Drehimpuls, Bohrsches Atommodell Wasserstoffatom WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 9. Vorlesung Drehimpuls, Bohrsches Atommodell Wasserstoffatom

Noethersches Theorem Ansuchen 1915: Eure Exzellenz bittet die mathematisch-naturwissenschaftliche Abteilung der philosophischen Fakultät der Göttinger Universität ehrerbietigst, ihr im Falle des Habilitations- gesuches von Fräulein Dr. Emmy Noether (für Mathematik) Dispens von dem Erlaß des 29. Mai 1908 gewähren zu wollen, nach welchem die Habilitation von Frauen unzulässig ist. Antwort des Ministers 1917: Die Zulassung von Frauen zur Habilitation als Privatdozent begegnet in akademischen Kreisen nach wie vor erheblichen Bedenken. Da die Frage nur grundsätzlich entschieden werden kann, vermag ich auch die Zulassung von Ausnahmen nicht zu genehmigen, selbst wenn im Einzelfall dadurch gewisse Härten unvermeidbar sind. Emmy Noether (1882 – 1935) Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße und umgekehrt.

Noethersches Theorem Für reibungsfreie Systeme gilt: Kein Zeitpunkt ausgezeichnet – Energieerhaltung Kein Ort ausgezeichnet – Impulserhaltung Keine Richtung ausgezeichnet – Drehimpulserhaltung Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße und umgekehrt.

Keplerproblem Bei der Lösung des Keplerproblems (Planetenbahnen) können die Erhaltungsgrößen ausgenutzt werden Impulserhaltung, Aufspaltung Schwerpunkts- und Relativbewegung Drehimpulserhaltung, 2. Keplersches Gesetz (Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen)

Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms Zeitunabhängige Schrödingergleichung (Relativbewegung) Zusätzlich: Schwerpunktsbwegung entspricht „freiem Teilchen“

Drehimpulsbewegung Die Behandlung des Drehimpulses in der Quantenmechanik ist komplizierter als in der klassischen Mechanik 2d – Winkelanteil der Wellenfunktion entspricht freiem Teilchen, das sich entlang eines Kreises bewegt (Quantisierungsbedingung) Drehimpulsoperator Lz in 2d Eigenzustände von Lz in 2d

Bohrsches Atommodell Das Bohrsche Atommodell liefert die richtigen Eigenenergien des Wasserstoffatoms (Lösungen der Schrödingergleichung sind komplizierter, s.u.) Quantisierungsbedingung für Drehimpuls Stabile Bahn … Anziehungskraft = Zentrifugalkraft Grundzustand : Bohrscher Radius und Rydbergenergie

Bohrsches Atommodell Die Energien für stabile Elektronen- bahnen ergeben sich im Bohrschen Atommodell zu (E0 ist Rydbergenergie)

Lösung der Schrödingergleichung Im Gegensatz zur klassischen Physik, sind in der Quantenmechanik nicht alle drei Komponenten des Drehimpulses erhalten Heuristisches Argument : Wären Lx, Ly und Lz des Drehimpulses bestimmt, so wäre die Bewegungs- ebene des Elektrons eindeutig bestimmt. Das wäre im Widerspruch zur Heisenbergschen Unschärferelation. In der Quantenmechanik sind nur der Betrag L des Drehimpulses sowie Lz erhalten

Drehimpuls (Quantenmechanik) Betrag des Drehimpulses Projektion des Drehimpulses Es gilt stets |Lz| < L, somit ist die Bewegungsebene des Elektrons nicht genau bestimmt

Drehimpulszustände Die Drehimpulsquantenzahl l bestimmt die Zahl der Knoten der Wellenfunktion in Winkelrichtung, ml bestimmt die Zahl der Knoten in Azimuthalrichtung

Drehimpulszustände l=0, keine Knoten („s-Zustand“) l=1, ein Knoten in x-, y- oder z-Richtung („p-Zustände“)

Drehimpulszustände l=2, zwei Knoten („d-Zustände“)

Drehimpulszustände

Wasserstofforbitale Die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung für das Wasser- stoffatom sind durch 3 Quantenzahlen charakterisiert Die Energie der Zustände wird ausschließlich durch die Hauptquantenzahl n bestimmt (E0 ist Rydbergkonstante) Gleiches Ergebnis wie Bohrsches Atommodell (Glück) Bezeichnung für unterschiedliche Schalen K (n=1), L (n=2), M (n=3), …

Wasserstofforbitale

Wasserstoffatom (Spektroskopie) Bei optischen Übergängen muß die Energie erhalten bleiben Spektroskopie erlaubt genaue Bestimmung der Übergangsenergien

Übergänge zwischen verschiedenen Schalen Nobelpreis 1922

Pauliprinzip Zusätzlich zu den Quantenzahlen n, l, m besitzt das Elektron auch einen Spin, in einem Atom mit mehreren Elektronen kann jeder Zustand nur mit einem Elektron besetzt werden Elektronen müssen sich in einer der Quantenzahlen n, l, m ( + Spin ) unterscheiden. Wolfgang Pauli (1900 – 1958)

Aufbauprinzip der Materie Die atomaren Schalen werden sukzessive mit Elektronen gefüllt (pro Zustand jeweils nur ein Elektron, Pauliprinzip) Innerhalb einer Schale haben alle Elektronen dieselbe Energie. Aufgrund der Elektron-Elektron-Wechselwirkung erfolgt das Auffüllen der Zustände anhand der sogenannten Hundschen Regeln (siehe Atom-, Molekül- & Festkörperphysik) Minimierung des Bahndrehimpulses Maximierung des Spins

Aufbauprinzip der Materie