Folie 1 § 28 Multilineare und Alternierende Abbildungen (28.1) Definition: V und W seien wieder ein K-Vektorräume. Eine Abbildung von V nach W stets linear ist. Auf dem Wege zum Begriff der Determinante: heißt multilinear, wenn sie in jedem Argument linear ist, dh. wenn für feste v 1, v 2,..., v j-1, v j+1,..., v p aus V die Abbildung Man spricht stattdessen auch von p-linear, wenn die Anzahl p der Faktoren betont werden soll, so zum Beispiel von bilinear oder 2- linear, trilinear, 5-linear, etc. Der Begriff der Multilinearität gibt auch für Abbildungen

Folie 2 Kapitel V, § 28 Sinn. Wichtiger Fall für die Einführung von Tensoren: mit ε λμν wie oben. (28.1) Beispiele: 1 o Lineare Abbildungen sind 1-linear. 2 o Bilinearformen, wie in § 25 studiert. Das Kreuzprodukt 3 o Hier eine Trilinearform: ist auch bilinear. Und auch die in § 26 eingeführte Determinante. 4 o Es seien p Linearformen f 1, f 2,..., f p auf V gegeben. Dann ist das Produkt

Folie 3 Kapitel V, § 28 stets p-linear. 5 o V habe die geordnete Basis b = (b 1,b 2,...,b n ). Dann hat jede p-lineare Abbildung Eine solche p-lineare Abbildung lässt sich im Fall V = K n auch verstehen als Abbildung von K pxn nach W. die Form mit den eindeutig bestimmten Das ist (mit W = K) der Blickpunkt, der für die Determinanten eingenommen wird. Allerdings hat die Determinante für (2,2)-Matrizen in § 26 noch eine wesentliche Zusatzeigenschaft: Sie ist alternierend! So lassen sich p-lineare Abbildungen also definieren!

Folie 4 Kapitel V, § 28 für Vektoren v 1,v 2,...,v n aus V und j < k. (28.4) Satz: K sei Körper der Charakteristik > 2. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent für eine p-lineare Abbildung (28.3) Definition: Eine p-lineare Abbildung φ von V p nach W ist alternierend (oder antisymmetrisch), wenn stets 1 o φ ist alternierend. 2 o Für alle v 1,v 2,...,v n aus V ist φ(v 1,v 2,...,v n ) = 0, wenn v j = v k für ein Paar (j,k), j < k. 3 o Für alle v 1,v 2,...,v n aus V und für j < k ist stets φ(v 1,v 2,..., v j,...,v n ) = φ(v 1,v 2,..., v j + v k,...,v n ). 4 o Für alle v 1,v 2,...,v n aus V und s k aus K mit s j = 0 ist stets φ(v 1,v 2,..., v j,...,v n ) = φ(v 1,v 2,..., v j + s k v k,...,v n ).

Folie 5 Kapitel V, § 28 5 o Für alle v 1,v 2,...,v n aus V mit rg(v 1,v 2,...,v n ) < p ist φ(v 1,v 2,...,v n ) = 0. 6 o Für alle v 1,v 2,...,v n aus V ist φ(v 1,v 2,...,v n ) = 0, wenn v j = v j+1 für ein j < p. 7 o Für alle v 1,v 2,...,v n aus V und j < p ist φ(v 1,v 2,...,v j, v j+1,...,v n ) = – φ(v 1,v 2,...,v j+1, v j,...,v n ). 8 o Für alle v 1,v 2,...,v n aus V und jede Permutation σ aus S p gilt φ(v 1,v 2,...,v n ) = sgn(σ)φ(v σ(1),v σ(2),...,v σ(n) ). (28.5) Folgerung: Eine p-lineare und alternierende Abbildung auf einem Vektorraum der Dimension n mit Basis b ist von der Form Dabei ist φ 0 = φ(b 1,b 2,...,b n ) aus W.