Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse Haupteffekte Interaktionseffekte Strukturgleichung Quadratsummen F-Test Interaktionsformen SPSS Mehrfaktorielle ANOVA Zufallseffekte 07_anova3 1

Zweifaktorielle Varianzanalyse Wenn mehrere unabhängige Variablen (UVs) vorliegen, muss eine mehrfaktorielle Varianzanalyse berechnet werden. Es wird dann untersucht, ob die AV von den unterschiedlichen UVs abhängt. Beispiel: „Hängt die Gedächtnisleistung (AV) von der Lernbedingung (UV1) und dem Geschlecht (UV2) ab?“ 07_anova3 2

Zweifaktorielle Varianzanalyse Effekt der Lernbedingung strukturell bildhaft emotional 5 12 7 11 3 8 4 10 6 13 07_anova3 3

Zweifaktorielle Varianzanalyse Effekt des Geschlechts männlich 5 7 3 4 6 weiblich 8 07_anova3 4

Zweifaktorielle Varianzanalyse Zweifaktorielles Design strukturell bildhaft emotional männlich 5 12 7 11 3 8 4 10 6 13 weiblich 9 14 07_anova3 5

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Zellen und Randmittelwerte Faktor B Faktor A B1: strukturell B2: bildhaft B3: emotional A1: männlich A2: weiblich 07_anova3 6

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Haupteffekt A Der Haupteffekt der Stufe j des Faktors A berechnet sich als:  Die Summe der Effekte ist Null 07_anova3 7

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Haupteffekt B Der Haupteffekt der Stufe k des Faktors B berechnet sich als:  Die Summe der Effekte ist Null 07_anova3 8

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA „Zelleneffekte“ Der Effekt eine Kombination bestimmter Stufen der Faktoren A und B berechnet sich als: Die Summe der Effekte ist Null  Der „Zelleneffekt“ ist wenig aussagekräftig, da er auch von den Haupteffekten beeinflusst wird. 07_anova3 9

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Interaktionseffekte (A x B) Ein Interaktionseffekt wird als Differenz der Zelleneffekt und der beteiligten Haupteffekte berechnet: Die Summe der Effekte ist Null Der Interaktionseffekt gibt die Wirkung der Kombination bestimmter Faktorstufen über die Haupteffekte hinaus an. 07_anova3 10

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Interaktionseffekte (A x B)  Es liegen im Beispiel keine Interaktionseffekte vor! 07_anova3 11

Beispiele für Interaktionseffekte Beispiel 1: Einfluss bildhafter Verarbeitung auf die Gedächtnisleistung bei Männern und Frauen  Interaktion: Frauen profitieren von bildhafter Verarbeitung stärker als Männer   strukturell bildhaft Frauen 5 13 9 Männer 10 7.5 11.5 8.25 07_anova3 12

Beispiele für Interaktionseffekte   strukturell bildhaft gesamt F 5 (-0.75) 13 (0.75) 9 M 5 (0.75) 10 (-0.75) 7.5 G 5 11.5 8.25 07_anova3 13

Beispiele für Interaktionseffekte Beispiel 2: Einfluss bildhafter Verarbeitung auf die Gedächtnisleistung bei Männern und Frauen  Interaktion: Frauen profitieren von bildhafter Verarbeitung stärker als Männer   strukturell bildhaft Frauen 5 11.5 8.25 Männer 07_anova3 14

Beispiele für Interaktionseffekte   strukturell bildhaft gesamt F 5 (0) 11.5 (0) 8.25 M G 5 11.5 07_anova3 15

Beispiele für Interaktionseffekte Beispiel 3: Einfluss von Alkohol auf die Reaktionszeit bei Männer und Frauen  Interaktion: Frauen werden durch Alkohol stärker beeinträchtigt als Männer   ohne Alk. mit Alk. Frauen 230 500 365 Männer 350 290 425 327.5 07_anova3 16

Beispiele für Interaktionseffekte Beispiel 4: Wirksamkeit der Medikamente M1 und M2 bei Männer und Frauen. zwei Medikamente M1 und M2 (Faktor A) an Männern und Frauen getestet (Faktor B) keinen Unterschied zwischen den Geschlechtern und den Medikamenten aber eine Wechselwirkung (Interaktion): bei Frauen wirkt M1 gut, M2 kaum bei Männern entgegengesetzt  M1 für Frauen, M2 für Männer besser geeignet 07_anova3 17

Strukturgleichung (2-fakt. ANOVA) = Strukturgleichung einfaktorielle ANOVA + Effekt des zweiten Faktors + Interaktionseffekt Gesamtmittelwert Effekt Faktor A Effekt Faktor B Interaktion „Fehler“ 07_anova3 18

Quadratsummenzerlegung SStotal = SSbetween + SSwithin SStotal = SSFaktor A + SSFaktor B + SSAxB + SSwithin 07_anova3 19

Quadratsummen Quadratsummen 07_anova3 20

Mittlere Quadrate und Freiheitsgrade Quadratsummen Mittlere Quadrate und Freiheitsgrade p = Anzahl der Stufen von Faktor A q = Anzahl der Stufen von Faktor B n = Anzahl Vpn in jeder Zelle (Annahme gleichbesetzter Zellen) 07_anova3 21

Statistische Hypothesen Der F-Test Statistische Hypothesen Bei einer 2-faktorienllen ANOVA gibt es drei Nullhypothesen: H0 für Faktor A: H0 für Faktor B: H0 für A x B: für alle j, oder: für alle k, oder: für alle jk, oder: 07_anova3 22

Der F-Test Drei F-Tests 07_anova3 23

Erklärte Varianzanteile Der F-Test Erklärte Varianzanteile 07_anova3 24

Es gibt drei Formen der Interaktion: Interaktionsformen Es gibt drei Formen der Interaktion: ordinale Interaktion  beide Haupteffekte sind global interpretierbar hybride Interaktion  nur einer der beiden Haupteffekte ist global interpretierbar disordinale Interaktion  keiner der beiden Haupteffekte ist global interpretierbar 07_anova3 25

Interaktionsformen Keine Interaktion Die Diagramme zeigen die Gruppenmittelwerte der vier Zellen. Beide Diagramme zeigen die gleichen Daten! 07_anova3 26

Interaktionsformen Keine Interaktion Wenn die Linien der Graphen parallel verlaufen, gibt es keine Interaktion! 07_anova3 27

Interaktionsformen Ordinale Interaktion Wenn der gleiche „Trend“ für beide Linien in beiden Diagrammen gilt (alle Graphen steigen oder alle Graphen fallen), spricht man von einer ordinalen („geordneten“) Interaktion. 07_anova3 28

Disordinale Interaktion Interaktionsformen Disordinale Interaktion Wenn der unterschiedliche „Trends“ für beide Linien in beiden Diagrammen gilt (ein Graphen steigt, einer fällt), spricht man von einer disordinalen („ungeordneten“) Interaktion. 07_anova3 29

Interaktionsformen Hybride Interaktion Im linken Diagramm: gleicher Trend Im rechten Diagramm: entgegengesetzte Trends „Hybride Interaktion“ 07_anova3 30

Welch Interaktionsform? Interaktionsformen Welch Interaktionsform? B1 B2 A1 18 22 A2 25 40 B1 B2 A1 25 20 A2 15 40 B1 B2 A1 20 30 A2 25 35 07_anova3 31

Darstellung der Ergebnisse Darstellung der 2-faktoriellen ANOVA Beispieltext: „Die Anzahl erinnerter Wörter wurde mit einer 3 (Lernbedingung) x 2 (Geschlecht) ANOVA ausgewertet. Das Geschlecht hatte keinen signifikanten Einfluss auf die Gedächtnisleistung, F<1. Es zeigte sich jedoch ein bedeutsamer Effekt der Lernbedingung, F(2,74) = 95.84; p<.01, sowie eine Interaktion beider Faktoren, F(2,74) = 27.66; p<.01. Diese Interaktion ist auf einen bessere Gedächtnisleitung von Männern in der bildhaften Bedingung (t[25]=3.61; p=.01) und eine bessere Gedächtnisleistung von Frauen in der emotionalen Bedingung (t[24]=-6.97; p<.01) zurückzuführen.“ strukturell bildhaft emotional Männer 5.8 14.1 10.4 Frauen 5.0 10.7 16.0 07_anova3 32

SPSS 07_anova3 33

/plot=profile(bed*sex). SPSS Syntax: glm memo by sex, bed /plot=profile(bed*sex). 07_anova3 34

SPSS 07_anova3 35

SPSS 07_anova3 36

Mehrfaktorielle ANOVA Eine Varianzanalyse kann mit beliebig vielen Faktoren berechnet werden. Damit sind auch Interaktionen „höherer Ordnung“ möglich: drei-, vier-, fünf, …n-fach-Interaktionen (bei n Faktoren) Die Interpretation solcher Mehrfachinteraktionen ist oft schwierig. Beispiel: Evaluation eines Entspannungstrainings Faktor A: Geschlecht des Kursleiters Faktor B: Geschlecht der Kursteilnehmer Faktor C: Art des Trainings: Progressive Muskelrelaxation (PMR) vs. Autogenes Training (AT) 07_anova3 37

Mehrfaktorielle ANOVA 75 65 65 75 70 70 70 70 AT PMR 07_anova3 38

Mehrfaktorielle ANOVA Eine dreifach-Interaktion (AxBxC) bedeutet, dass sich die zweifach-Interaktion (AxB) für die beiden Stufen von C unterscheiden. … oder, dass sich die dass sich die zweifach-Interaktion (AxC) für die beiden Stufen von B unterscheiden. … oder, dass sich die dass sich die zweifach-Interaktion (BxC) für die beiden Stufen von A unterscheiden. Eine 4-fach Interaktion ist darauf zurückzuführen, dass sich die beteiligten 3-fach Interaktionen voneinander unterscheiden. 07_anova3 39

Mehrfaktorielle ANOVA  SStotal = SSwithin + SSA 2 Faktoren:  SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSAxB 3 Faktoren:  SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSC + SSAxB + SSBxC + SSAxC + SSAxBxC 4 Faktoren:  SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSC + SSD + SSAxB + SSAxC + SSAxD +SSBxC +SSBxD+ SSCxD+ SSAxBxC + SSAxBxD + SSAxCxD + SSBxCxD + SSAxBxCxD 07_anova3 40

Feste Effekt vs. Zufallseffekte Bisher haben wir nur Varianzanalysen für so genannte feste Effekte besprochen. Definition: Man spricht von festen Effekten, wenn alle möglichen bzw. alle interessierenden Stufen eines Faktors im Versuchsplan realisiert werden. Beispiele: Geschlecht, Therapieform, etc. In diesem Fall kann ist das Ergebnis der ANOVA nur auf die realisierten Stufen zu beziehen. 07_anova3 41

Zufallseffekte Zufallseffekte Häufig sind Gruppenbildungen jedoch nicht eindeutig, weil eine UV keine feste Abstufungen hat. Beispiel: UV: “Extraversion” (gering, mittel, hoch) AV: Prüfungserfolg in einer mündlichen Prüfung. In diesem Fall sollte eine ANOVA mit „Zufallseffekten“ berechnet werden. 07_anova3 42

Zufallseffekte Zufallseffekte Definition: Wenn einen Faktor viele Abstufungen hat und für eine Untersuchung “zufällig” einige davon ausgesucht werden spricht man von Zufallseffekten. Beispiele: Persönlichkeitseigenschaften, Alkoholkonsum, Alter, etc. Wenn ein Faktor als Zufallsfaktor betrachte wird, so ist eine Generalisierung der Ergebnisse auf andere (nicht untersuchte) Stufen möglich. 07_anova3 43

Feste Effekt vs. Zufallseffekte Feste Effekte Zufallseffekte Alle möglichen / interessierenden Stufen eines Faktors werden realisiert. Einige Stufen werden aus vielen möglichen Stufen ausgesucht. Keine Generalisierbarkeit auf nicht realisierte Stufen. Generalisierbarkeit ist gegeben. Die Summe der Effekte ist Null. Die Summe der Effekte muss nicht Null sein. H0: Alle Effekte sind Null. αj=0 (für alle j) H0: Die Varianz der Effekte ist Null. σ²(α) = 0 07_anova3 44

Beispiel: Alter und Klausurerfolg Zufallseffekte Beispiel: Alter und Klausurerfolg Gruppenbildung: Alter < 24  Gruppe 1 Alter ≥ 24  Gruppe 2 Willkürliche Gruppenbildung Eigentlich soll untersucht werden, ob der Studienerfolg vom Alter im Allgemeinen abhängt. Vp Alter Gruppe Punkte 1 23 20 2 19 22 3 29 28 4 21 26 5 30 6 7 27 24 8 9 10 … 25 07_anova3 45

Beispiel: Alter und Klausurerfolg Zufallseffekte Beispiel: Alter und Klausurerfolg Gruppe 1 (jung) Gruppe 2 (alt) yi1 (yi1-m1)² yi2 (yi2-m2)² 20 25 23 28 9 24 1 22 26 4 30 27 m1=25 Σ=76 m2=23 Σ=36 07_anova3 46

Beispiel: Alter und Klausurerfolg Zufallseffekte Beispiel: Alter und Klausurerfolg Bei einer einfaktoriellen ANOVA mit Zufallseffekten werden die Quadratsummen wie bisher berechnet. 07_anova3 47

Beispiel: Alter und Klausurerfolg Zufallseffekte Beispiel: Alter und Klausurerfolg Der kritische F-Wert beträgt 4.35 kein statistisch bedeutsamer Unterschied! Fazit: Kein Unterschied in der Durchführung des F-Tests im Vergleich zur Analyse mit festen Effekten. Dies gilt jedoch nur für die einfaktorielle ANOVA. 07_anova3 48

Zweifaktorielle ANOVA mit Zufallseffekten Beispiel: Wie wirkt sich das Alter (UV1) und die Extraversion (UV2) eines Kandidaten auf das Ergebnis einer mündlichen Prüfung aus 07_anova3 49

Zweifaktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“ Zufallseffekte Zweifaktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“ Liegt ein Faktor mit festem Effekt und ein Faktor mit Zufallseffekt vor, spricht man von einer ANOVA mit gemischten Effekten. Wichtig: Es muss bei der Berechnung der F-Tests beachtet werden, welcher Faktor als Zufallsfaktor eingegeben wird. Beispiel: Der Einfluss des Geschlechts (Faktor A) und des Alters (Faktor B) auf die Ängstlichkeit einer Person. Die folgenden Berechnungen gehen davon aus, dass Faktor B der Zufallsfaktor ist. 07_anova3 50

Zweifaktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“ Zufallseffekte Zweifaktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“ fest  zufällig  07_anova3 51

Überblick über die Berechnung der F-Tests Faktor A Faktor B AxB Zufallseffekte Überblick über die Berechnung der F-Tests Faktor A Faktor B AxB A fest, B fest A zufällig, B zufällig 07_anova3 52

Zusammenfassung Zusammenfassung Liegen mehrere nominalskalierte unabhängige Variablen und eine intervallskalierte abhängige Variable vor, kann eine mehrfaktorielle ANOVA berechnet werden. In diesem Fall können neben den Haupteffekten auch Interaktionseffekte berechnet werden. Die Interaktion gib jeweils an, ob die einzelnen Bedingungskombinationen über den Einfluss der Haupteffekte hinaus spezifische Effekte haben. Auch für den Interaktionseffekt kann eine Quadratsumme berechnet werden; daher ist auch ein F-Test für die Interaktion möglich. Es wird zwischen ordinalen, disordinalen und hybriden Interaktionen unterschieden. 07_anova3 53

Zusammenfassung Zusammenfassung Liegen mehrere nominalskalierte unabhängige Variablen und eine intervallskalierte abhängige Variable vor, kann eine mehrfaktorielle ANOVA berechnet werden. In diesem Fall können neben den Haupteffekten auch Interaktionseffekte berechnet werden. Die Interaktion gib jeweils an, ob die einzelnen Bedingungskombinationen über den Einfluss der Haupteffekte hinaus spezifische Effekte haben. Auch für den Interaktionseffekt kann eine Quadratsumme berechnet werden; daher ist auch ein F-Test für die Interaktion möglich. Es wird zwischen ordinalen, disordinalen und hybriden Interaktionen unterschieden. 07_anova3 54

Zusammenfassung Mehrfaktorielle ANOVAs können mit beliebig vielen Faktoren (=UVs) berechnet werden (aber alle npq > 20!). In diesem Fall ergeben sich Interaktionen höherer Ordnung, denen auch wieder bestimmte SS zugeordnet werden können. Werden Stufen eines Faktors „zufällig“ aus einer großen Anzahl möglicher Stufen ausgewählt, müssen ANOVS mit Zufallseffekten berechnet werden Bei der mehrfaktoriellen Varianzanalyse beeinflusst die Art des Faktors (fest vs. zufällig), welche Varianz im Nenner des F-Bruchs verwendet werden muss. 07_anova3 55