? Wo tritt sie auf? Das Brett ist 40 cm breit und 10 cm dick. In welchem Abstand von der neutralen Faser ist die Spannung nur halb so groß? FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Flächenträgheits- Moment (FTM) Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

Flächenträgheitsmoment Das Flächenträgheitsmoment (FTM) I stellt den Widerstand gegen die Verbiegung dar. Aus der Schmetterlingsgleichung wird klar: 𝜎 𝑏 FTM 𝜎 𝑏 = 𝑀 𝑏 𝑊 = 𝑀 𝑏 𝐼 ∙𝑒 𝐼~ 𝑀 𝑏 𝜎 𝑏 Fazit: Je größer das FTM ist, um so höher / geringer ist bei gegebenem Mb die entstehende Biegespannung b höher / geringer ist (bei vorgegebenem b) das anwendbare Moment Mb , kurz: desto höher / geringer ist die Verbiegbarkeit. Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Flächenträgheitsmoment 𝜎 𝑏 Stabilität Man kann einen Stab gegen Verbiegung stabilisieren, ohne mehr Material zu verwenden, in dem man seine Querschnittsfläche anders anordnet. Sie sollen z.B. den Stab eines hydraulischen Hebels besser gegen Biegung auslegen ohne Mehrausgaben für das Material zu benötigen. FTM Wie könnte der Querschnitt geändert werden, um die höhere Stabilität gegen Biegung zu erreichen? Wie könnte man die Stabilität eines Flachstabes gegen Verbiegung erhöhen? Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Flächenträgheitsmoment Stabilität Man kann einen Stab gegen Verbiegung stabilisieren, ohne mehr Material zu verwenden, in dem man seine Querschnittsfläche anders anordnet. 𝜎 𝑏 FTM Wie könnte man die Stabilität einer Container-Wand erhöhen? Kennen Sie Beispiele aus der Praxis, bei denen die Oberflächengestaltung eine höhere Stabilität bewirkt? Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Querschnitts-Größen Wo stehen in Ihrer Formelsammlung die Flächenträgheitsmomente (FTM) für folgende Querschnitte ? Widerstandsmomente (W) für dieselben Querschnitte ? 𝜎 𝑏 FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Widerstandsmoment Achse Eine Achse aus Vergütungsstahl C 60 E mit d = 40 mm wird auf Biegung beansprucht. Die Sicherheitszahl ist hier v = 3 zu setzen. Wie groß ist das maximal erlaubte Biegemoment? Wie groß ist die Biegespannung in einer Faser, die von der Randfaser einen Abstand von 5 mm hat? 𝜎 𝑏 FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Widerstandsmoment Welle Eine Welle aus S 185 mit d = 36 mm wird auf Biegung beansprucht. Die zulässige Biegespannung betrage b zul = 183 N/mm2. Wie groß ist das axiale Widerstandsmoment? Wie groß ist das maximal erlaubte Biegemoment? Wie erhält man bei bekanntem b max (= b zul) die Biegespannung von by  in einer Faser, die von der Rand- faser einen Abstand von 6 mm hat? 𝜎 𝑏 FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Widerstandsmoment Alle Balken in der Skizze sind gleich breit. Die Kräfte wirken im selben Abstand von der Mauer (gleicher Hebelarm). Ein Versuch zeigt: Bricht der Balken A durch die Last F, so bricht der Balken B, der doppelt so hoch ist, erst durch 4F. Balken C ist drei mal so hoch wie A und bricht erst bei 9F. 𝜎 𝑏 FTM Die Höhen der Balken verhalten sich wie 1 : 2 : 3, ihre Tragfähigkeiten aber wie 1 : 4 : 9 oder 1² : 2² : 3². Daher wächst die Tragfähigkeit linear / quadratisch mit der Höhe. Dagegen bewirkt 2fache und 3fache Breite nur 2fache und 3fache Tragfähigkeit. Daher wächst die Tragfähigkeit linear / quadratisch mit der Breite. Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Widerstandsmoment Das Volumen einer Walze V = b·/4·h² wächst mit dem Quadrat des Durchmessers h und linear zur Breite b. Daher ist die Tragfähigkeit des Balkens dem Volumen der „eingeschriebenen“ Walzen proportional. Wächst die Höhe, so wächst die Tragfähigkeit quadratisch! 𝜎 𝑏 FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Widerstandsmoment Je größer das Volumen der einbeschriebenen Walze, desto schwerer brechen die Balken. Die Walzen A und B haben gleiches Volumen. Also brechen die Balken A und B durch dieselbe Last. Die Querschnitts- flächen der Balken A und B sind aber verschieden! 𝜎 𝑏 FTM Balken B und C haben dieselbe Querschnitts- fläche, Balken C bricht aber bei kleinerer Last. Warum? Weil das Volumen der Walze in C kleiner ist. Im selben Verhältnis hat sich seine Tragfähigkeit verringert. Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Widerstandsmoment 𝜎 𝑏 Flachstahl Ein Flachstahl aus E 335 mit den Abmessungen 25 mm  10 mm soll das Biegemoment Mb = 100 Nm aufnehmen. Wie groß sind axiales Flächen- und Widerstandsmoment, wenn der Flachstahl hochkant gebogen wird? Wie groß sind I und W, wenn der Flachstahl flachkant gebogen wird? FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Fragen 𝜎 𝑏 Was unterscheidet die Biegespannung von der Zugspannung? Sie ist nicht von der Kraft pro Querschnitt abhängig. Wovon hängt das Widerstandsmoment ab? A) vom Werkstoff, B) vom E-Modul, C) von der Querschnittsgeometrie, D) von der Biegespannung? C) von der Querschnittsgeometrie Was ist die Bedeutung des axialen Flächenträgheitmoments I ? Widerstand gegen die Verbiegung. Welche geometrische Größe ist für die Biegestabilität maßgebend? Der durchschnittliche Abstand der Querschnittsfläche von der Biegeachse (neutralen Faser), das FTM, das Widerstandsmoment Wie berechnet man bei unsymmetrischen Querschnitten die Position der Biegeachse? Die Biegeachse verläuft immer durch den Schwerpunkt der Querschnittsfläche. Man bildet den gemeinsamen Schwerpunkt. Wie hängen Randfaserabstand e, Widerstandsmoment W und lächenträgheitsmoment I miteinander zusammen? I = W·e FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Satz von Steiner Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Satz von Steiner Was meinen Sie? Wie wird das Trägheitsmoment von „komplizierten“ Flächen berechnet? 𝜎 𝑏 FTM Komplizierte geom. Flächen werden unterteilt. Berechnung der Position von Gesamtschwerpunkt S0 und der Teilschwerpunkte Si. Abstand Li der Teilschwerpunkte vom Gesamtschwerpunkt bestimmen Satz von Steiner auf jede Teilfläche anwenden: Teil-Trägheitsmomente summieren: Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Satz von Steiner Winkelstahl Das FTM eines Winkelstahls 50 x 50 x 5 beträgt laut Tabelle Ix = 11 cm4. Verifizieren Sie diesen Wert, indem Sie den Querschnitt in zwei Teilflächen zerlegen und die FTM der beiden Teilflächen addieren. Wie groß ist Iy ? Biegt man den Winkelstahl um die 45° Achse , ergibt sich ein Wert von I = 17,4 cm4. Warum ist dieser Wert größer als der in a) Welche Biegeachse müsste demnach den kleinsten Wert für I von 4,59 liefern? 𝜎 𝑏 FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Satz von Steiner 𝜎 𝑏 FTM Da nur die Abstände von der Biegeachse eingehen, und nicht die x-Position, darf man Teile parallel zur Achse verschieben. Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Satz von Steiner 𝜎 𝑏 Satz von Steiner Stimmt es, dass das Widerstandsmoment einer Teilfläche den kleinsten Wert annimmt, wenn seine Schwerachse mit der gemeinsamen Biegeachse übereinstimmt? Begründen Sie Ihre Antwort. 𝜎 𝑏 FTM Zur Erinnerung: Der Gesamtschwerpunkt liegt auf der gemeinsamen Biegeachse. Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Satz von Steiner I – und T – Träger Auf einen Träger mit rechteckigem Querschnitt wirkt ein Biegemoment von Mb= 180 Nm. Der Träger wird um die x-Achse gebogen. Wie groß sind … das axiale Flächenmoment? das axiale Widerstandsmoment? die Biegespannung ? 𝜎 𝑏 FTM Wie groß ist das axiale Flächenmoment Ix desselben rechteckigen Querschnitts, wenn er ein Teil eines T-Profils ist? Wie groß ist das Flächen- trägheitsmoment Iy des T- Querschnitts? Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Begriffe Biegemomente Mb verursachen die Krümmung k einer vorher geraden Trägerachse. Krümmungsradius  = Kehrwert der Krümmung k. Durchbiegung w = Abweichung der neutralen Faser (bei Belastung) von der Höhe ohne Belastung an einer Stelle. f = maximale Durchbiegung (oft auch nur „Durchbiegung“ genannt) 𝜎 𝑏 FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Die Biegelinie w(x) = elastische Linie = Verlauf w(x) der neutralen Faser eines belasteten Trägers über die Trägerlänge. gibt die Durchbiegung w an der Stelle x des Balkens an 𝜎 𝑏 FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung 𝜌~ 1 𝑀 𝑏   E   I 𝜌~ 𝐸∙𝐼 𝑀 𝑏 𝜎 𝑏 Je größer das Biegemoment Mb, desto so stärker wird der Träger gekrümmt (k groß) kleiner wird der Krümmungsradius . Je weniger elastisch ein Werkstoff (E-Modul groß), desto kleiner die Krümmung, größer der Krümmungsradius  Je starrer sich ein Träger gegen Biegung verhält, desto größer das Flächenträgheitsmoment I kleiner die Krümmung. Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang: FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung „Reine Biegung“: Das Biegemoment wird am einen Ende durch ein Kräftepaar eingeleitet und am anderen Ende aufgenommen. Entlang des Trägers ist Mb konstant. Mit und mit E, I = konstant folgt: Krümmungsradius  = konstant. Die Biegelinie ist ein Kreisbogen. 𝜎 𝑏 FTM 𝜌= 𝐸∙𝐼 𝑀𝑏 Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Biegemoment ist nicht konstant 𝜎 𝑏 Durchbiegung w(x) kann bei best. xE zu hoch werden Zu hohe Durchbiegung w(x) kann z. Bruch führen Aufgabe: max. Durch-biegung f = wmax ermitteln f mit fzul vergleichen Bei Bedarf: Bauteil verstärken; Verkehrslast einschränken FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Träger Ein I-Träger I-140 wird durch eine mittig angreifende Einzelkraft von F = 8,5 kN belastet. Ermitteln Sie für den Angriffspunkt von F den Krümmungsradius die Krümmung die maximale Durchbiegung 𝜎 𝑏 FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung 𝜎 𝑏 Ein Element des Balkens an der Stelle x verschiebt sich nach unten um w(x) und verdreht sich dabei um den Winkel (x). Zusammenhang zw. w(x) und  (x) (x) = Neigung der Biegelinie w(x) tan (x) = Steigung der Biegelinie, d.h. tan (x) = Ableitung dw/dx = w‘(x). FTM x w(x) (x) Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Biegelinie Die Biegelinie beschreibt den Verlauf der Neutralen Faser im belasteten Zustand. Ihre Abweichung von der Linie im unbelasteten Zustand kann man als Funktion w(x) darstellen. Für verschiedene Standardsituationen ist diese Funktion bereits tabelliert als „Gleichung der Biegelinie“. 𝜎 𝑏 FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung 𝜎 𝑏 FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Stahlträger I Gegeben ist ein einseitig eingespannter Stahlträger der Länge L = 3 m, belastet durch die Einzellast F = 1 kN. Der Querschnitt ist quadratisch: h = b = 40 mm. Gesucht ist die Gleichung der Biegelinie, die Durchbiegung am Trägerende, der Neigungswinkel am Ende des Trägers. 𝜎 𝑏 FTM Die Formelsammlung liefert: Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

! Durchbiegung 𝜎 𝑏 Vorsicht: Minuszeichen ab w‘‘(x) ! Zusammenhang der Größen Die Krümmung k der elastischen Linie w(x) ist die 2. Ableitung der Biegelinie. Sie lässt sich aus den Kennwerten des Bauteils darstellen: 𝜎 𝑏 FTM ! = 1 𝜌 = 𝑀𝑏 𝐸∙𝐼 =−𝑤′′(𝑥) Vorsicht: Minuszeichen ab w‘‘(x) ! Integrieren liefert die Gleichung des Neigungswinkels: tan⁡(𝜑)= 𝑀𝑏 𝐸∙𝐼 𝑑𝑥=𝑤′(𝑥) Noch einmal Integrieren liefert die Biegelinie: 𝑀𝑏 𝐸∙𝐼 𝑑𝑥∙𝑑𝑥=𝑤(𝑥) Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Zusammenhang der Größen Diese Integrale sind zunächst nicht weiter bearbeitbar: Im Integral steht keine Koor- dinate x, über die sich integrieren ließe. 𝜎 𝑏 FTM tan⁡(𝜑)= 𝑀𝑏 𝐸∙𝐼 𝑑𝑥=𝑤′(𝑥) Daher wird Mb als Funktion von x ausgedrückt, z.B. Mb = F·x Jetzt ist ein Integrieren möglich: 𝑀𝑏 𝐸𝐼 𝑑𝑥= 1 𝐸𝐼 𝐹𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 2 2𝐸𝐼 + 𝐶 1 =𝑤′(𝑥) Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Randbedingungen Erstellt man die Gleichung der Biege- linie selbt, muss man Integrale lösen. Man erhält dabei eine Integrationskonstante. Diese Konstante lässt sich mit Hilfe von Randbedingungen lösen, die sich aus der Lagerung des Trägers ergeben: 𝜎 𝑏 FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Stahlträger II Der einseitig eingespannter Stahlträger der Länge L = 3 m ist immer noch durch die Einzellast F = 1 kN belastet. Querschnitt: h = b = 40 mm. Gesucht ist die selbst erstellte Gleichung der Biegelinie, die Durchbiegung am Trägerende, der Neigungswinkel am Ende des Trägers. 𝜎 𝑏 FTM 𝑤 𝑥 = 𝑀𝑏 𝐸∙𝐼 𝑑𝑥∙𝑑𝑥 (1) (2) (3) 𝑤 ′ 𝑥 =tan⁡(𝜑)= 𝑀𝑏 𝐸∙𝐼 𝑑𝑥 Randbedingung 𝑤 ′′ 𝑥 =− 𝑀𝑏 𝐸∙𝐼 Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Kran Ein Kran ist für eine maximale Traglast von m = 3.000 kg aus­gelegt. Die feststehende Säule (Rohr) hat die Abmessungen D = 300 mm und d = 240 mm; Sie besteht aus Stahl und ist unten fest eingespannt. Gesucht ist die Biegespannung in der Säule Durchbiegung der Säule bei B 𝜎 𝑏 FTM Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello FTM Winkelstahl Das FTM eines Hohlprofils 50 x 30 mm² und der Wanddicke s = 3 mm beträgt laut Tabelle Ix = 13,6 cm4. Verifizieren Sie diesen Wert, indem Sie den Querschnitt in zweiTeilflächen zerlegen und die FTM der Teilflächen voneinander subtrahieren. Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Satz von Steiner Abgerundeter Biegeträger Ein Biegeträger aus Baustahl S235JR hat ein Biegemoment auf­zunehmen. Wie groß darf dieses Biegemoment werden, wenn die zulässige Biegespannung σzul 72,5 N/mm2 beträgt, und das Bauteil um die x-Achse, I1 = 7.854 mm4, I2 = 33.333 mm4, Mb max = 298,5 Nm y-Achse gebogen wird ? I1 = 135,4210³ mm4, I2 = 208,3 10³ mm4, Mb max = 992,52 Nm Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Satz von Steiner Zusammengesetzter Träger Wo liegt der gemeinsame Schwerpunkt der Flächen 1, 2 und 3? Ergebnis: S=(14,53 mm / 47,3 mm) Wie groß sind die Abstände der Teilschwerpunkte l1 und l2 von der neutralen Faser? l1 = 28,7mm, l2=2,3mm, l3=37,3mm Wie groß sind die Flächenmomente der Teilflächen? I1 = 454.512,6mm4, I2 = 53.405,8mm4, I3 = 569.849mm4 Wie groß ist das Gesamt-Flächenmoment? Iges= 1,08106 mm4 Wie groß ist das Widerstandsmoment? W = 22.750 mm³ Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Satz von Steiner Schiene Für den dargestellten Querschnitt ist das Flächenträgheitsmoment I für eine Biegung um die Waagerechte zu bestimmen, Ix = 907,939·106 mm4 sowie das Widerstandsmoment Wy der Fläche. Wy = 517,867·103 mm3 Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Schnapp-Element Die Skizze zeigt einen Deckel mit Schnapp-Element. Damit das Schnapp-Element am (nicht gezeichneten) Rahmen einrasten kann, muss sich das untere Ende des Schnapp-Elements um f = 15 mm nach rechts bewegen, während der Deckel nach unten gedrückt wird. Deckel und Rahmen sind als starr anzu- nehmen. Das Schnapp-Element der Länge l = 18 mm hat einen Rechteck- Querschnitt: Breite b = 8 mm, Dicke t. Es besteht aus Kunststoff: E-Modul E = 2.000 N/mm², Biegefließspannung bF = 50 N/mm²). Wie groß muss die Dicke t sein, damit bmax= 0,7·bF wird? Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Eingespannte Streckenlast Gegeben ist ein einseitig eingespannter Träger der Länge L, belastet durch die gleichbleibende Streckenlast q. In der Streckenlast ist das Eigengewicht des Trägers enthalten. Gesucht ist die Gleichung der Biegelinie die Durchbiegung am Ende des Trägers der Neigungswinkel am Ende des Trägers Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

Durchbiegung Freiträger Ein Freiträger vom Profil I 160 ist mit einer Streckenlast von fq = 179 N/m (Gewichts- kraft) belastet. Länge l = 4 m, F = 900 N, E = 2,1105 N/mm² Berechnen Sie die Durchbiegung am freien Ende, hervorgerufen nur durch die Streckenlast, wenn die y-Achse des Querschnittes senkrecht steht. Welche Durchbiegung tritt auf, wenn statt der Streckenlast am freien Ende in der y- Richtung nur die Kraft F angreift? Wie groß ist die Durchbiegung, hervorgerufen durch Streckenlast q und Kraft F, wenn der Träger mit waagerechter y-Achse befestigt wird? Welche Stützkräfte sind in beiden Trägerlagen (horizontal und vertikal) am freien Ende erforderlich, damit der Träger an dieser Stelle keine Durchbiegung hat? a) f1 = 2,917 mm, b) f2 = 9,778 mm c) f = 217 mm d) Fx = 1.168 N = Fy Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Stützträger mit mittiger Einzellast Ermitteln Sie für den Stahlträger aus der Abbildung den Verlauf des Biegemoments M(x) und das maximale Biegemoment durch 2-fache Integration der Differentialgleichung der elastischen Linie die Durchbiegung f = ymax(x) die erforderliche Festigkeit des Werkstoffes bmax den Krümmungsradius  für den Angriffspunkt von F die Krümmung  die Gleichung der Biegelinie Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Stützträger mit Streckenlast Betrachten Sie einen Stützträger, der über seine ganze Länge mit einer Streckenlast q(x) belastet ist (DIN 1025 - I 120). L = 6 m, q = 2 kN/m Gesucht sind die Gleichungen für die Querkraft das Biegemoment den Biegewinkel die maximale Durchbiegung an einer beliebigen Stelle x des Trägers. Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Durchbiegung Stützträger mit Mischlast Bestimmen Sie die Lagerkräfte die Gleichung der Biege­linie unter der Annahme, dass die größte Durchbiegung an der Angriffsstelle von F liegt das erforderliche Flächenmoment I für eine Durchbiegung von maximal 4 mm das dazu erforderliche IPE-Profil und die tatsächliche Durchbiegung Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello