Lineare Restriktionen Ökonometrie I Lineare Restriktionen

Cobb-Douglas Produktionsfunktion Q(K,L) = A Ka Lb Q: Output (value added) K: eingesetzter Kapitalbestand (capital stock) L: geleistete Arbeit (labor input) Funktion f(x) heißt homogen vom Grad r, wenn f(px)=pr f(x) Produktion mit konstanten Skalenerträgen Q(pK,pL) = A (pK)a (pL)b = pa+b Q(K,L) = p Q(K,L) d.h., die Produktionsfunktion ist homogen vom Grad 1 Die Parameter erfüllen die Beziehung (lineare Restriktion) a + b = 1 3.12.2004 Ökonometrie I

Produktionsfunktion: Daten Nach Hildebrand & Liu (1957), Aigner et al. (1977) LOGQ: log(Q) LOGK: log(K) LOGL: log(L) 3.12.2004 Ökonometrie I

Lineare Restriktionen: Fragen Wenn die Annahme unterstellt wird, dass eine Restriktion, beispielsweise a + b = 1, zutrifft, wie können wir die Koeffizienten, a und b, schätzen, so dass auch die Schätzer diese Restriktion erfüllen? Wie können wir überprüfen, ob eine vermutete Restriktion auch tatsächlich zutrifft? 3.12.2004 Ökonometrie I

Produktionsfunktion: Forts. OLS-Anpassung von Q*=log Q = g + a log K + b log L + u (mit g = log A) gibt Für die Summe der Koeffizienten ergibt sich a + b = 0.376+0.603 = 0.979 95%-iges Konfidenzintervall: 0.850 ≤ a + b ≤ 1.108 Deutlicher Hinweis auf konstante Skalenerträge! 3.12.2004 Ökonometrie I

Lineare Restriktionen: Notation Spezifiziertes Modell: y = Xb + u g lineare Restriktion: Hb = h H hat Ordnung gxk, h ist g-Vektor 3.12.2004 Ökonometrie I

Beispiel Die Koeffizienten sollen erfüllen b1 + b2 = 0 b3 = 1 Matrixform: Hß = h mit 3.12.2004 Ökonometrie I

Beispiel Vergleich von [X: nx(k-g), Z: nxg] y = Xb + u und y = Xb + Zg + v Restriktion g = 0 oder mit 3.12.2004 Ökonometrie I

Restringierte Schätzer Methoden: Substitutionsmethode: Berücksichtigen der Restriktionen durch Eliminieren von Regressionskoeffizienten Lagrange-Methode: Erweitern der Summe der Fehlerquadrate zur Lagrange-Funktion, Minimieren der Lagrange-Funktion 3.12.2004 Ökonometrie I

Produktionsfunktion: Forts. Berücksichtigen der Restriktion a + b = 1 durch Eliminieren von b = 1 – a: Anpassen von Q* = log Q – log L = g + a (logK-logL) + u Restringierte Schätzer aR = 0.363 (a = 0.376) und bR = 1- 0.363 = 0.637 (b = 0.603) 3.12.2004 Ökonometrie I

Lagrange-Methode Gesucht sind Schätzer für b aus y = Xb + u mit Hb=h Minimieren der Lagrange-Funktion liefert die restringierten OLS-Schätzer Je schlechter die nicht-restringierten Schätzer die Restriktionen erfüllen, umso größer ist die Abweichung zwischen dem nicht-restringierten und dem restringierten Schätzer (die Korrektur)! 3.12.2004 Ökonometrie I

Konsequenzen von Restriktionen Irrtümlich restringierter OLS-Schätzer Schätzer verzerrt Minimale Varianz des Schätzer Überschätzte Varianz der Störgrößen Irrtümlich nicht restringierter OLS-Schätzer Schätzer unverzerrt Varianz des Schätzer zu groß 3.12.2004 Ökonometrie I

Test von Restriktionen H0: Hb = h 1. Wald‘sche Teststatistik: auf Basis von d = Hb-h mit nicht-restringiertem OLS-Schätzer b: Unter H0 sollte einen kleinen Wert haben 2. Modellvergleich mittels F-Test (siehe „Missspezifikation: Konsequenzen und Tests“) 3.12.2004 Ökonometrie I

Wald-Test Test von H0: Hb = h mittels Wald‘scher Teststatistik Die Chi-Quadrat-Verteilung gilt unter H0 näherungsweise (großes n) Die Teststatistik F = W/g ist näherungsweise F-verteilt mit g und n-k Freiheitsgraden Verwerfen von H0 bei kleinem p-Wert 3.12.2004 Ökonometrie I

Modellvergleich Test durch Vergleich des restringierten Modells mit dem nicht-restringierten Modell Die F-Verteilung gilt unter H0 näherungsweise (großes n) Ausführen der Tests: Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von S = e'e Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln von SR = eR'eR Einsetzen in F Wald‘sche Teststatistik kann man berechnen als W = gF 3.12.2004 Ökonometrie I

Asymptotische Tests Wald-Test: überprüft, inwieweit die nicht-restringierten Schätzer die Restriktionen erfüllen Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test): untersucht, ob die Ableitung der Likelihood-Funktion (die score-Funktion), an der Stelle der restringierten Schätzer einen Wert nahe bei Null hat Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test): untersucht, ob das logarithmierte Verhältnis der Likelihood-Funktionen, die sich an der Stelle der restringierten und der nicht-restringierten Schätzer ergeben, nahe bei Null liegt Die Teststatistiken aller drei Tests folgen unter H0 näherungsweise (großes n) der Chi-Quadrat-Verteilung mit g Freiheitsgraden 3.12.2004 Ökonometrie I

Asymptotische Tests 3.12.2004 Ökonometrie I

Asymptotische Tests: Berechnung Wald-Test: W = gF siehe oben Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test): Re2:Bestimmtheitsmaß der Regression der restringierten Residuen eR auf X Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test): 3.12.2004 Ökonometrie I

Produktionsfunktion: Tests Wald-Test von H0: a+b=1: W=0.116, p-Wert: 0.734 3.12.2004 Ökonometrie I