§23 Basiswechsel und allgemeine lineare Gruppe 16.01.02  Es sei V im folgenden wieder ein K-Vektorraum der Dimension n , und es sei b = (b1, b2, ... ,bn) eine geordnete Basis von V . Jeder Vektor v aus V hat dann die eindeutige Darstellung Die Komponenten bezüglich der Basis b heißen auch die (linearen) Koordinaten von v bezüglich b . Die Basis b definiert einen Isomorphismus Z (für „Zuweisung“) Für eine weitere geordnete Basis d = (d1, d2, ... ,dn) von V werden die Koordinaten bezüglich d definiert. Frage: Wie lässt sich der Koordinatenwechsel beschreiben?

Kapitel IV, §23 d definiert wie zuvor einen Isomorphismus Der Koordinatenwechsel wird also durch Beschrieben, denn (23.1) Definition: Dieser Isomorphismus heißt Koordinatentransformation zum Basiswechsel von b nach d. Frage: Durch welche Matrix wird T beschrieben (bezüglich der Standardbasis von Kn)?

Kapitel IV, §23 Die Basis b liefert in Bezug auf die neue Basis d die Matrix B , welche die Identität id als lineare Abbildung beschreibt: Es folgt für v aus V: Daher Und das bedeutet, das T durch B dargestellt wird: Zu den fundamentalen Themen zum Begriff der Basis gehört die Frage: „Wie lassen sich alle Basen beschreiben?“ Die vorangegangene Erörterung liefert die Antwort: (23.2) Definition: Sei GL(n,K) die Menge aller invertierbaren (n,n)-Matrizen. GL(n,K) ist die allgemeine lineare Gruppe.

Kapitel IV, §23 (23.3) Satz: GL(n,K) ist bezüglich des Produktes von Matrizen tatsächlich eine Gruppe, isomorph zu Aut(Kn) und Aut(V) . (23.4) Bemerkung: Die Menge G der invertierbare Elemente H* einer assoziativen K-Algebra H mit Eins bildet stets eine Gruppe. (23.5) Satz: Legt man eine Basis d des Vektorraumes V fest, so ergeben sich alle weiteren geordneten Basen von V durch Anwendung von invertierbaren Matrizen: {(Bd1, Bd2, ... , Bdn) : B aus GL(n,K) } ist die Menge aller geordneten Basen. Also: GL(n,K) parametrisiert die Menge aller geordneten Basen von V bzw. die Menge aller (linearen) Koordinaten (-transformationen). Die Menge der geordneten Basen von V wird auch durch die Menge Isom(Kn,V) der Isomorphismen von Kn nach V parametrisiert: {(Z(e1), Z(e2), ... , Z(en)) : Z aus Isom(Kn,V) }