FOURIER-Transformation ein hilfreiches Werkzeug in der digitalen Messtechnik Zeit- und Frequenzraum mathematische Grundlagen Anwendungsbeispiele Beitrag zur Lehrveranstaltung 856-150 „PCs zur Messwerterfassung und Messdatenverarbeitung“ 24. November 2000, J. Theiner

Einführung Charakterisierung periodischer Signale Periodisches Signal: Sinus/Cosinus-Funktion = harmonische Welle Amplitude BIAS Periodendauer J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

FOURIER-Transformation und Spektren Periodenlänge Uo Io Io  J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Einführung Darstellung von Wechselstromgrößen AC = ao.cos(.t + ) AC = ao. ei (.t + )  t Imaginärteil t Realteil J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Einführung Wie kommt man vom Zeigerdiagramm zur Winkelfunktion? J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Wechselströme Strom und Spannung im Wechselstromkreis AC- Schaltkreis Amplituden- verhältnis V A t  Periodenlänge Periodenlänge J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Wechselströme der Wechselstromwiderstand - die Impedanz In Wechselstromkreisen gilt für die Beziehung von Spannung UAC und Strom IAC das Ohm‘sche Gesetz, wobei der Widerstand durch eine frequenzabhängige Größe, die Impedanz ZAC, dargestellt wird. Die Impedanz Z bestimmt das Amplitudenverhältnis von Strom und Spannung in einem Messkreis. Die Impedanz Z bewirkt meist auch eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. In der Wechselstromtechnik wird der Leitwert Y, der „Kehrwert“ der Impedanz, fast ebenso häufig verwendet, um die Eigenschaften von Systemen zu beschreiben. J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Wechselströme komplexe Darstellung von AC-Größen Durch die Darstellung von periodische Signalen UAC und IAC im Frequenzraum können viele Beziehungen vereinfacht modelliert werden. Besonders lassen sich die Impedanz und der Leitwert eines Messkreises durch komplexe Frequenzfunktionen Z() oder Y() beschreiben. In dieser Darstellung zeigt der Realteil den physikalisch messbaren Anteil des Signals zu jeder Zeit t, der Imaginärteil (Blindanteil) hat physikalisch keine Bedeutung. J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Frequenzdarstellung Zeit  Frequenz Periodische Signale können innerhalb ihrer Periodendauer t einen beliebigen Verlauf x(t) haben. Es muss aber immer gelten x(t) = x(t + i.t). Grundsätzlich lässt sich diese Betrachtung auch auf ein unendlich langes Zeitintervall t erweitern. Jede periodische Funktion lässt sich auch durch ein Frequenzspektrum gleichwertig und vollständig darstellen. Theoretisch lässt sich ein Frequenzspektrum durch einen Funktionensatz fi(t) (i=0..n, n  ) erhalten, die dem Sturm-Liouville-Theorem genügen. Aufgrund der besonderen mathematisch-physikalischen Bedeutung betrachten wir immer die Spektren der harmonischen Funktionen Sinus und Cosinus, die gemeinsam einen vollständigen, orthogonalen Funktionensatz bilden: J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Frequenzdarstellung x(t)  y(f) - die Fourier-Transformation In einer endlichen Periode t, in der n Messwerte in Intervallen  aufgezeichnet sind, kann dieses Signal durch eine Fourier-Reihe der folgenden Form exakt dargestellt werden. ai und bi sind die sogenannten Fourier-Koeffizienten, die sich als Frequenz-spektrum interpretieren lassen. Betrachtet man eine einzelne Wechselstromgröße, so ist die Phasenlage im Frequenzraum meist unbedeutend. Betrachtet man das Verhältnis zweier oder mehrerer AC-Größen, so bekommt die relative Phasenlage Bedeutung. J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Frequenzdarstellung x(t)  y(f) - die Fourier-Transformation FT oder FFT Signalverlauf Signalspektrum Zeit Frequenz J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Frequenzdarstellung Darstellung von Impedanzspektren Da Impedanzen als komplexe Funktionen zwei Funktionswerte für jede Frequenz haben, kann der Funktionsverlauf nicht vollständig in einem x/y-Diagramm erfasst werden. Spektrale Darstellungen werden im allgemeinen über einer logarithmischen Frequenzachse aufgetragen. Die Darstellung von zwei Amplitudenspektren, die den Real- und den Imaginärteil der Impedanz abbilden, wird eher selten genutzt. Große Bedeutung hat die Darstellung im sogenannten BODE-Diagramm, einer Kombination des Spektrums der Magnitude und des Phasenwinkels über einer logarithmischen Frequenzachse. Am häufigsten wird das NYQUIST-Diagramm (Ortskurve) gezeigt. Dabei ist die Spur der Impedanzfunktion in der komplexen Zahlenebene abgebildet, die meist durch Frequenzangaben zu einzelnen Messpunkten ergänzt wird. Für spezielle Auswertungen sind noch andere graphische Darstellungen gebräuchlich. J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Impedanzverhalten einfache elektronische Bauelemente Ohm‘scher Widerstand: ein Widerstand R hat nur einen Realteil und führt zu keiner Phasenverschiebung. Kondensator: Eine Kapazität C hat als Impedanz keinen Realteil. Für die Kombination von Impedanzen und Leitwerten gelten dieselben Gesetze wie für Widerstände im Gleichstromkreis. Mehrere Baugruppen mit Einzelimpedanzen Zi in Serienschaltung summieren sich zu einer Gesamtimpedanz Z. Mehrere Elemente mit Leitwerten Yi in Parallelschaltung summieren sich zu einem Gesamtadmittanz Y. J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

FOURIER-Transformation und Spektren Impedanzverhalten ... und daraus aufgebauter Schaltgruppen Serienschaltung von R und C Realteil von Z -Imaginärteil von Z Bei niedrigen Frequenzen geht der Betrag der Impedanz gegen unendlich. Für hohe Frequenzen geht der Beitrag der Kapazität gegen Null. Die Impedanz nähert sich dem Verhalten eines Ohm‘schen Widerstandes. Diese Schaltung eignet sich als Ersatzschaltbild für die Anordnung bei einer Leitfähigkeitsmessung. R stellt dabei den Elektrolytwiderstand dar. Die dabei eingesetzten Frequenzen sind so zu wählen, dass der Betrag 1/.C gegenüber der Messgröße R vernachlässigbar ist typische Messfrequenzen: 1 bis 10 kHz J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

FOURIER-Transformation und Spektren Impedanzverhalten ... und daraus aufgebauter Schaltgruppen Parallelschaltung von R und C Das Frequenzverhalten der Parallelschaltung ist deutlich komplizierter. J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

FOURIER-Transformation und Spektren J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

FOURIER-Transformation und Spektren Uo Io IB UB J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

FOURIER-Transformation und Spektren Messtechnik Zweielektrodentechnik wird gern verwendet, um Beiträge und Störungen durch elektronische Schaltung zu vermeiden. Dreielektrodentechnik mit schnellen und phasentreuen Potentiostaten direkte Aufzeichnung von U vs. t und I vs. t oder Auswertung der LISSAJOU-Darstellungen vor allem für niedrige Frequenzen bis zu einigen Hz, mit Oszilloskop oder schneller Messwerterfassung auch für höhere Frequenzen möglich Widerstandsmessbrücken Phasensensitive Detektoren (Lockin-Amplifier) Digitale Messanlagen auf Basis von FOURIER-Transformations-Methoden J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Messtechnischer Ansatz Messzelle/ Potentiostat Sollsignal Usoll oder Isoll Systemantwort IAC oder UAC Ermittlung der Impedanz oder des Leitwertes analoge Schaltung digitale Verarbeitung J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

FOURIER-Transformation und Spektren Störfrequenz ca. 1/10 der Signalfrequenz und 1/5 der Amplitude (ein ähnliches Bild ergibt sich auch für eine DC-Drift) J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

FOURIER-Transformation und Spektren Störfrequenz ca. 10-fache Signalfrequenz und 1/10 der Amplitude J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

FOURIER-Transformation und Spektren Störsignale in Form von „weißem Rauschen“ ca. 2 % der Spannungsamplitude, ca. 20 % der Stromamplitude J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

doppelt logarithmisches FFT-Spektren des Stromsignales mit niedriger Störfrequenz, höherer Störfrequenz und weißem Rauschen J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

komplexe Funktionensätze Eine Beziehung zwischen komplexen Funktionen A und B kann durch eine sogenannte Transferfunktio HAB beschrieben werden. Die Transferfunktion ist mathematisch identisch mit der Impedanz oder dem Leitwert. Die Ergebnisse der FOURIER-Transformation können daher direkt in Form der Transferfunktion zur Darstellung der Impedanz herangezogen werden. J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Häufige Darstellungen in der Messtechnik In der Akustik und Wechselstrommesstechnik sind logarithmische Darstellungen weit verbreitet. Für die Frequenzachse wird der Begriff Oktave für die Verdoppelung der Frequenz verwendet (wie auch im Sprachgebrauch der Musik). Die Amplitudenachse (Magnitude, Real- oder Imaginärteil oder einer AC-Größe) wird eine Angabe in dB (Dezibel) verwendet. Dezibel skaliert das Verhältnis einer Leistung in Relation zu einem Bezugszustand. OHM´sches Gesetz: J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Messung ganzer Spektren Mit Hilfe der FOURIER-Transformation (im Allgemeinen FFT) können ganze Impedanzspektren innerhalb eines Messzyklus erfasst werden. Voraussetzung ist ein Funktionsgeneratorsignal, das im untersuchten Frequenzbereich für jeden Messpunkt eine definierte Signalamplitude liefert (Breitbandsignal). Es ist zu beachten, dass die FFT-Messpunkte in einer linearen Skala als Vielfache der niedrigsten erfassten Frequenz f0 erhalten werden. Da die Impedanzspektren im Allgemeinen über einer logarithmischen Frequenzachse ausgewertet werden, ergibt sich eine sehr ungleiche Verteilung der Messpunkte Beispiel: Messung von N=1.024 Punkten in 400 msec f0=2,5 Hz und fmax=N/2*f0 = 1.280 Hz wegen eines analogen Tiefpassfilters (Anti Aliasing Filter) am Messeingang kann das Spektrum nur über 400 Frequenzpunkte ausgewertet werden: erste Dekade bis 10 Hz: 4 Messwerte zweite Dekade bis 100 Hz: 36 Messwerte dritte Dekade bis 1000 Hz: 360 Messwerte J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Messung ganzer Spektren Um ein FFT-Messgerät anzusteuern, ist eine Funktion sinnvoll, bei der das Sinus-Signal für jeden registrierten Frequenzpunkt mit der gewünschten Amplitude generiert. Eine solche Funktion kann nur digital generiert werden, steht aber fallweise auf ein Messgerät abgestimmt zur Verfügung. Bei quasi-zufälliger Gleichverteilung der Signalamplituden im Frequenzspektrum spricht man von „weißem Rauschen“ (white noise, random noise). Ein solches Signal lässt sich rein rechnerisch erzeugen, indem die Signalamplituden zu jedem diskreten Zeitpunkt durch einen Zufallszahlengenerator im gewünschten Amplitudenintervall erzeugt werden. Auch analoge Rauschgeneratoren sind nach Stand der Technik verfügbar. Auch ein „Gerätebrumm“ hat oft die Charakteristik eines Rauschens, doch werden dabei durch spezifische Trägheiten des Gerätes „Färbungen“, das heißt starke Frequenzabhängigkeiten der Amplitude erzeugt. J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

FOURIER-Transformation und Spektren Signalspektren Aus der Spektroskopie kennen wir die Beziehung zwischen Frequenz und Energie, die allgemein gültig ist. Neben „monochromatischen“ sind „weiße“ Signale von Bedeutung, die aus vielen Einzelfrequenzen etwa gleicher Amplitude zusammengesetzt sind. Aus der Akustik kommt in die Wechselstrommesstechnik die Bezeichnung einer rosa (pink) Frequenzverteilung bei Breitbandsignalen. Die dabei gewählte Amplitudenverteilung im Frequenzspektrum gewährleistet, dass bei jeder Frequenz die gleiche Leistungsdichte „angeboten“ wird. Die Signalamplitude nimmt dabei um 3 dB pro Oktave ab. J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

FFT-Spektrum von „white noise“ Amplitudenverlauf von „pink noise“ mit -3 dB pro Oktave J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren

Andere Breitbandfunktionen Eine gängige Methode, eine definierte Frequenzverteilung mit Hilfe eines Sinus-Generators zu erzeugen, ist eine Frequenzmodulation. Eine „rosa“ (pink) Amplitudenverteilung ist auch hier möglich und kann gut demonstriert werden: J. Theiner FOURIER-Transformation und Spektren