Kapitel 5 Statistische Bewertung von Regressionsbezie-hungen

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Einkommen und Konsum PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Einkommen und Konsum: Zuwachsraten PCR_D4: Privater Konsum, real, Zuwachsrate PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real, Zuwachsrate 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010708 0.001169 9.156915 0.0000 PYR_D4 0.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared 0.650341 Mean dependent var 0.024451 Adjusted R-squared 0.647652 S.D. dependent var 0.014821 S.E. of regression 0.008797 Akaike info criterion -6.613670 Sum squared resid 0.010061 Schwarz criterion -6.569991 Log likelihood 438.5022 F-statistic 241.7910 Durbin-Watson stat 0.502740 Prob(F-statistic) 0.000000 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Dimensionen der Bewertung Globale Bewertung: Kann das Modell den datengenerierenden Prozess der abhängigen Variablen als Ganzes erklären? Globale Kriterien: Bestimmtheitsmaß Adjustiertes Bestimmtheitsmaß Logarithmierte Likelihoodfunktion Informationskriterien, zB Akaike‘s AIC-Kriterium Inferenz der Regressionsparameter t-Test F-Test ANOVA-Tafel Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Residuen y = Xb + u = Xb + e = ŷ + e Residuen: e = y - Xb = y – ŷ = y – X(X‘X)-1X‘y = y - Py = [I – X(X’X)-1X’]y = My P: Projektionsmatrix M: residuenerzeugende Matrix Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion, Forts. Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Schätzer der Varianz s2 ist ein erwartungstreuer Schätzer Der ML-Schätzer unterschätzt; der Bias beträgt Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Residuen: Eigenschaften e = y - Xb = y – ŷ = My Eigenschaften (inhomogene Regression): iei = 0 Achtung! Diese Eigenschaften setzen eine inhomogene Regression voraus! Streuungszerlegung: Ergibt sich durch Dividieren durch n und Subtrahieren von Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Bestimmtheitsmaß Definition: Anteil der durch das Regressionsmodell erklärten Varianz (der Varianz der geschätzten Y) an der Gesamtvarianz der Beobachtungen von Y Anteil der Varianz der abhängigen Variablen, die durch das Modell erklärt wird oft in Prozenten angegeben Alternative Schreibweise Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie R2: Eigenschaften Wegen gilt: R2=1 bedeutet: ; alle Residuen sind Null! R2=0 bedeutet: alle Regressionskoeffizienten haben den Wert Null! R2 soll einen möglichst hohen Wert haben Einfache Regression: Multiple Regression: R2 kann durch Hinzufügen eines Regressors nicht kleiner werden! Achtung! Bei homogener Regression ist R2<0 möglich! Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Beispiel: Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000 PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000 R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898 Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817 S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949 Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386 Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837 Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010708 0.001169 9.156915 0.0000 PYR_D4 0.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared 0.650341 Mean dependent var 0.024451 Adjusted R-squared 0.647652 S.D. dependent var 0.014821 S.E. of regression 0.008797 Akaike info criterion -6.613670 Sum squared resid 0.010061 Schwarz criterion -6.569991 Log likelihood 438.5022 F-statistic 241.7910 Durbin-Watson stat 0.502740 Prob(F-statistic) 0.000000 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

R2: Alternative Darstellung Aus ergibt sich Es bedeuten: TSS: Gesamtvariation (total sum of squares) ESS: (durch die Regression) erklärte Variation (explained sum of squares) RSS: residuale (nicht erklärte) Variation (residual sum of squares) Wir können schreiben: TSS = y‘M0y, analog ESS, mit Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Adjustiertes Bestimmtheitsmaß Erweiterung eines Modells um einen Regressor: R2 wird größer Zunahme von R2 bedeutet nicht notwendigerweise, dass der neue Regressor zur Erklärung beiträgt! Adjustiertes Bestimmtheitsmaß: Gut zum Vergleichen von Modellen Bei großem n ist (n-1)/(n-k) ≈ 1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Andere Kriterien Meist Funktionen von se2 Logarithmierte Likelihoodfunktion Akaike‘s Informationskriterium Schwarz Informationskriterium Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010708 0.001169 9.156915 0.0000 PYR_D4 0.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared 0.650341 Mean dependent var 0.024451 Adjusted R-squared 0.647652 S.D. dependent var 0.014821 S.E. of regression 0.008797 Akaike info criterion -6.613670 Sum squared resid 0.010061 Schwarz criterion -6.569991 Log likelihood 438.5022 F-statistic 241.7910 Durbin-Watson stat 0.502740 Prob(F-statistic) 0.000000 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010708 0.001169 9.156915 0.0000 PYR_D4 0.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared 0.650341 Mean dependent var 0.024451 Adjusted R-squared 0.647652 S.D. dependent var 0.014821 S.E. of regression 0.008797 Akaike info criterion -6.613670 Sum squared resid 0.010061 Schwarz criterion -6.569991 Log likelihood 438.5022 F-statistic 241.7910 Durbin-Watson stat 0.502740 Prob(F-statistic) 0.000000 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Bewertung der Parameter Frage: Trägt der Regressor Xi zur Erklärung bei? Test von H0: bi = 0 gegen H1: bi>0 oder H1: bi≠0: (t-Test) Konfidenzintervall für bi Tragen alle Regressoren zur Erklärung bei? Test von H0: b2 = … =bk (F-Test) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie t-Test Verteilung der OLS-Schätzer b: Für den Schätzer bi gilt: mit dem i-ten Diagonalelement aii aus (X‘X)-1 s√(aii) bzw. s√(aii) heißt Standardfehler von bi Test von H0: bi=0 gegen H1: bi≠0: Entscheidung mittels p-Wert: Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010708 0.001169 9.156915 0.0000 PYR_D4 0.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared 0.650341 Mean dependent var 0.024451 Adjusted R-squared 0.647652 S.D. dependent var 0.014821 S.E. of regression 0.008797 Akaike info criterion -6.613670 Sum squared resid 0.010061 Schwarz criterion -6.569991 Log likelihood 438.5022 F-statistic 241.7910 Durbin-Watson stat 0.502740 Prob(F-statistic) 0.000000 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie F-Test Test von H0: b1=…= bk gegen H1: H0 trifft nicht zu F ist exakt oder näherungsweise verteilt nach F(k-1, n-k) Entscheidung mittels p-Wert Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Konsumfunktion p-Wert = P{F > 241.79 | H0} F-Statistik Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010708 0.001169 9.156915 0.0000 PYR_D4 0.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared 0.650341 Mean dependent var 0.024451 Adjusted R-squared 0.647652 S.D. dependent var 0.014821 S.E. of regression 0.008797 Akaike info criterion -6.613670 Sum squared resid 0.010061 Schwarz criterion -6.569991 Log likelihood 438.5022 F-statistic 241.7910 Durbin-Watson stat 0.502740 Prob(F-statistic) 0.000000 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Konfidenzintervall für bi KI zur Konfidenzzahl g mit Perzentil der t(n-k)- oder der Normalverteilung Beispiel: Konsumfunktion C = a + bY + u 95%iges Konfidenzintervall für marginale Konsumneigung b: 0.7176 – (1.978) (0.0461) ≤ b ≤ 0.7176 + (1.978) (0.0461) oder 0.626 ≤ b ≤ 0.809 Hackl, Einführung in die Ökonometrie