Kapitel 13 Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Privater Konsum Privater Konsum, Ö, Mrd.EUR, in Preisen von 1995 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Privater Konsum, Forts. Änderung des Privaten Konsums, Mrd.EUR, in Preisen von 1995 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Persönlich verfügbares Einkommen Quartalsdaten Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Zeitreihe Ist eine zeitlich geordnete Folge von Beobachtungen einer Zufallsvariablen Beispiele: Jährliche Werte des Privaten Konsums Änderungen der Ausgaben für Privaten Konsum Quartalswerte des persönlich verfügbaren Einkommens Monatliche Werte der Importe Notation: Zufallsvariable Y Folge von Beobachtungen: Y1, Y2, ... , Yn Zeitreihe wird auch als Realisation eines stochastischen Prozesses aufgefasst Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Komponenten einer Zeitreihe Komponeten oder Charakteristika einer Zeitreihe sind Trend Saisonalität Irreguläre Fluktuationen Modell einer Zeitreihe soll die Charakteristika möglichst gut repräsentieren Darstellung der Zeitreihe Prognose (Extrapolation) Beispiel: Yt = βt + ΣiγiDit + ut mit Dit = 1 wenn t das i-te Quartal zum Beschreiben der Entwicklung des persönlichen Einkommens Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Stochastischer Prozess Ist eine Folge von Zufallsvariablen Yt: {Yt, t = 1, ..., n} {Yt, t = -∞, ..., ∞} Gemeinsame Verteilung der Y1, ... , Yn: p(y1, …., yn) Für viele Fragestellungen: wesentliches Charakteristikum von p(.) ist der Verlauf des Erwartungswertes mt = E{Yt} Beispiel: Extrapolieren einer Zeitreihe zum Zweck der Prognose Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie Stationarität Stationarität eines stochastischen Prozesses: Eigenschaft der gemeinsamen Verteilung, insbesondere der Varianzen Var{Yt} und der Kovarianzen Cov{Yt, Yt+k} Kovarianz-Funktion: gt,k = Cov{Yt, Yt+k}, k = 0, ±1,… Eigenschaften: gt,k = gt,-k gt,0 = 1 Schwach stationärer Prozess: E{Yt} = m für alle t Cov{Yt, Yt+k} = gk, k = 0, ±1, … für alle t und alle k auch kovarianz-stationärer Prozess Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie AC- und PAC-Funktion Autokorrelations-Funktion (AC-Funktion) ist von Skalierung von Y unabhängig; für stationären Prozess: rk = gk/g0, k = ..., -1, 0, +1,… Eigenschaften: |rk| ≤ 1 rk = r-k r0 = 1 Korrelogramm: graphische Darstellung der AC-Funktion Partielle Autokorrelations-Funktion (PAC-Funktion): fkk = Corr(Yt, Yt-k|Yt-1,...,Yt-k+1), k = ..., -1, 0, +1, … fkk ergibt sich aus Yt = fk0 + fk1Yt-1 + ... + fkkYt-k Partielles Korrelogramm: graphische Darstellung der PACF Hackl, Einführung in die Ökonometrie

AC- und PAC-Funktion, Forts. Beispiel: Weißes Rauschen rk = fkk = 1, wenn k = 0, rk = fkk = 0, wenn k ≠ 0, Schätzen der AC- und PAC-Funktion: Schätzer für rk: Schätzer für fkk ergibt sich als Koeffizient von Yt-k aus Regression von Yt auf Yt-1, …, Yt-k Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie AR(1)-Prozess Yt = jYt-1 + et, et Weißes Rauschen Alternative Darstellung: Yt = Si ji et-i Ist |j| < 1 ergibt sich |j| < 1 nennt man die Stationaritäts-Bedingung. AC-Funktion: rk = jk, k = 0, 1, … PAC-Funktion: f11 = j, fkk = 0 für k > 1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie AR(p)-Prozess Yt = a + j1Yt-1 + … + jpYt-p + et et Weißes Rauschen Lag-Operator L: verschiebt den Laufindex um eine Periode LYt = Yt-1 Es gilt: LsYt = Yt-s und im Speziellen L0Yt = Yt AR(p)-Prozess: Yt - j1Yt-1 - … - jpYt-p = (1 - j1L - … - jpLp)Yt = a + et oder kurz F(L)Yt = a + et mit dem Lag-Polynom F(L) Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie AR(p)-Prozess Stationaritäts-Bedingung: Für die p Wurzeln zi des Charakteristischen Polynoms F(z) = 1 - j1z - … - jpzp muss gelten: |zi| > 1, i = 1, …, p Man sagt die Wurzeln (Nullstellen) liegen außerhalb des Einheitskreises. Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie AR(p)-Prozess, Forts. Für stationäre AR(p) Prozesse gilt: AC-Funktion: fällt geometrisch ab PAC-Funktion: fkk = 0 für k > p Sie bricht nach der Ordnung p ab. Die Kenntnis der Form der AC- und PAC-Funktionen hilft beim Identifizieren der Ordnung des Prozesses. Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie MA(1)-Prozess Yt = a + ut - qut-1 = a + Q(L)ut ut Weißes Rauschen AR(∞)-Darstellung: Yt = a/(1-q) + ut + Si q iYt-i setzt voraus, dass |q| < 1 (Invertierbarkeits-Bedingung) Eigenschaften des MA(1)-Prozesses: Der Prozess ist für alle a und q stationär E{Yt} = a, Var{Yt} = s2(1+q2), g1 = s2q, g2 = 0 AC-Funktion: r1 = - q/(1-q2), rk = 0 für k > 1 PAC-Funktion: exponentiell abnehmend, wenn q > 0, sonst alternierend, exponentiell abnehmend Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie MA(q)-Prozess Yt = a + ut - q1ut-1 - … - qqut-q = a + Q(L)ut ut weißes Rauschen Eigenschaften des MA(q)-Prozesses: MA(q)-Prozess ist stets stationär AC-Funktion: rk = 0 für k > q PAC-Funktion: exponentiell abnehmend bei reellen Wurzeln des Charakteristischen Polynoms Q(z) = 0 in Cosinus- oder Sinus-Schwingungen abnehmend bei komplexen Wurzeln des Charakteristischen Polynoms Q(z) = 0 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Hackl, Einführung in die Ökonometrie ARMA(p,q)-Prozess Yt = a + j1Yt-1 + … + jpYt-p + et et = ut - q1ut-1 - … - qqut-q = Q(L)ut mit ut Weißes Rauschen; oder kurz F(L)Yt = a + Q(L)ut MA(∞)-Darstellung: Yt = y0 + Siyiut-i die Koeffizienten yi sind Funktionen der ji und qi AR(∞)-Darstellung analog Stationärität des ARMA(p,q)-Prozesses: wenn für alle p Wurzeln zi des Charakteristischen Polynoms F(z) = 1 - j1z - … - jpzp |zi| > 1 gilt. Hackl, Einführung in die Ökonometrie

ARMA(p,q)-Prozess: Übersicht Bedingung für AR(p) F(L)Yt=ut MA(q) Yt = Q(L)ut ARMA(p,q) F(L)Yt=Q(L)ut Stationarität Wurzeln zi von F(z)=0: |zi| > 1 stets stationär Invertibilität stets invertierbar Wurzeln zi von Q(z)=0: |zi| > 1 AC-Funktion gedämpft, unendlich rk = 0 für k>q PAC-Funktion fkk = 0 für k>p Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Identifizieren von ARMA-Modellen Vergleich der empirischen AC- und PAC-Funktion mit den theoretischen Gegenstücken Abbruch der PAC-Funktion: Hinweis auf Ordnung des AR-Prozesses AC-Funktion: Hinweis auf Ordnung des MA-Prozesses Empirisches Korrelogramm: rk Standardfehler aus Var{rk} ≈ (1+2Si ri2)/n für k>q, wenn ri = 0 für alle i > q Analog empirische Partielles Korrelogramm Hackl, Einführung in die Ökonometrie

Anwendung von ARMA Modellen Mit (univariaten) ARMA Modellen sind kurzfristig i.A. bessere Prognosen zu erzielen, als mit Strukturmodellen. Vorgansweise: z.B. privater, realer Konsum Ct Berechnen von log(Ct) [nicht stationär] Berechnen von Δ log(Ct) … Wachstumsrate von Ct [stationär] Modellieren von Δ log(Ct) als ARMA(p,q) Prognose für die folgenden 4 Perioden Hackl, Einführung in die Ökonometrie