Kapitel 6 Variablenauswahl und Missspezifikation

Einkommen und Konsum: Zuwachsraten PCR_D4: Privater Konsum, real, Zuwachsrate PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real, Zuwachsrate 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Konsumfunktion mit Trend Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/06/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.018102 0.001932 9.371381 0.0000 PYR_D4 0.658909 0.044736 14.72892 0.0000 TREND -0.090201 0.019479 -4.630597 0.0000 R-squared 0.700178 Mean dependent var 0.024451 Adjusted R-squared 0.695529 S.D. dependent var 0.014821 S.E. of regression 0.008178 Akaike info criterion -6.752286 Sum squared resid 0.008627 Schwarz criterion -6.686768 Log likelihood 448.6509 F-statistic 150.6275 Durbin-Watson stat 0.564318 Prob(F-statistic) 0.000000 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Konsumfunktion mit Trend AWM-Datenbasis C: Privater Konsum, Zuwachsraten (PCR) Y: Verfügbares Einkommen der Haushalte, Zuwachsraten (PYR) Erweiterung des Modells um Trend Tt = t/1000 C = a + b Y + g T + u liefert Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Konsumfunktion mit Trend, Forts. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Vergleich der Schätzer für b OLS-Schätzer für b von C = a + b Y + u OLS-Schätzer für b von C = a + b Y + g T + u bcy.t und bcy stimmen nur überein, wenn ryt=0 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6) Der allgemeine Fall OLS-Schätzer für b2 von Y = b1 + b2 X2 + u bzw. von Y = b1 + b2 X2 + b3 X3 + u zeigt, wie by2 zu korrigieren ist, wenn X3 im Modell enthalten Unkorrelierte oder orthogonale Regressoren (r23=0, b23=0): by2.3=by2 Beliebige, nicht orthogonale Regressoren: by2.3 kann größer oder kleiner als by2 sein Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6) Multiple Regression Vergleich der Modelle Y = Xb + u (A) Y = Xb + Zg + v (B) OLS-Schätzer b für b aus (A): OLS-Schätzer für b aus (B) kann auf zwei Arten geschrieben werden: mit Mz = I-Z(Z‘Z)-1Z‘ Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Interpretation des Schätzers Darstellung (1) zeigt Korrektur von b für Berücksichtigung von Z Darstellung (2): mit den Residuen können wir schreiben Den Schätzer erhalten wir also auch durch OLS-Anpassung von Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Interpretation von , Forts. gibt den Effekt einer Änderung der Regressoren aus X an, nachdem der Effekt der Regressoren aus Z berücksichtigt wurde Partielle Regressionskoeffizienten: Z enthalte alle Regressoren außer die Variable X (gilt für jedes X); repräsentiert den Effekt von X auf Y, nachdem die Information aus X über Y, die in den Zi enthalten ist, bereits berücksichtigt wurde mit kommt nur mehr die nicht schon in den Zi enthaltene Information zum Tragen; wir nennen die Regressionskoeffizienten einer multiplen Regression auch partielle Regressionskoeffizienten Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Konsumfunktion mit Trend, Forts. Residuen von C = a + b T + u: Analog: Regression von Konsum-Residuen auf Einkommens-Residuen: Vergleiche: Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Frisch-Waugh-Theorem Werden alle Regressoren hinsichtlich einer Variablen durch OLS-Anpassung adjustiert und in der Regression die Regressoren durch die so erhaltenen Residuen ersetzt, so ergeben sich die gleichen Schätzer wie im Modell, das die nicht-adjustierten Variablen und zusätzlich die adjustierende Variable enthält. Beispiel: Behandlung eines Trends Elimination des Trends aus abhängiger Variabler und aus Regressoren; Modellierung mit adjustierten Variablen Berücksichtigung eines Trends im Modell gibt die gleichen Schätzer Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Zwei Fälle von Missspezifikation Ein relevanter Regressor bleibt im Modell unberücksichtigt Ein nicht relevanter Regressor wird in das Modell aufgenommen Untersuchung mittels der Modelle (A) und (B): Fall 1: Modell (B) ist korrekt, wir spezifizieren fälschlich Modell (A); welche Eigenschaften hat der Schätzer b? Fall 2: Modell (A) ist korrekt, wir spezifizieren fälschlich Modell (B); welche Eigenschaften hat der Schätzer ? Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Eigenschaften von b und B = (X‘X)-1X‘y ist bester, erwartungstreuer Schätzer für b aus Modell (A) Var(b) = s2(X‘X)-1 Gilt Modell (B), so ergibt sich Man kann zeigen Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Eigenschaften von b im Fall (1) Relevante Regressoren nicht berücksichtigt b ist verzerrt: Das Vorzeichen des Bias ist schwer abzuschätzen Die Varianz der Störgrößen wird überschätzt Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Konsumfunktion mit Trend, Forts. Das Modell lässt den Regressor T unberücksichtigt: Bias des Vektors der Schätzer (a, b)': (X‘X)-1X‘tg Wir erhalten für b: und Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Eigenschaften von im Fall (2) Nicht relevante Regressoren werden berücksichtigt ist unverzerrt Zu große Varianzen keine effizienten Schätzer Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6) Tests für H0: g = 0 Entscheidung zwischen [X: nx(k-g), Z: nxg] Y = Xb + u und Y = Xb + Zg + v H0: g = 0 bedeutet, dass kein Regressor aus Z relevant ist H1: g ≠ 0 bedeutet, dass mindestens ein Regressor aus Z relevant ist Wenn g =1: t -Test Wenn g >1: F-Test Varianten des F-Tests Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6) F-Test Asymptotische Verteilung von N[g, s2(Z‘MxZ)-1] gilt exakt, wenn v ~ N(0,s2I) Die Teststatistik F des F-Tests ist unter H0: g = 0 verteilt nach F(g, n-k) Vergleiche F-Statistik (5.4.4) mit Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

F-Statistik: Schreibweisen e: Residuen aus Y = Xb + u: Wegen ergibt sich bzw. die Ungleichung Die Summe der quadrierten Residuen kann durch Hinzufügen von erklärenden Variablen nicht größer werden. mit SR=e‘e und analog S; der Index R steht für „restringiert“ (g = 0) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

F-Statistik: Berechnung In drei Schritten: Anpassen des kurzen Modells Y = Xb + u an die Regressoren aus X, Berechnen der Residuen e Anpassen des weiteren Modells Y = Xb + Zg + v an die Variablen aus X und Z, Berechnen der Residuen Berechnen von Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6) Konsumfunktion, Forts. Drei Schritte: Anpassen des kurzen Modells Y = Xb + u an die Regressoren aus X, e‘e = 0.010061 Anpassen des weiteren Modells Y = Xb + Zg + v an die Variablen aus X und Z, = 0.008627 Berechnen von p-Wert: 0.000009 t-Statistik für Trendvariable: -4.6306; ergibt quadriert: 21.44 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6) Konsumfunktion, Forts. Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010708 0.001169 9.156915 0.0000 PYR_D4 0.717628 0.046151 15.54963 0.0000 R-squared 0.650341 Mean dependent var 0.024451 Adjusted R-squared 0.647652 S.D. dependent var 0.014821 S.E. of regression 0.008797 Akaike info criterion -6.613670 Sum squared resid 0.010061 Schwarz criterion -6.569991 Log likelihood 438.5022 F-statistic 241.7910 Durbin-Watson stat 0.502740 Prob(F-statistic) 0.000000 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Konsumfunktion mit Trend Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/06/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.018102 0.001932 9.371381 0.0000 PYR_D4 0.658909 0.044736 14.72892 0.0000 TREND -0.090201 0.019479 -4.630597 0.0000 R-squared 0.700178 Mean dependent var 0.024451 Adjusted R-squared 0.695529 S.D. dependent var 0.014821 S.E. of regression 0.008178 Akaike info criterion -6.752286 Sum squared resid 0.008627 Schwarz criterion -6.686768 Log likelihood 448.6509 F-statistic 150.6275 Durbin-Watson stat 0.564318 Prob(F-statistic) 0.000000 (-4.630597)2 = 21.4424 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6) F-Test: Variante Teststatistik mit Bestimmtheitsmaß Re2 aus der Regression der Residuen e auf Regressoren aus X und Z Die Teststatistik gF ist unter H0: g = 0 näherungsweise nach der Chi-Quadrat-Verteilung mit g Freiheitsgraden verteilt Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6) Ramsey‘s RESET-Test RESET: Regression Equation Specification Error Zum Überprüfen der funktionalen Form der Regressoren Testet H0: g = 0 für Y = Xb + Zg + v mit Zutreffen von H0 bedeutet, dass die funktionale Form (Linearität) der Regressoren korrekt ist Tests: t-Test, wenn g = 1 F-Test asymptotischer Chi-Quadrat-Test (Teststatistik gF) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6) Konsumfunktion, Forts. Spezifikation C = a + bY + u liefert Überprüfen durch Erweitern: mit Standardfehler 3.976 für den Koeffizienten von Ĉ; t -Test gibt p-Wert von 0.437 Kein Hinweis auf Fehler in der funktionalen Form Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6) Konsumfunktion, Forts. Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/07/05 Time: 18:09 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010918 0.001202 9.084925 0.0000 PYR_D4 0.826382 0.146943 5.623812 0.0000 PCR_D4F^2 -3.100132 3.976149 -0.779682 0.4370 R-squared 0.651981 Mean dependent var 0.024451 Adjusted R-squared 0.646586 S.D. dependent var 0.014821 S.E. of regression 0.008811 Akaike info criterion -6.603220 Sum squared resid 0.010014 Schwarz criterion -6.537701 Log likelihood 438.8125 F-statistic 120.8348 Durbin-Watson stat 0.499780 Prob(F-statistic) 0.000000 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)