Peter Hackl Sprechstunde: Fr, 10:30-11:30 Tel.: 31336-4663 Ökonometrie II Peter Hackl Sprechstunde: Fr, 10:30-11:30 Tel.: 31336-4663

Termine März: 11., 18., 25. April: 1., 8., 15., 22., 29. Mai: 6., 13., 20., 27. Juni: 3., 10., 17., 24. 11.3.2005 Ökonometrie II

Literatur P. Hackl, Einführung in die Ökonometrie. Pearson Studium, 2004 P. Hackl, Ökonometrie, 7.Auflage. Fakultas Skripten. J. Stewart & L. Gill, Econometrics, 2nd Ed. Prentice Hall, 2000. W.H. Greene, Econometric Analysis. 5th Ed. Prentice Hall, 2002. 11.3.2005 Ökonometrie II

Inhalte von Ökonometrie II Themen von Ökonometrie I waren: Lineares Regressionsmodell, Schätzverfahren, Annahmen des linearen Regressionsmodells, Statistische Bewertung von Regressionsbeziehungen, Variablenauswahl und Missspezifikation, Lineare Restriktionen, Prognose und Prognosequalität Ökonometrie II behandelt Methodische Erweiterungen Multikollinearität Heteroskedastizität Autokorrelation Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle Trends und Unit root-Tests Instrumentvariablen-Schätzung 11.3.2005 Ökonometrie II

Regression und Modellierung Multiples lineares Regressionsmodell Y: endogene Variable X2, … Xk: exogene Variable Modell beschreibt den Daten-generierenden Prozess von Y unter der Bedingung X2, … Xk b1: Interzept b2, ..., bk: Koeffizienten von X1, …, Xk 11.3.2005 Ökonometrie II

Einkommen und Konsum PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis 11.3.2005 Ökonometrie II

Einkommen und Konsum, Forts. PCRT: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYRT: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2002:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis 11.3.2005 Ökonometrie II

Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000 PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000 R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898 Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817 S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949 Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386 Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837 Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000 11.3.2005 Ökonometrie II

Area-Wide Model (AW-Modell) Europäischen Zentralbank Working Paper Nr. 42 (2001) von Gabriel Fagan, Jerome Henry, Ricardo Mestre beschreibt die makroökonomischen Prozesse der Euro-Zone Zielsetzung: the assessment of economic conditions in the area microeconomic forecasting policy analysis deepening the understanding of the functioning of euro area economy AWM-Datenbasis: ca. 100 Variable, 1976:1 bis 2003:4 11.3.2005 Ökonometrie II

EViews Software zur Ökonometrischen Analyse QMS (Quantitative Micro Software, USA) bringt 1994 EViews 1.0 als moderne Version von Micro TSP aktuelle Version: EViews 5.1 (2005) EViews 3.1 weiter als aktuelle Student-Version Link: www.eviews.com/index.html WU: Campus-Lizenz, an allen PCs EViews 5.1 11.3.2005 Ökonometrie II

Matrixschreibweise n Beobachtungen (X1,Y1), … , (Xn,Yn) Modell: Yt = b1 + b2Xt + ut = xt‘b + ut, t = 1, …, n, mit 11.3.2005 Ökonometrie II

Matrixschreibweise, Forts. Gemeinsame Darstellung der n Beziehungen Yt = b1 + b2Xt + ut, t = 1, …, n: y = Xb + u mit 11.3.2005 Ökonometrie II

Schätzen der Koeffizienten b1, b2: „wahre“ Regressionskoeffizienten Störgrößen: ut = Yt - (b1 + b2Xt) Residuen: et = Yt - (b1 + b2 Xt) Schätzer von bi: bi ist Funktion von (Xt, Yt), t = 1, …, n. Summe der Fehlerquadrate S(b1, b2) = St ut2= St [Yt - (b1 + b2Xt)]2 Prinzip der Kleinsten Quadrate: bi = arg minb1, b2 S(b1, b2) 11.3.2005 Ökonometrie II

Ableiten der Normalgleichungen Partielles Ableiten von S(b1, b2) = St [Yt - (b1 + b2Xt)]2 liefert Nullsetzen: ergibt die Normalgleichungen 11.3.2005 Ökonometrie II

Normalgleichungen Auflösen nach b1 und b2 gibt die OLS-Schätzer mit 11.3.2005 Ökonometrie II

OLS-Schätzung in Matrixform Yt = xt‘b + ut, t = 1, …, n oder y = Xb + u Summe der Fehlerquadrate S(b) = (y-Xb)‘(y-Xb) = y‘y -2y‘Xb+b‘X‘Xb OLS-Schätzer: b = (X‘X)-1X‘y 11.3.2005 Ökonometrie II

Konsumfunktion, Forts. Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000 PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000 R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898 Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817 S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949 Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386 Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837 Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000 11.3.2005 Ökonometrie II

Eigenschaften von Schätzern Erwartungstreue: Schätzer b für Parameter b ist erwartungstreu, wenn E{b} = b Effizienz: Schätzer b für Parameter b ist effizienter als b*, wenn Var{b} < Var{b*}; b ist effizient, wenn seine Varianz geringer als die jedes anderen Schätzers (aus einer Klasse von Schätzern) ist Konsistenz: Schätzer bn für Parameter b ist konsistent, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung von bn für n->∞ im Punkt b kollabiert 11.3.2005 Ökonometrie II

OLS-Schätzer: Erwartungstreue wegen E{u|X}=0 Der OLS-Schätzer b (und damit auch der ML-Schätzer) ist erwartungstreu! Die Verteilung der ut muss als unabhängig von den Regressoren (Spalten von X) vorausgesetzt werden! Für fixe X ist das stets erfüllt. 11.3.2005 Ökonometrie II

Varianz der OLS-Schätzer wegen Var{a+Au} = A Var(u) A‘, wenn Var(u) = s2I vorausgesetzt wird. Achtung! Die Annahme Var(u) = s2I bedeutet: Homoskedastizität Serielle Unkorreliertheit 11.3.2005 Ökonometrie II

Beispiel: Einfache Regression Yt = a + b Xt + ut Dafür ergibt sich Die Varianzen sind 11.3.2005 Ökonometrie II

Konsumfunktion, Forts. Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000 PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000 R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898 Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817 S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949 Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386 Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837 Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000 11.3.2005 Ökonometrie II

OLS-Schätzer: Effizienz Das Gauss-Markov Theorem sagt: der OLS-Schätzer b ist der beste, lineare, erwartungstreue (BLU) Schätzer für b b hat minimale Varianz unter allen linearen, erwartungstreuen Schätzern b ist effizient gegenüber allen linearen, erwartungstreuen Schätzern 11.3.2005 Ökonometrie II

OLS-Schätzer: Konsistenz hat die Varianz Konvergenz im quadratischen Mittel: E{bn}=b für alle n mit der regulären Matrix Q = lim (Xn‘Xn/n) 11.3.2005 Ökonometrie II

Beispiel: Einfache Regression Yt = a + b Xt + ut Dafür ergibt sich Damit Q regulär ist, muss SXt2/n auch bei beliebig großem n endlich bleiben. Achtung! X kann einen Trend enthalten! 11.3.2005 Ökonometrie II

ML-Schätzer Annahme: u ~ N(0, s2I), normalverteilte Störgrößen Dichtefunktion der Beobachtungen (X1,Y1), … , (Xn,Yn) Likelihood-Funktion Log-Likelihood-Funktion 11.3.2005 Ökonometrie II

ML-Schätzer, Forts. Ableitungen: Likelihood-Gleichungen: Nullsetzen der Ableitungen Maximum-Likelihood (ML)-Schätzer: Beachte: ML-Schätzer für b ist identisch mit OLS-Schätzer (wenn Störgrößen normalverteilt sind) 11.3.2005 Ökonometrie II

Eigenschaften der ML-Schätzer Schätzer für b erwartungstreu effizient konsistent Schätzer für s2 nicht erwartungstreu! 11.3.2005 Ökonometrie II

Schätzer der Koeffizienten: Wahrscheinlichkeitsverteilung ML-Schätzer sind asymptotisch normalverteilt OLS- und ML-Schätzer für b sind ident; daher ist auch der OLS-Schätzer asymptotisch normalverteilt Bei endlichem Umfang n: nur bei normalverteilten Störgrößen gilt 11.3.2005 Ökonometrie II

Liste der Annahmen A1 A2 A3 A4 A5 A6 A61 A62 A7 lineare funktionale Form des Modells A2 r(X) = k A3 lim Xn‘ Xn/n = Q hat vollen Rang A4 Xi unabhängig von u für alle i (Exogenität) A5 E{u} = 0 A6 Var{u} = s2I A61 Var{ut} = s2 für alle t A62 Cov{ut, us} = 0 für alle t und s mit t ≠ s A7 ut normalverteilt für alle t 11.3.2005 Ökonometrie II

Dimensionen der Bewertung Globale Bewertung: Kann das Modell den datengenerierenden Prozess der abhängigen Variablen als Ganzes erklären? Globale Kriterien: Bestimmtheitsmaß Adjustiertes Bestimmtheitsmaß Logarithmierte Likelihoodfunktion Informationskriterien, zB Akaike‘s AIC-Kriterium Inferenz der Regressionsparameter t-Test F-Test ANOVA-Tafel 11.3.2005 Ökonometrie II

Bestimmtheitsmaß Definition: Anteil der durch das Regressionsmodell erklärten Varianz (der Varianz der geschätzten Y) an der Gesamtvarianz der Beobachtungen von Y Anteil der Varianz der abhängigen Variablen, die durch das Modell erklärt wird oft in Prozenten angegeben 11.3.2005 Ökonometrie II

R2: Eigenschaften Wegen gilt: R2=1 bedeutet: ; alle Residuen sind Null! R2=0 bedeutet: alle Regressionskoeffizienten haben den Wert Null! R2 soll einen möglichst hohen Wert haben Einfache Regression: Multiple Regression: R2 kann durch Hinzufügen eines Regressors nicht kleiner werden! Achtung! Bei homogener Regression ist R2<0 möglich! 11.3.2005 Ökonometrie II

Beispiel: Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000 PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000 R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898 Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817 S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949 Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386 Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837 Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000 11.3.2005 Ökonometrie II

Bewertung der Parameter Frage: Trägt der Regressor Xi zur Erklärung bei? Test von H0: bi = 0 gegen H1: bi>0 oder H1: bi≠0: (t-Test) Konfidenzintervall für bi Tragen alle Regressoren zur Erklärung bei? Test von H0: b2 = … =bk (F-Test) 11.3.2005 Ökonometrie II

t-Test mit dem i-ten Diagonalelement aii aus (X‘X)-1 Verteilung der OLS-Schätzer b: Für den Schätzer bi gilt: mit dem i-ten Diagonalelement aii aus (X‘X)-1 s√(aii) bzw. s√(aii) heißt Standardfehler von bi Test von H0: bi=0 gegen H1: bi≠0: Entscheidung mittels p-Wert: 11.3.2005 Ökonometrie II

Beispiel: Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000 PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000 R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898 Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817 S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949 Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386 Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837 Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000 11.3.2005 Ökonometrie II

F-Test Test von H0: b1=…= bk gegen H1: H0 trifft nicht zu F ist verteilt nach F(k-1,n-k) Entscheidung mittels p-Wert 11.3.2005 Ökonometrie II

Beispiel: Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000 PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000 R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898 Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817 S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949 Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386 Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837 Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000 11.3.2005 Ökonometrie II

Eigenschaften von b, wenn relevante Regressoren nicht berücksichtigt werden b ist verzerrt: Das Vorzeichen des Bias ist schwer abzuschätzen Die Varianz der Störgrößen wird überschätzt 11.3.2005 Ökonometrie II

Eigenschaften von , wenn nicht relevante Regressoren berücksichtigt werden ist unverzerrt Zu große Varianzen keine effizienten Schätzer 11.3.2005 Ökonometrie II

Modellvergleich: F-Statistik In drei Schritten: Anpassen des kurzen Modells Y = Xb + u an die Regressoren aus X, Berechnen der Residuen e Anpassen des weiteren Modells Y = Xb + Zg + v an die Variablen aus X und Z, Berechnen der Residuen Berechnen von F ist (näherungsweise) verteilt nach F(g,n-k) 11.3.2005 Ökonometrie II