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1. Teil 2. Teil Cul Begriffe rund um Fachwerke Das Knotenpunkt-Verfahren Das Verfahren nach Cremona Das Ritter-Schnitt-Verfahren Das Culmann-Verfahren 2. Teil Cul © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Begriffe Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Linien-Tragwerke Cul Wird ein Träger nur in Richtung seiner Achse (Zug oder Druck) beansprucht, heißt er Stab. Linientragwerke, kurz „Träger“, sind Bauteile, deren Durchmesser sehr viel kleiner ist als die Länge. Tragwerke, die aus abgewinkelten, starr miteinander verbundenen Balken zusammengesetzt sind, werden als Rahmen bezeichnet. Beansprucht man einen Träger quer zu seiner Achse, so nennt man ihn einen Balken. Ein gekrümmter Balken heißt Bogen. © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Flächen-Tragwerke Cul Bei den Flächentragwerken unterscheidet man Scheiben, Platten und Schalen: Eine Scheibe ist ein ebenes Flächentragwerk, das nur Kräfte in seiner Ebene zu übertragen hat. Merkbild: Trennscheibe Eine Verbindung von Stäben kann ebenfalls „Scheibe“ genannt werden. Eine Platte ist auch eben, die Kräfte wirken aber senkrecht zu ihr. Merkbild: Schallplatte Eine Schale ist ein einfach oder doppelt gekrümmtes Flächentragwerk, das beliebige Kräfte übertragen kann. Merkbild: Eierschale © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Fragen Cul Tragwerke werden in zwei Gruppen eingeteilt. Welche sind das? Linien- und Flächentragwerke Was ist der Unterschied zwischen einem „Träger“ und einem „Balken“ ? „Träger“ ist die allgemeine Bezeichnung für Linientragwerke. Ein Balken ist ein spezieller Träger. Er wird quer zu seiner Achse beansprucht. Was ist der Unterschied zwischen einem „Rahmen“ und einem „Bogen“? Ein Bogen ist ein gebogener Träger, ein Rahmen ist ein zusammengesetzter Träger. Wie kann eine Verbindung aus drei Stäben genannt werden, wenn man sie als Flächentragwerk betrachtet? „Scheibe“ Was ist der Unterschied zwischen einer „Platte“ und einer „Scheibe“ ? Eine Platte überträgt Kräfte nur senkrecht, eine Scheibe nur parallel zu Ihrer Fläche. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Begriffe Cul Ein Fachwerk ist eine Konstruktion aus… Trägern, Stäben, Stangen soll Lasten, Spannungen, Momente aufnehmen. hat weniger Volumen, Stabilität, Material als ein entsprechender Massivträger. Dimensionierung der Stäbe Die Stabkräfte ermittelt man aus den … äußeren Kräften (Lager + Lasten), Abmessungen (Längen + Durchmesser) Gleichgewichtsbedingungen Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Kräfte Cul Innere Kräfte Zug- oder Druckkraft, die vom Stab übertragen wird. Äußere Kräfte Lasten, die von außen einwirken, z.B. eine Lagerkraft (wie FA) oder eine aufgeprägte Kraft (wie F1). © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Beschriftung Cul Stablinien = gezeichneter Stab  arabische Ziffern: 1, 2, 3 … Knoten(punkte) = Schnittpunkte der Stablinien  römische Ziffern: I, II, III … Merke: Alle äußeren Kräfte werden auf die Knoten verteilt © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Nullstab Cul „Nullstäbe“ Es ist ratsam, vor der eigentlichen Berechnung das Fachwerk auf Nullstäbe hin zu untersuchen, denn sie können bei der Berechnung weg­gelassen werden. Nullstäbe sind Stäbe, die weder Zug- noch Druckkräfte enthalten.  Sie sind jedoch in der Praxis notwendig: zur örtlichen Fixierung tragender Stäbe oder zur Verhinderung von Durchbiegungen. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Nullstab Cul Regel 1: An einem unbelasteten Knoten sind nur zwei Stäbe angeschlossen, die nicht in die gleiche Richtung zeigen. Beide Stäbe sind Nullstäbe. Auf welche beiden Stäbe (rechts) trifft das zu? F Regel 2: An einem belasteten Knoten sind nur zwei Stäbe angeschlossen und die äußere Kraft F greift in Richtung des einen Stabes an, so ist der andere Stab ein Nullstab. F F Regel 3: An einem unbelasteten Knoten sind drei Stäbe angeschlossen, von denen zwei in gleicher Richtung liegen, so ist der dritte Stab ein Nullstab. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Nullstäbe Cul Nach welcher Regel liegt jeweils ein Nullstab vor? [Quelle: www.ingenieurkurse.de/technische-mechanik-statik/fachwerke] Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Begriffe Cul Was meinen Sie? Welche Nullstäbe gibt es in diesem Fachwerk? [s.a. Tutorial auf https://www.youtube.com/watch?v=EijvFpvBEZY] Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Begriffe Cul Boden-Wand-FW Wo sind Nullstäbe an dem Fachwerk in der Skizze? Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Fragen Cul Was ist ein Fachwerk? Eine Konstruktion aus geraden starren Stäben. Was ist der Vorteil eines Fachwerks? Ein Fachwerksträger erfordert weniger Material als ein Massivträger. Wonach richtet sich der Durchmesser eines Fachwerkstabes? Nach der Größe seiner Stabkraft. Was ist der Unterschied zwischen “Knoten” und “Knotenpunkt” ? Knoten sind die Verbindungsstellen der realen Stäbe, Knotenpunkte die Schnittstellen der gedachten Stablinien. Römische Ziffern an einer Fachwerk-Skizze bezeichnen …? die Knotenpunkte Die Gewichtskraft eines Stabes zählt als innere oder als äußere Kraft ? als äußere Kraft. Wie behandelt man äußere Kräfte, die quer an der Mitte eines Stabes angreifen? Man zerlegt sie in Kräfte, die an den Knoten angreifen. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Statische Bestimmtheit Cul Ein Fachwerk kann instabil sein (zu wenig Stäbe), oder statisch bestimmt sein (alle Kräfte sind bestimmbar) oder statisch unbestimmt sein (mehr Stäbe als notwendig da). instabil statisch unbestimmt statisch bestimmt Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Statische Bestimmtheit Cul Statische Bestimmtheit ermitteln: Anzahl an vorhandenen Gleichungen Anzahl an unbekannten Kräften Vergleich Erstellbare Gleichungen: Jeder Knoten liefert 2 Gleichungen: ΣFx=0, ΣFy=0 k Knoten liefern 2k Gleichungen. Das Abzählkriterium für statische Bestimmtheit lautet: 2k = 3+s Unbekannte Kräfte: Ein Loslager entspricht einer unbekannten Kraft → 1 Ein Festlager entspricht zwei unbek. Kräften → 2 Jeder Stab beinhaltet eine unbekannte Kraft → s © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Statische Bestimmtheit Cul Drei Fachwerke Ermitteln Sie die statische Stabilität bzw. statische Bestimmtheit der abgebildeten drei Fachwerke - mit Begründung. 2 k = 3 + s 2·4 > 3+ 4 8 > 7 instabil 2 k = 3 + s 2·4 = 3+ 5 8 = 8 statisch bestimmt 2 k = 3 + s 2·4 < 3+ 6 8 < 9 statisch unbestimmt Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Statische Bestimmtheit Cul zur Erinnerung: © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Statische Bestimmtheit Cul Ein statisch bestimmter Stab, der mit zwei anderen Stäben ein Dreieck bildet, ist das einfachste ebene, statisch bestimmte Fachwerk. Denn: Dreieckige Fachwerke erfüllen immer s = 2k - 3 © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Verfahren zeichnerisch analytisch ganzes FW Cremona-Plan Knotenpunkt-Verfahren lokal Culmann-Verfahren Ritterscher Schnitt © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Knotenpunkt- Verfahren Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Knotenpunkt-Verfahren Cul „Rezept: Knotenpunkt-Verfahren“: Knoten (I, II, ..) und Stäbe (1, 2, ...) nummerieren Statische Bestimmtheit kontrollieren Nullstäbe kennzeichnen Freimachen, Lagerkräfte ermitteln. Freischnitt um ersten Knoten; dabei alle unbekannten Stabkräfte zunächst als Zugkräfte annehmen. Zerlegung der Stabkräfte in ihre Komponenten Kräfte-Bilanzen erstellen. Ergebnis-Tabelle erstellen: Kräfte in Zug-Stäben positiv, Kräfte in Druck-Stäbe negativ kennzeichnen Wird bei allen Verfahren durchgeführt. © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Knotenpunkt-Verfahren Cul Kran Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Knotenpunkt- Verfahren zu berechnen. Gegeben: F = 7,071 kN, a = 2,828 m FAx = 5 kN FAy = 15 kN FB = 20 kN Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Knotenpunkt-Verfahren Cul Boden-Wand-FW Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Knotenpunkt- Verfahren zu berechnen. Gegeben: F1 = F2 = F3 = 10 kN Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Cremona-Plan Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Cremona-Plan Cul „Rezept: Cremona-Plan“: Knoten (I, II, ..) und Stäbe (1, 2, ...) nummerieren Statische Bestimmtheit kontrollieren Nullstäbe kennzeichnen Freimachen, Lagerkräfte ermitteln. Umlaufsinn (Kraftfolge) festlegen Freischnitt des ersten Knotens = Lageplan; nur zwei unbekannte Kräfte dürfen vorliegen. Kräfteplan aufbauen. Stabkräfte nummerieren. Vergleich von Umlaufrichtung und Lageplan gibt an, ob ein Zug- oder Druckstab vorliegt. Stabkraft-Tabelle mit Kennzeichnung von Zug- (+) bzw. Druck-(-) Stäben erstellen. Wird bei allen Verfahren durchgeführt. © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Cremona-Plan Cul Brücke Ein Fachwerk wird mit den Kräften F1 , F2 und F3 , sowie FA und FB nach Skizze belastet. Alle Stabkräfte sollen mit Hilfe des Cremona-Plans ermittelt werden. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Cremona-Plan Stäbe und Knoten sind nummeriert. Das Fachwerk ist statisch bestimmt. Es gibt keine Nullstäbe. Lagerkräfte: FA = 5,75 kN, FB = 6,25 kN Knoten mit max. 2 unbekannten Stab- kräften aussuchen Hier fortfahren Lageplan 2, Zugstab Drehsinn festlegen Wirklinie der nächsten Kraft (nach dem Drehsinn) in den Kräfteplan ziehen FA 1, Druckstab Wirklinie der - nach dem Drehsinn - nächsten Kraft zeichnen Hier enden Kräfteplan (mit bekannter Kraft beginnen) © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Cremona-Plan Den ersten Kräfteplan behalten. Dann den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten II Lageplan hier enden 4- 3- FA im Drehsinn mit bekannten Kräften starten 2+ F1 1- hier weiter machen Kräfteplan © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Cremona-Plan Kräfteplan beibehalten. Jetzt den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten III hier weiter machen 6+ 5- 4- hier enden 3- FA im Drehsinn mit bekannten Kräften starten 2+ 1- Kräfteplan © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Cremona-Plan Jetzt den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten IV hier enden 8- hier weiter machen 7- F2 6+ 5- 4- 3- FA 2+ im Drehsinn mit bekannten Kräften starten 1- zur Lösung Kräfteplan © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Lösung Cremona-Plan Cul © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke

Cremona-Plan Cul Kran Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Cremona-Plan zu berechnen. Gegeben: F = 7,071 kN, a = 2,828 m zur Lösung Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Lösung Cremona-Plan Cul © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke

© Prof. Dr. Remo Ianniello Cremona-Plan Fachwerkträger Für den skizzierten Fachwerkträger sind die Stabkräfte zeichnerisch nach dem Cremona- Verfahren zu bestimmen. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Ritter-Schnitt- Verfahren Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Ritterscher Schnitt ΣM = 0 Cul Was ist das Verfahren nach Ritter? nicht ein Knoten, sondern mehrere Stellen Ansatz: Nicht nur Kräftebilanz, sondern auch Momentenbilanz. mehrere Stellen ΣM = 0 Georg Dietrich August Ritter (*1826, † 1908 in Lüneburg) war ein deutscher Professor für Mechanik und für Astrophysik. Er entwickelte das Rittersche Schnittverfahren zur Berechnung von Stabkräften in Fachwerken. © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Ritterscher Schnitt Cul Wie berechnet man nach Ritter? Ein Ritterscher Schnitt muss entweder durch drei Stäbe, die nicht alle demselben Knoten angehören, gehen oder durch einen Knoten und einen Stab Das Tragwerk zerfällt dabei in zwei Teile. Für jeden Teilkörper gelten die drei GGW- Bedingungen → Σ Fx, Σ Fy und Σ M = 0.  drei unbekannte Stabkräfte sind ermittelbar. © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Ritterscher Schnitt Cul Brücke Bestimmen Sie die Stabkräfte S4 = - 5,75 kN, S5 = -2,47 kN und S6 = +7,5 kN nach dem Ritterschen Schnitt-Verfahren. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

Ritterscher Schnitt Cul Ausleger Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Ritterschen Schnittverfahren die Stabkräfte S10 = -30 kN, S11 = -27,4 kN, S12 = 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Ritterscher Schnitt Kleine Ritter-Brücke Bestimmen Sie die Kraft in den Stäben GE, GC und BC des Fachwerks und geben Sie an, ob die Stäbe unter Zug oder unter Druck stehen. F1 = 400 N, F2 = 1.200 N, h = 3 m, l = 4 m. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

© Prof. Dr. Remo Ianniello Culmann- Verfahren Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Culmann-Verfahren Cul Ausleger Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Culmann-Verfahren die Stabkräfte S10 = -30 kN, S11 = -27,4 kN, S12 = 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN Wirklinien der Kräftepaare einzeichnen Man benötigt zwei Kräftepaare – daher werden die drei einzelnen Kräfte F zu einer Resultierenden 3 F zusammen gefasst. Schnittpunkte markieren und verbinden © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

Culmann-Verfahren Cul Ausleger Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Culmann-Verfahren die Stabkräfte S10 = -30 kN, S11= -27,4 kN, S12 = 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN Ein Parallelogramm der unbekannten Kräfte mit R2 liefert die fehlenden Beträge S12 R1 hat eine gleich große, entgegen gesetzte Resultierende R2 S11 R1 Ein Parallelogramm mit der bekannten Kraft... ...liefert S10 und damit auch R1 S10 © Prof. Dr. Remo Ianniello Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello

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Knotenpunkt-Verfahren Cul Brücken-FW Ein Fachwerk wird mit den äußeren Kräften F1 , F2 , F3 , sowie FA und FB belastet. Die Stabkräfte ("innere Kräfte") S1 bis S8 sollen mit Hilfe des Knotenpunkt-Verfah- rens ermittelt werden. Lösung Lösung: S1  =  -5,75  kN S2  =  8,13  kN S3  =  -4  kN S9  =  -5  kN S10  =  8,84  kN S11  =  -6,25  kN S4 = - 5,75 kN S5  =  -2,475  kN S6  =  7,5 kN S7  =  -1,77  kN S8  =  -6,25  kN Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello