§15 Lineare Abbildungen (15.1) Definition: Eine Abbildung f zwischen K-Vektorräumen V und W ist linear (oder ein Vektorraumhomomorphismus), wenn für alle Vektoren x,y aus V und alle Skalare s,t aus dem Körper K gilt: f(sx + ty) = sf(x) + tf(y) . Genauer: „K-linear“ oder „K-Vektorraumhomomorphismus“ (15.2) Beispiele: 1o Ein spezielles Beispiel: 2o (vgl. 10.6.3o: Fk := {x aus RN: x ist konvergent}) ist linear. 3o Die Ableitung ist linear. 4o Die formale Ableitung ist ebenfalls linear.

5o Sei M eine Menge und a ein Element aus M 5o Sei M eine Menge und a ein Element aus M. Die „Auswertung“ ist linear. (15.3) Bemerkungen: 1o Eine lineare Abbildung f ist insbesondere ein Gruppen-homomorphismus, sie „respektiert“ neben der Addition zusätzlich noch die Skalarmultiplikationen. 2o Sei f linear. Dann gilt f(0) = 0 und 3o Die Komposition linearer Abbildungen ist linear. 4o Die Menge der linearen Abbildungen Hom(V,W) von V nach W ist bezüglich der punktweisen Addition und Skalarmultipli-kation ein K-Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum von WV. 5o Sei f linear und bijektiv. Dann ist die Umkehrabbildung f –1 ebenfalls linear. 6o Aut(V) := {f aus Hom(V,V) : f bijektiv} ist eine Gruppe bezüglich der Komposition von Abbildungen, und zwar eine Untergruppe der Permutationsgruppe S(V) .

Kapitel III, §15 (15.4) Definition: Sei f eine lineare Abbildung zwischen den K-Vektorräumen V und W. f heißt 1o Isomorphismus, wenn f bijektiv ist. 2o Epimorphismus, wenn f surjektiv ist. 3o Monomorphismus, wenn f injektiv ist. 4o Endomorphismus, wenn V = W gilt. 5o Automorphismis, wenn V = W gilt, und f bijektiv ist. (15.5) Lemma: {b1, b2, ... , bn} sei eine Basis von V . Dann wird für jedes n-Tupel (w1, w2, ... , wn) von Vektoren aus W durch f(s1b1 + s2b2 + ... + snbn) := s1w1 + s2w2 + ... + snwn eine lineare Abbildung definiert. Jede lineare Abbildung von V nach W hat diese Form. Eine analoge Aussage gilt für unendlichdimensionale Vektorräume V.

Kapitel III, §15 (15.6) Definition: Sei f eine lineare Abbildung zwischen den K-Vektorräumen V und W. 1o Ker f := f –1(0), Kern von f . 2o Im f := f(V), Bild von f . (15.7) Lemma: Sei f linear, A Teilmenge aus V . 1o Ker f und Im f sind Untervektorräume von V bzw. W . 2o f ist injektiv, genau dann wenn Ker f = {0} . 3o f(Span(A)) = Span(f(A)) . 4o Wenn E Erzeugendensystem von V ist, so ist f(E) Erzeugendensystem von Im f . 5o A ist linear unabhängig, wenn das für f(A) gilt. 6o f(A) ist linear unabhängig, wenn das für A gilt und wenn f injektiv ist. (15.8) Satz: 1o Zwei endlichdimensionale K-Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn sie gleichdimensional sind.

Kapitel III, §15 2o Jeder endlichdimensionale K-Vektorraum V ist zu einem Kn isomorph mit n = dim V . (15.9) Bemerkung: Jeder K-Vektorraum ist isomorph zu K(B) , wobei B eine Basis von V ist. (15.10) Äquivalenzsatz für lineare Abbildungen: Für gleichdimen-sionale K-Vektorräume V und W endlicher Dimension sind die folgen-den Aussagen für lineare Abbildungen f von V nach W äquivalent: 1o f ist injektiv. 2o f ist surjektiv. 3o f ist bijektiv. Mehr Information liegt in der Dimensionsformel, die auch für unendlichdimensionale Vektorräume gültig ist: (15.11) Satz (Dimensionsformel): Für eine lineare Abbildung f von V nach W gilt: dim Ker f + dim Im f = dim V