Plenum Ganzrationale Funktionen Johannes-Kepler- Gymnasium Ganzrationale Funktionen Hinweis für den Lehrer: Eingangsfolie. Die Schüler nehmen Platz

Heute im Angebot Ein neuer Funktionstyp: Ganzrationale Funktionen Lernangebot Heute im Angebot Ein neuer Funktionstyp: Ganzrationale Funktionen Praktische Übungen zum Erkennen von ganzrationalen Funktionen. Kurvenverlauf von ganzrationalen Funktionen Die Folie erklärt sich selbst.

Volumen einer Schachtel Einstiegsbeispiel Volumen einer Schachtel 21 - 2x Term zur Volumenberechnung : (30-2x)(21-2x)x Hinweise für den Lehrer: Auf die Definitionsmenge eingehen, die Schreibweise noch einmal erläutern Funktion zur Volumenberechnung in Abhängigkeit von x V(x) = 4x3 - 102x2 + 630x Definitionsmenge D = {x| x є R, 0< x < 10,5}

Neue Funktionsterme Terme der Form 4x3 - 102x2 + 630x Definitionen Neue Funktionsterme Terme der Form anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 mit n є N und an≠ 0 nennt man Polynome 4x3 - 102x2 + 630x -7x5 + 2x3 – 4,2 3x6 –x5 + 6x4 – 9x3 – 88x2 + 10x -7 Der höchste Exponent n heißt Grad des Polynoms. Hinweise für den Lehrer: Die neuen Vokabeln „Grad eines Polynoms“ und „Koeffizient“ besonders eingehen Die reellen Zahlen an bis a0 heißen Koeffizienten.

Ganzrationale Funktionen Definitionen Ganzrationale Funktionen Eine Funktion f mit einem Polynom als Funktionsterm nennt man eine ganzrationale Funktion. Die Folie erklärt sich selbst Der Funktionsterm ist kein Polynom → h ist keine ganzrationale Funktion

Ganzrationale Funktionen unter der Lupe 3.Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x3 - x f(x)= x3 + x2 - 2x -2 Hinweise für den Lehrer: Den Grad der Polynome, die betrachtet werden zu Beginn erwähnen.

Ganzrationale Funktionen unter der Lupe 4.Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x4 - 2x3 - x2 + 2 f(x)= x4 - 3x3 - x2 + 3x Hinweise für den Lehrer: Den Grad der Polynome, die betrachtet werden zu Beginn erwähnen.

Ganzrationale Funktionen unter der Lupe 5.Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x5 - x3 f(x)= -x5 + 1,27x3 – 0,15x2 + 0,237 Hinweise für den Lehrer: Den Grad der Polynome, die betrachtet werden zu Beginn erwähnen.

Potenzfunktionen - ganzrationale Funktionen Direkter Vergleich Direkter Vergleich Potenzfunktionen - ganzrationale Funktionen aus der Nähe aus der Ferne f(x)= x3 g(x)= x3 - x f(x)= x4 g(x)= x4 - 2x3 – x2 +2 Die Folie erklärt sich selbst.

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Kurvenverlauf f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n wird für x  ∞ bzw. x  - ∞ vom Summanden anxn bestimmt. Ist an > 0 und n gerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  + ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  + ∞. Hinweise für den Lehrer: Erwähnen, dass die Beschreibungen „aus der Nähe“ und „aus der Ferne“ mathematisch nicht exakt formuliert sind. Ist an < 0 und n gerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  - ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  - ∞.

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Kurvenverlauf f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Ist an > 0 und n ungerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  - ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  + ∞. Ist an < 0 und n ungerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  + ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  - ∞. Siehe Folie 10

Deutschland sucht den Kurvenstar Casting - Beispiel Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = -x4 +3x3 +x2 -3x f(x) = -x4 +3x3 +x2 -3x Hinweise für den Lehrer: 4 bis 6 Schüler kommen nach vorn und spielen „Kurvenverlauf“. Die Blickrichtung für die pantomimische Darstellung des Kurvenverlaufs muss in Richtung Tafel gehen.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 1A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 2x5 +3x4 –7x Hinweise für den Lehrer: Die Schüler haben kurz Zeit sich zu entscheiden.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 1B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 2x5 +3x4 –7x Die Lösung wird angezeigt.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 2A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 7x4 –7x5 +x2 Hinweise für den Lehrer: Die Schüler haben kurz Zeit sich zu entscheiden.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 2B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 7x4 –7x5 +x2 Die Lösung wird angezeigt.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 3A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 10 -x +x2 -x3 +4x4 -10x5 +x6 -x7 +x8 Hinweise für den Lehrer: Die Schüler haben kurz Zeit sich zu entscheiden.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 3B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 10 -x +x2 -x3 +4x4 -10x5 +x6 -x7 +x8 Die Lösung wird angezeigt.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 4A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 5x6 –50x5 +75x4 +1280x3 +580x2 -6480x +14240 Hinweise für den Lehrer: Die Schüler haben kurz Zeit sich zu entscheiden.

Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar Casting 4B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 5x6 –50x5 +75x4 +1280x3 +580x2 -6480x +14240 Die Lösung wird angezeigt.

Punktsymmetrie zum Ursprung: Achsensymmetrie zur y-Achse: zu –x und zu x gehört derselbe y-Wert f(-x) = f(x) Hinweise für den Lehrer: Übungen zu f(-x) = f(x) und f(-x) = - f(x) müssen im Unterricht folgen. Punktsymmetrie zum Ursprung: die zu –x und zu x gehörige y-Werte unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen f(-x) = -f(x)

Symmetrie – einfach zu erkennen Gerade/Ungerade Symmetrie – einfach zu erkennen Bei ganzrationalen Funktionen erkennt man eine vorhandene Symmetrie sehr schnell. f(x)= -3x6 + 5x2 g(x)= x400 - 3x78 – 77 Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Solche ganzrationalen Funktionen heißen gerade. Die Folie erklärt sich selbst. h(x)= 4x7 - 5x3 + 9x k(x)= -22x431 - 3x91 Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Solche ganzrationalen Funktionen heißen ungerade.

Die drei Fragen Erkläre die Begriffe: „ Polynom“ und „ganzrationale Funktion“. Welchen Verlauf haben die Graphen der ganzrationalen Funktionen im Vergleich zu den Potenzfunktionen? Wie erkenne ich, welche dieser Funktionen Symmetrieeigenschaften besitzen? Die Folie erklärt sich selbst.

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