Bohrs Atommodell: Energie-Niveaus Jenseits der klassischen Physik: Die Quantenbedingung für den Drehimpuls

Inhalt Bohrs Atommodell: Abhängig von der Quantenzahl: Energie auf den diskreten Bahnen Emission von oder Absorption elektromagnetischer Strahlung beim Wechsel der Bahnen

Bohrs Atommodell mit quantisierten Drehimpulsen für Z=1, H Drehimpuls-Vektor ~ n n Tn 1 T1 2 8·T1 3 27·T1 4 64·T1 r4=16r1 r3=9r1 r2=4r1 r1 Die Animation zeigt das Anwachsen von Tn mit n3 nur qualitativ

Bohrs Atommodell für Z=4, Be Gesamt-Drehimpuls 0 wird durch den Drehsinn der Elektronen erreicht : J =-1+2+3-4

Berechnung der Energie auf Bahn n 1 J Kinetische Energie Potentielle Energie Energie des Elektrons auf Bahn n Die gesamte Energie ist die Summe aus kinetischer und potentieller Energie Die gelb markierten, zuvor berechneten „quantisierten“ Größen werden im Folgenden eingesetzt

Kinetische Energie auf Bahn n mit r1 1 J vn = rn·ωn eingesetzt Quantisierte Winkelgeschwindigkeit eingesetzt

Kinetische Energie auf Bahn n mit Konstanter E1 1 J „Konstante“ für ein Teilchen mit Masse m , beachte, eingesetzt Kinetische Energie auf Bahn n Die „Konstante“ erweist sich als die kleinste Energie eines Elektrons im Wasserstoffatom (Z=1) auf der innersten Bahn (n=1), vgl. Folie zur Berechnung der Gesamtenergie

Potentielle Energie auf Bahn n 1 J Potentielle Energie, mit Potentielle Energie auf Bahn n mit In Gleichung (2) wird die rechte Seite mit ħ2 / m erweitert und für e2 m / (4πε0 ħ2) = 1 / r1 eingesetzt

Energie 1 eV Die gesamte Energie ist die Summe aus kinetischer und potentieller Energie 1eV Kinetische potentielle Energie eingesetzt, mit Abkürzung E1 Energie auf Bahn n für ein Atom mit Kernladung Z E1 ist die Energie auf Bahn 1 des Wasserstoffatoms (Z=1) Die Energie der elektronischen Zustände ist proportional zum Quadrat der Kernladungszahl: ~ Z2 umgekehrt proportional zum Quadrat der Quantenzahl der Bahn: ~1/n2

Energieeinheit „Elektronenvolt“ Die Energie einzelner Elektronen wird in der Einheit „Elektronenvolt“ [eV] anstelle von „Joule“ [J] angegeben Die Energie „Ein Elektronenvolt“ wird einem Elektron bei Bewegung zwischen zwei Punkten mit der Potentialdifferenz von einem Volt zugeführt oder abgenommen Vorteil dieser Konvention: Man vermeidet „winzige“ Zahlen e = 1,60 ·10-19 1 C Ladung eines Elektrons W = U·e = U ·1,60 ·10-19 1 J Arbeit bei Bewegung eines Elektrons zwischen zwei Punkten mit Potentialdifferenz U 1 eV = 1,60 ·10-19 Ein Elektronenvolt in Joule W [eV] · 1,60 ·10-19 Zur Umrechnung von eV auf J multipliziert man mit 1,60 ·10-19 J W [J] / 1,60 ·10-19 1 eV Zur Umrechnung von J auf eV dividiert man durch 1,60 ·10-19 J

Bohrs Atommodell mit Energie für Z=1, Wasserstoff r4=16r1 Bohrs Atommodell mit Energie für Z=1, Wasserstoff r3=9r1 r2=4r1 E1=-0,85 eV E3=-1,5 eV r1 E2=-3,4 eV E1=-13,6 eV

Absorption und Emission elektromagnetischer Strahlung Beim Wechsel der Bahnen wird elektromagnetische Strahlung absorbiert beim Übergang von Niveau m zu n mit n>m emittiert beim Übergang von Niveau m zu n mit n<m Einheit h·f = Wm - Wn 1 J f ist die Frequenz der beim Übergang von Niveau m zu n absorbierten oder emittierten elektromagnetischen Strahlung

Absorption und Emission elektromagnetischer Strahlung bei Bahnwechsel Anregung und Rückkehr nach der “mittleren Lebensdauer” (etwa 10-8 s) unter Strahlungs-Emission auf das Ausgangs Niveau

Zusammenfassung Bohrs Atommodell: Elektronen kreisen als geladene Massenpunkte um den Kern Zu jeder Bahn n=1,2,3,.. gehört eine eigene Energie: En= E1·Z2/n2 [eV] E1=-13,6 [eV] ist die Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoffatom auf der innersten Bahn (Z=1, n=1) Alle Energie Werte sind negativ, mit höchstem Betrag auf der innersten Bahn Das heißt: Entfernung der Elektronen, z. B. auf äußere Bahnen, erfordert Energiezufuhr von außen, z. B. durch elektromagnetische Strahlung Wechsel von Bahn m zu n ist mit der Emission bzw. Absorption von elektromagnetischer Strahlung der Frequenz f verbunden Energie der Strahlung h · f = Em – En [eV] Energie-Einheit “Elektronenvolt” Energie eines Elektrons nach Beschleunigung durch 1 V 1 [eV] = 1,60 ·10-19 [J]

Konstanten 1,60 10-19 1 C Elementarladung 1,05 10-34 1 Js Formel-zeichen Wert SI Einheit Anmerkung e 1,60 10-19 1 C Elementarladung 1,05 10-34 1 Js Plancksches Wirkungsquantum me 9,11 10-31 1 kg Masse des Elektrons 8,85 10-12 1 F/m Elektrische Feldkonstante , Link zum Periodensystem: http://www.chemicool.com/ Link zu Tabellen der Chemie: http://webbook.nist.gov/chemistry/

finis Anregung und Rückkehr nach der “mittleren Lebensdauer” (etwa 10-8 s) unter Strahlungs-Emission auf das Ausgangs Niveau