Teilchen-Welle Dualismus, Wellenpakete und das Unschärfeprinzip

Zuordnung einer Wellenfunktion ( 1dimensional, nicht relativistisch) Einführung von Operatoren

Wir basteln uns ein Wellenpaket! ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px

Fouriertransformation Für t=0 Wellenfunktion im Ortsraum Wellenfunktion im Impulsraum

Gauß‘sches Wellenpaket g Breite des Wellenpakets , g=Dpx /2 Fouriertransformation

Je breiter die Impulsverteilung, desto schmaler die Ortsverteilung und umgekehrt Heisenberg‘sche Unschärfe : Ebenso:

Zeitabhängigkeit der Wellenpakete! ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px

Phasenfaktor: Werte des Integrals groß für Gruppengeschwindigkeit vg Phasengeschwindigkeit

Dispersion, Zerlaufen des Wellenpakets Taylorentwicklung

Wellenpakete x Wellenpaket bewegt sich mit v0 = po/m und zerfliesst

im zweiatomigen Molekül V(R) im zweiatomigen Molekül Idealisiert: Harmonischer Oszillator Überlagerung von äquidistanten Eigenzuständen Breite des Wellenpakets oszilliert Wellenpakete R V( R) R

Elektronenbeugung am Doppelspalt

Welcher Weg Experiment Interferenzen im Streulicht zweier Ionen Laserkühlung von zwei Hg Ionen Falle D1 D2 Laser beam z f Analog zum Young‘schen Doppelspalt Experiment Spalte ersetzt durch zwei Ionen NIST,Boulder D. Wineland, 1993

Interferenz im Streulicht zweier Ionen Ionenabstand: 5.4mm 4.3mm 3.7mm

Welcher Weg Experiment Ion1 Ion2 m ½ -½ 6p 6s Ion1 Ion2 6p 6s m ½ -½ p = p s p s Itano et al, Phys.Rev. A 1998

Welcher Weg Experiment Interferenzen im Streulicht zweier Ionen Polarisationssensitive Detektion f z D2 D1 Falle Laser beam Eichmann et al, Phys.Rev.Lett. 1993 NIST,Boulder D. Wineland

Polarisationssensitive Fluoreszenzlichtmessung Keine Welcher-Weg Information : Interferenz s) Welcher-Weg Information kodiert in inneren Zuständen des Ions: keine Interferenz

Linearer Chirp Lichtpuls kein “Chirp” dispersives Medium Lichtpuls mit negativem “Chirp” Zeitliche Ordnung der Frequenzkomponenten im Laserpuls

Chirp Crab nebula 6000 Lichtjahre entfernt Radiopulse Staelin und Reifenstein 1968

Chirp: Veränderung der Frequenz mit der Zeit Brehm’s Tierleben Der Kanarienvogel Chirp: Veränderung der Frequenz mit der Zeit

Zuordnung einer Wellenfunktion ( 1dimensional, nicht relativistisch) Einführung von Operatoren

Zugehörige Wellengleichung (Schrödingergleichung für ein freies Teilchen) 1 dim 3dim

(1 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(x,t) Hamiltonoperator: Kinetische und potentielle Energie

(3 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(r,t) Das ist fast schon alles!

Statistische Interpretation der Wellenfunktion M. Born 1926 "for his fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of the wavefunction Nobel prize 1954

Zeitliche Entwicklung von Erwartungswerten <A> =

Hermetizität Für einen reellen Erwartungswert gilt: Falls A nicht explizit von der Zeit abhängt gilt mit Definition: Kommutator Alle Operatoren, die mit H vertauschen (kommutieren),d.h. wenn der Kommutator null ist, sind Erhaltungsgrößen

Schrödingergleichung ist linear, erlaubt Superposition Zeitunabhängige Schrödingergleichung Falls das Potential nicht explizit zeitabhängig ist, gibt es stationäre Lösungen der Form:

Energieeigenzustände Es kann mehrere Energieeigenwerte mit den dazu gehörigen Eigenfunktionen zu einem Hamiltonoperator geben. Falls zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen existieren, so spricht man von Entartung. Kronecker Symbol Eigenfunktionen sind orthogonal

Entwicklung nach vollständigem Orthonormalsystem Cn Wahrscheinlichkeitsamplituden Messung des Eigenwertes an

Dirac Schreibweise Damit schreibt sich die Projektion als Matrixelement

Kommutierende Observablen Kommutieren zwei Observable A und B, dann existiert ein kompletter Satz von Eigenfunktionen zu A und B. Falls [A,B] ungleich null, dann können beide Observablen nicht gleichzeitig scharf gemessen werden. Beispiel: Ort und Impuls Kompletter Satz von kommutierenden Observablen ist die größte Anzahl kommutierender Observablen für ein Problem.

Eindimensionale Beispiele Kastenpotential V(x)=0 für |x|<a V(x)=unendlich für x<-a und x>a für |x|<a Mit Randbedingungen folgt: Lösungen n=1,3,5... n=2,4,6...

Eigenwerte n=1,2,3.. Bemerkungen Nullpunktsenergie von null verschieden Gerade und ungerade Funktionen Paritätsoperator

Eindimensionaler harmonischer Oszillator Bedeutung in der Physik Quantisierung des elektromagnetischen Feldes, Molekülzustände, Gittervibrationen, Näherung in der Umgebung eines Minimums im Minimum

und

Ansatz: Hn Hermite-Polynome folgen aus einem Potenzreihenansatz Lösungen´nur für e= 2n+1 Eigenwerte Eigenfunktionen

Ist die Grundzustandsenergie verträglich mit dem Unschärfeprinzip? Antwort folgt

Simultane Eigenfunktionen zu L2 und Lz : Drehimpuls klassisch umsetzen in q.m. Ausdruck, kartesische ->sphärische Koordinaten Operatoren Simultane Eigenfunktionen zu L2 und Lz : L2 und Lz vertauschen mit H: Erhaltungsgrößen Eigenwerte l(l+1) und m (magnetische Hauptquantenzahl, Werte von m: -l,l+1,...l-1,l) Kugelflächenfunktionen präzediert , daher keine Erhaltungsgröße

Zentralpotentiale Potential V( r )

Simultane Eigenfunktionen zu H, L2,Lz Separation

Radialgleichung mit Veff(r)