Kapitel 9 Analyse der Modellstruktur

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Rekursive OLS-Schätzung Spezifiziertes Modell: y = X + u y, u: n-Vektoren; X: Ordnung n x k, : k-Vektor b t : OLS-Schätzer für aus Beobachtungen {(x i, Y i ), i =1,...,t } b t = (X t X t ) -1 X t y t, t =k+1,...,n mit X t : Ordnung t x k, y t : t-Vektor Rekursive Beziehung zum Berechnen der b t Var{b t } = 2 (X t X t ) -1

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 3 Konsumfunktion OLS-Anpassung an Österreichische Jahres-Daten 1954 bis 1999: rekursiv geschätzte marginale Konsum- neigung und Kon- fidenzband ( =0.95)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 4 Dummy-Variable Regressor, der das Zutreffen eines bestimmen Umstandes anzeigt; er hat den Wert 1 in Perioden, in denen der Umstand zutrifft, sonst den Wert 0 Beispiele: Konjunktur/Stagnation Zeit vor/nach Ölpreis-Schock Regionen (Stadt/Land) Saisonen des Jahres

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 5 Dummy-Variable für Saisonen Für die Saisonen sind definiert: Frühlings-Dummy Q 1t hat den Wert 1 in jedem ersten Quartal; analog das Sommer-Dummy (i = 2), etc. Beachte: Für jede Periode (t = 1,…, n) gilt Q 1t + Q 2t + Q 3t + Q 4t = 1

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 6 Modelle für Quartalsdaten Das Modell Y = + X + u berücksichtigt keine saisonalen Effekte Modell mit saisonspezifischem Interzept und Anstieg: Y t = + X t + u t Schreibweise mit Saison-Dummyvariablen Q it : Y t = i Q it + i Q it X t + u t oder Y t = Q 2t Q 3t Q 4t + X t + Q 2t X t + Q 3t X t + Q 4t X t + u t mit,, i = 2,3,4.

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 7 Modelle für Quartalsdaten, Forts. Modell mit saisonspezifischem Interzept, aber gemeinsamen Anstieg Y t = i Q it + X t + u t = + i Q it + X t + u t Modell mit gemeinsamem Interzept, aber saisonspezifischem Anstieg Y t = + i Q it X t + u t

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 8 Strukturbruch Strukturbruch: Der datengenerierende Prozess kann in Teilbereichen des Beobachtungszeitraums durch das gleiche Modell beschrieben werden; den Teilbereichen entsprechen aber unterschiedliche Werte einiger oder aller Regressionskoeffizienten Den Teilbereichen (Regimen) entsprechen unterschiedliche Strukturen Strukturbruch-Analyse: Gibt es Teilbereiche mit unterschiedlichen Strukturen? Wann hat der Strukturbruch stattgefunden? Schätzung des Zeitpunktes des Strukturbruchs (change point)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 9 Chow-Test Chow-Test: Zum entscheiden, ob unterschiedliche Strukturen vermutet werden müssen oder nicht Voraussetzungen: 1. Teilbereiche mit konstanter Struktur können identifiziert werden 2. bekannter Zeitpunkt, zu dem der Übergang zwischen den Regimen stattgefunden hat 3. ausreichende Anzahl von Beobachtungen aus jedem Regime, so dass das Modell an die Daten jedes einzelnen Regimes angepasst und die Residuen bestimmen werden können Oft erlauben Dummies das Modellieren von Regimen

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 10 Chow-Test, Forts. Vermutung: der datengenerierende Prozess läuft in mehreren Regimen ab; das Modell muss hinsichtlich seiner Koeffizienten regimespe- zifisch angepasst werden Nullhypothese: die Regressionskoeffizienten sind in allen Teilbereichen des Beobachtungszeitraums die gleichen Alternative: zu bestimmten Zeitpunkten ändern das Interzept und einige oder alle anderen Regressionskoeffizienten ihren Wert

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 11 Chow-Test, Forts. Modell mit zwei Regimen: die partitionierten Größen y, X, und u entsprechen den Größen vor und nach dem Strukturbruch Nullhypothese (kein Strukturbruch) H 0 : 1 = 2 kann mittels F-Test überprüft werden: S: Summe der Fehlerquadrate im Modell mit Strukturbruch S R : Summe der Fehlerquadrate im Modell unter H 0

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 12 Chow-Test, Forts. Die F-Statistik folgt bei Zutreffen von H 0 der F-Verteilung F(k,n-2k) bei normalverteilten Störgrößen näherungsweise der Chi-Quadrat-Verteilung (k) bei großem n

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 13 Konsumfunktion, Forts. OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen bis 1971: b = 0.817, S 1 = bis 1999: b = 0.824, S 2 = F-Statistik: p-Wert: 0.004

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 14 Chow-Test für m Regime Verallgemeinerung: m Regime H 0 : 1 = … = m F-Statistik S i : Summe der Fehlerquadrate im Modell für i - tes Regime (i = 1,…, m) Verteilung von F: F(k,n-mk) oder ([m-1]k)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 15 Chows Prognosetest Änderung der Struktur gegen Ende des Beobachtungszeitraums, nach der Änderung p < k Beobachtungen: Der Chow-Test ist nicht anwendbar Anpassen des Modells y = X + u an Beobachtungen t = 1,…, n-p gibt OLS-Schätzer b Prognose ŷ f =X f b für Beobachtungen t = n-p+1,…, n Der Prognosetest prüft die Nullhypothese, dass das Modell auch im Prognosebereich gültig ist: H 0 : y f = X f + u F-Statistik (mit Prognosefehlern e f )

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 16 Prognosetest: Berechnung von F 1. Anpassen des Modells an die n-p Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate S D 2. Anpassen des Modells an alle n Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate S D+F 3. Einsetzen in F-Statistik gibt

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 17 Konsumfunktion, Forts. OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen bis 1991: S 91 = bis 1999: S 2 = F-Statistik des Prognosetests p-Wert:

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 18 Rekursive Residuen Modell y = X + u Rekursive Residuen sind definiert als 1-Schritt Prognosefehler: b t ist OLS-Schätzer von b auf Basis der Beobachtungen {(x i, Y i ), i=1,...,t} Der (n-k)-Vektor w folgt (bei normalverteilten Störgrößen) w ~ N(0, 2 I) Gut geeignet für Konstruktion von Tests zur Struktursta- bilität

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 19 Konsumfunktion, Forts. Rekursive Residuen

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 20 Tests zur Strukturstabilität Test, die auf Basis der rekursiven Residuen konstruiert sind: CUSUM Test MOSUM Test CUSUM-SQ Test CUSUM Test: Kritische Schranken nach Brown et al. (1975)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie 21 Konsumfunktion, Forts. CUSUM Test