Ökonometrie I Analyse der Modellstruktur

Ökonometrie I2 Rekursive OLS-Schätzung Spezifiziertes Modell: y = X + u y, u: n-Vektoren; X: Ordnung n x k, : k-Vektor b t : OLS-Schätzer für aus Beobachtungen {(x i, Y i ), i=1,...,t} b t = (X t X t ) -1 X t y t, t=k+1,...,n mit X t : Ordnung t x k, y t : t-Vektor Rekursive Beziehung zum Berechnen der b t Var{b t } = 2 (X t X t ) -1

Ökonometrie I3 Konsumfunktion OLS-Anpassung an Österreichische Jahres-Daten 1954 bis 1999: rekursiv geschätzte marginale Konsum- neigung und Kon- fidenzband (=0.95)

Ökonometrie I4 Dummy-Variable Regressor, der das Zutreffen eines bestimmen Umstandes anzeigt; er hat den Wert 1 in Perioden, in denen der Umstand zutrifft, sonst den Wert 0 Beispiele: Konjunktur/Stagnation Zeit vor/nach Ölpreis-Schock Regionen (Stadt/Land) Saisonen des Jahres

Ökonometrie I5 Dummy-Variable für Saisonen Für die Saisonen sind definiert: Frühlings-Dummy Q 1t hat den Wert 1 in jedem ersten Quartal; analog das Sommer-Dummy (i=2), etc. Beachte: Für jede Periode (t=1,…,n) gilt Q 1t + Q 2t + Q 3t + Q 4t = 1

Ökonometrie I6 Modelle für Quartalsdaten Das Modell Y = + X + u berücksichtigt keine saisonalen Effekte Modell mit saisonspezifischem Interzept und Anstieg: Y t =+ X t + u t Schreibweise mit Saison-Dummyvariablen Q it : Y t = i Q it+ i Q it X t + u t oder Y t = Q 2t Q 3t Q 4t+ X t + Q 2t X t + Q 3t X t + Q 4t X t + u t mit,, i=2,3,4.

Ökonometrie I7 Modelle für Quartalsdaten, Forts. Modell mit saisonspezifischem Interzept, aber gemeinsamen Anstieg Y t = i Q it+ X t + u t = + i Q it + X t + u t Modell mit gemeinsamem Interzept, aber saisonspezifischem Anstieg Y t = + i Q it X t + u t

Ökonometrie I8 Strukturbruch Strukturbruch: Der datengenerierende Prozess kann in Teilbereichen des Beobachtungszeitraums durch das gleiche Modell beschrieben werden; den Teilbereichen entsprechen aber unterschiedliche Werte einiger oder aller Regressionskoeffizienten Den Teilbereichen (Regimen) entsprechen unterschiedliche Strukturen Strukturbruch-Analyse: Gibt es Teilbereiche mit unterschiedlichen Strukturen? Wann hat der Strukturbruch stattgefunden; Schätzung des Zeitpunktes des Strukturbruchs (change point)

Ökonometrie I9 Chow-Test Chow-Test: Zum entscheiden, ob unterschiedliche Strukturen vermutet werden müssen oder nicht Voraussetzungen: 1.Teilbereiche mit konstanter Struktur können identifiziert werden 2.bekannter Zeitpunkt, zu dem der Übergang zwischen den Regimen stattgefunden hat 3.ausreichende Anzahl von Beobachtungen aus jedem Regime, so dass das Modell an die Daten jedes einzelnen Regimes angepasst werden und die Residuen bestimmen werden können Dummies erlauben das modellieren von Regimen

Ökonometrie I10 Chow-Test, Forts. Vermutung: der datengenerierende Prozess läuft in mehreren Regimen ab; das Modell muss hinsichtlich seiner Koeffizienten regimespezifisch angepasst werden Nullhypothese: die Regressionskoeffizienten sind in allen Teilbereichen des Beobachtungszeitraums die gleichen sind. Alternative: zu bestimmten Zeitpunkten ändern das Interzept und einige oder alle anderen Regressionskoeffizienten ihren Wert

Ökonometrie I11 Chow-Test, Forts. Modell mit zwei Regimen: die partitionierten Größen y, X,, und u entsprechen den Größen vor und nach dem Strukturbruch Nullhypothese (kein Strukturbruch) H 0 : 1 = 2 kann mittels F-Test überprüft werden: S: Summe der Fehlerquadrate im Modell mit Strukturbruch S R : Summe der Fehlerquadrate im Modell unter H 0

Ökonometrie I12 Chow-Test, Forts. Die F-Statistik folgt bei Zutreffen von H0 der F-Verteilung F(k,n-2k) bei normalverteilten Störgrößen näherungsweise der Chiquadrat-Verteilung (k) bei großem n

Ökonometrie I13 Konsumfunktion, Forts. OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen bis 1971: b = 0.817, S 1 = bis 1999: b = 0.824, S 2 = F-Statistik: p-Wert: 0.004

Ökonometrie I14 Chow-Test für m Regime Verallgemeinerung: m Regime H 0 : 1 = … = m F-Statistik S i : Summe der Fehlerquadrate im Modell für i-tes Regime (i=1,…,m) Verteilungen F(k,n-mk) oder ([m-1]k)

Ökonometrie I15 Chows Prognosetest Änderung der Struktur gegen Ende des Beobachtungszeitraums, nach der Änderung p<k Beobachtungen: Der Chow-Test ist nicht anwendbar Anpassen des Modells y = X + u an Beobachtungen t=1,…,n-p gibt OLS-Schätzer b Prognose ŷ f =X f b für Beobachtungen t = n-p+1,…,n Der Prognosetest prüft die Nullhypothese, dass das Modell auch im Prognosebereich gültig ist: H 0 : y f = X f + u F-Statistik (mit Prognosefehlern e f )

Ökonometrie I16 Prognosetest: Berechnung von F 1.Anpassen des Modells an die n-p Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate S D 2.Anpassen des Modells an alle n Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate S D+F 3.Einsetzen in F-Statistik gibt

Ökonometrie I17 Konsumfunktion, Forts. OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen bis 1991: S 91 = bis 1999: S 2 = F-Statistik des Prognosetests p-Wert: