Analyse der Modellstruktur Ökonometrie II Analyse der Modellstruktur

Fragestellungen Annahme A1: Modell ist Linearkombination der Regressoren mit fixen Gewichten; stabile, zeitlich invariante Modellstruktur In der Realität: Strukturbrüche, zB Ölpreisschock Gleitende Strukturänderungen, zB Nachfrage nach Telekommunikationsdiensten Verfahren zum Identifizieren von Strukturänderungen Testen auf eine bestimmte, vermutete Änderung Unspezifisches Testen 22.4.2005 Ökonometrie II

Verfahren Graphische Darstellung der lokal oder für Teilbereiche geschätzten Regressionskoeffizienten Modellierung der vermuteten Nichtkonstanz und Test durch Modellvergleich; Dummy-Variable Prognosetest, Chow-Test zum Testen auf Strukturbruch Unspezifisches Testen, zB mittels CUSUM-Test auf Basis von rekursiven Residuen 22.4.2005 Ökonometrie II

Rekursive OLS-Schätzung Spezifiziertes Modell: y = Xb + u y, u: n-Vektoren; X: Ordnung nxk, b: k-Vektor Frage: Sind die Regressionskoeffizienten im gesamten Beobachtungsbereich konstant? Rekursiv geschätzte Parameter bt: aus den Beobachtungen {(xi, Yi), i=1,...,t} mittels OLS geschätzt, wobei für t die Werte k+1, ..., n genommen werden 22.4.2005 Ökonometrie II

Rekursive OLS-Schätzung, Forts. bt: OLS-Schätzer für b aus Beobachtungen {(xi, Yi), i=1,...,t} bt = (Xt’Xt)-1 Xt’yt, t=k+1,...,n mit Xt: Ordnung txk, yt: t-Vektor Rekursive Beziehung zum Berechnen der bt Var{bt} = s2 (Xt’Xt)-1 22.4.2005 Ökonometrie II

Konsumfunktion OLS-Anpassung an Österreichische Jahres-Daten 1954 bis 1999: rekursiv geschätzte marginale Konsum- neigung und Kon- fidenzband (g=0.95) 22.4.2005 Ökonometrie II

Dummy-Variable Regressor, der das Zutreffen eines bestimmen Umstandes anzeigt; er hat den Wert 1 in Perioden, in denen der Umstand zutrifft, sonst den Wert 0 Beispiele: Konjunktur/Stagnation Zeit vor/nach Ölpreis-Schock Regionen (Stadt/Land) Saisonen des Jahres 22.4.2005 Ökonometrie II

Dummy-Variable für Saisonen Für die Saisonen sind definiert: Frühlings-Dummy Q1t hat den Wert 1 in jedem ersten Quartal; analog das Sommer-Dummy (i=2), etc. Beachte: Für jede Periode (t=1,…,n) gilt Q1t + Q2t + Q3t + Q4t = 1 22.4.2005 Ökonometrie II

Modelle für Quartalsdaten Das Modell Y = a + b X + u berücksichtigt keine saisonalen Effekte Modell mit saisonspezifischem Interzept und Anstieg: Yt = a1 + b1 Xt + ut Yt = a2 + b2 Xt + ut Yt = a3 + b3 Xt + ut Yt = a4 + b4 Xt + ut Schreibweise mit Saison-Dummyvariablen Qit: Yt = Siai Qit + Si bi Qit Xt + ut oder Yt = a1+d2Q2t+d3Q3t+d4Q4t + b1 Xt+g2 Q2t Xt+g3 Q3t Xt+g4 Q4t Xt + ut mit di = ai-a1, gi = bi-b1, i=2,3,4. 22.4.2005 Ökonometrie II

Modelle für Quartalsdaten, Forts. Modell mit saisonspezifischem Interzept, aber gemeinsamem Anstieg Yt = Siai Qit + b1 Xt + ut = a1 + Sidi Qit + b1 Xt + ut Modell mit gemeinsamem Interzept, aber saisonspezifischem Anstieg Yt = a1 + Si bi Qit Xt + ut 22.4.2005 Ökonometrie II

Konsumfunktion (AWM) Dependent Variable: PCR_DL Method: Least Squares Date: 03/23/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010387 0.001032 10.06448 0.0000 PYR_DL 0.757562 0.041388 18.30379 0.0000 R-squared 0.720447 Mean dependent var 0.024496 Adjusted R-squared 0.718297 S.D. dependent var 0.014857 S.E. of regression 0.007885 Akaike info criterion -6.832601 Sum squared resid 0.008083 Schwarz criterion -6.788922 Log likelihood 452.9517 F-statistic 335.0289 Durbin-Watson stat 0.558338 Prob(F-statistic) 0.000000 22.4.2005 Ökonometrie II

Konsumfunktion (AWM), Forts. Dependent Variable: PCR_DL Method: Least Squares Date: 03/23/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010666 0.001601 6.662470 0.0000 PYR_DL 0.757309 0.041862 18.09057 0.0000 D2 0.000151 0.001963 -0.076833 0.9389 D3 0.000304 0.001963 -0.155092 0.8770 D4 0.000338 0.001963 -0.325062 0.7457 R-squared 0.720703 Mean dependent var 0.024496 Adjusted R-squared 0.711906 S.D. dependent var 0.014857 S.E. of regression 0.007974 Akaike info criterion -6.788060 Sum squared resid 0.008076 Schwarz criterion -6.678863 Log likelihood 453.0120 F-statistic 81.92822 Durbin-Watson stat 0.558960 Prob(F-statistic) 0.000000 22.4.2005 Ökonometrie II

Konsumfunktion (AWM), Forts. Konsumfunktion mit Saison-Dummyvariablen Ct = a1 + d2 Q2t + d3 Q3t + d4 Q4t + b1 Yt + ut Modellvergleich: Test von H0: d2 = d3 = d4 = 0 mittels F-Test: mit p-Wert 0.99 22.4.2005 Ökonometrie II

Strukturbruch Strukturbruch: Der datengenerierende Prozess kann in Teilbereichen des Beobachtungszeitraums durch das gleiche Modell beschrieben werden; den Teilbereichen entsprechen aber unterschiedliche Werte einiger oder aller Regressionskoeffizienten Den Teilbereichen (Regimen) entsprechen unterschiedliche Strukturen Strukturbruch-Analyse: Gibt es Teilbereiche mit unterschiedlichen Strukturen? Wann hat der Strukturbruch stattgefunden; Schätzung des Zeitpunktes des Strukturbruchs (change point) 22.4.2005 Ökonometrie II

Chow-Test Voraussetzungen: Chow-Test: Zum Entscheiden, ob unterschiedliche Strukturen vermutet werden müssen oder nicht Voraussetzungen: Teilbereiche mit konstanter Struktur können identifiziert werden bekannter Zeitpunkt, zu dem der Übergang zwischen den Regimen stattgefunden hat ausreichende Anzahl von Beobachtungen aus jedem Regime, so dass das Modell an die Daten jedes einzelnen Regimes angepasst werden und die Residuen bestimmen werden können Dummyvariable erlauben das Modellieren von Regimen 22.4.2005 Ökonometrie II

Chow-Test, Forts. Vermutung: der datengenerierende Prozess läuft in mehreren Regimen ab; das Modell muss hinsichtlich seiner Koeffizienten regimespezifisch angepasst werden Nullhypothese: die Regressionskoeffizienten sind in allen Teilbereichen des Beobachtungszeitraums die gleichen Alternative: zu bestimmten Zeitpunkten ändern das Interzept und einige oder alle anderen Regressionskoeffizienten ihren Wert 22.4.2005 Ökonometrie II

Chow-Test, Forts. Modell mit zwei Regimen: die partitionierten Größen y, X, b, und u entsprechen den Beobachtungen vor und nach dem Strukturbruch Nullhypothese (kein Strukturbruch) H0: b1 = b2 kann mittels F-Test überprüft werden: S: Summe der Fehlerquadrate im Modell mit Strukturbruch SR: Summe der Fehlerquadrate im Modell unter H0 22.4.2005 Ökonometrie II

Chow-Test, Forts. Die F-Statistik folgt bei Zutreffen von H0 der F-Verteilung F(k,n-2k) bei normalverteilten Störgrößen näherungsweise der Chiquadrat-Verteilung c2(k) bei großem n 22.4.2005 Ökonometrie II

Konsumfunktion, Forts. OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen 1954 bis 1971: b = 0.817, S1 = 200.68 1972 bis 1999: b = 0.824, S2 = 5107.17 F-Statistik: p-Wert: 0.004 22.4.2005 Ökonometrie II

Chow-Test für m Regime Verallgemeinerung: m Regime H0: b1 = … = bm F-Statistik Si: Summe der Fehlerquadrate im Modell für i-tes Regime (i=1,…,m) Verteilungen F(k,n-mk) oder c2([m-1]k) 22.4.2005 Ökonometrie II

Chow‘s Prognosetest Änderung der Struktur gegen Ende des Beobachtungszeitraums, nach der Änderung p<k Beobachtungen: Der Chow-Test ist nicht anwendbar Anpassen des Modells y = Xb + u an Beobachtungen t=1,…,n-p gibt OLS-Schätzer b Prognose ŷf=Xfb für Beobachtungen t = n-p+1,…,n Der Prognosetest prüft die Nullhypothese, dass das Modell auch im Prognosebereich gültig ist: H0: yf = Xfb + u F-Statistik (mit Prognosefehlern ef‘) 22.4.2005 Ökonometrie II

Prognosetest: Berechnung von F Anpassen des Modells an die n-p Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD Anpassen des Modells an alle n Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD+F Einsetzen in F-Statistik gibt 22.4.2005 Ökonometrie II

Konsumfunktion, Forts. Chow‘s Prognosetest OLS-Anpassung des Modells an Daten 1954 bis 1999: , SD+F = 6899.69 1954 bis 1995: , SD = 4205.01 F-Statistik: p-Wert: 0.0004 22.4.2005 Ökonometrie II

Rekursive Residuen Modell: y = Xb + u Rekursive Residuen sind definiert als 1-Schritt Prognosefehler: bt ist OLS-Schätzer von b auf Basis der Beobachtungen {(xi, Yi), i=1,...,t} Der (n-k)-Vektor w folgt (bei normalverteilten Störgrößen) w ~ N(0, s2I) Gut geeignet für Konstruktion von Tests zur Strukturstabilität 22.4.2005 Ökonometrie II

Konsumfunktion, Forts. Rekursive Residuen 22.4.2005 Ökonometrie II

Tests zur Strukturstabilität Tests, die auf Basis der rekursiven Residuen konstruiert sind: CUSUM Test MOSUM Test CUSUM-SQ Test CUSUM Test: Kritische Schranken nach Brown et al. (1975) 22.4.2005 Ökonometrie II

Konsumfunktion, Forts. CUSUM Test 22.4.2005 Ökonometrie II