Unterlagen zur Vorlesung Risikomanagement in Banken Teil 1 UNIVERSITÄT ZU KÖLN SEMINAR FÜR ALLGEMEINE BETRIEBSWIRTSCHAFTSLEHRE UND BANKBETRIEBSLEHRE PD Dr. Thomas Mählmann Unterlagen zur Vorlesung Risikomanagement in Banken Teil 1

Organisatorisches Termin Uhrzeit Ort Do., 29.10.09 14-18 Uhr P 1 Dozent: Dr. Thomas Mählmann (Tel.: 0221/4702628, maehlmann@wiso.uni-koeln.de) Termin Uhrzeit Ort Do., 29.10.09 14-18 Uhr P 1 Fr., 30.10.09 C 22 Do., 12.11.09 16-20 Uhr P 12 Fr., 13.11.09 Do., 26.11.09 Do., 14.01.10 Fr., 15.01.10

Literatur Grundlegende Literatur: Bluhm, Chr./Overbeck, L./Wagner, Chr.: Credit Risk Modeling, London et al. 2003 Crouhy, M./Galai, D./Mark, R.: Risk Management, New York 2001 Hartmann-Wendels, T.: Risikomanagement bei Banken, in: Wisu, 2005, S. 908-913. Hartmann-Wendels, T./Pfingsten, A./Weber, M.: Bankbetriebslehre, Berlin, 4. Aufl. 2007 Jorion, P.: Value at Risk - The New Benchmark for Controlling Derivatives Risk, Chicago 1997 Saunders, A.: Financial Institutions Management, 2002 Saunders, A.: Credit Risk Measurement, New York, et al., 2. Aufl. 2002 Schiller, B./Tytko, D.: Risikomanagement im Kreditgeschäft, Stuttgart 2001 Oehler, A./Unser, M.: Finanzwirtschaftliches Risikomanagement, Berlin et al. 2001 3

Literatur Ergänzende Literatur: Bühler, W./Korn, O./Schmidt, A.: Ermittlung von Eigenkapitalanforderungen mit „Internen Modellen“, in: DBW, 58. Jg., 1998, S. 65-85 Hull, John. C.: Optionen, Futures und andere Derivate, 6. Aufl., München et. al. 2005. Johanning, L.: Value-at-Risk zur Marktrisikosteuerung und Eigenkapitalallokation, Bad Soden 1998 Rothschild, M./Stiglitz, J.E.: Increasing Risk I: A Definition, in: Journal of Economic Theory, vol. 2, 1970, S. 225-243 Rubinstein, M.: Derivatives: A Power Plus Picture Book, 1998 Bankaufsichtliche Regelungen: Liquiditätsverordnung (LiqV); www.bafin.de Solvabilitätsverordnung (SolvV); www.bafin.de Mindestanforderungen an das Risikomanagement (MaRisk) 4

Gliederung Risiko und Risikomaße Kreditausfallrisiken 1.1. Warum ist Risikomanagement notwendig? 1.2. stochastische Dominanz 1.3. Value at Risk, Varianz und Lower Partial Moments 1.4. Risikoarten und Aggregation von Risiken Kreditausfallrisiken 2.1. Grundlagen (Exposure at Default, Loss Given Default, Probability of Default) 2.2. Prognose von Ausfallwahrscheinlichkeiten 2.3. Kreditbewertung mit Hilfe der Optionspreistheorie 2.3.1. Grundlagen 2.3.2. Kredit als Option auf den Unternehmenswert 2.3.3. Credit Spreads 2.3.4. KMV-Credit-Monitor-Model 2.4. Kreditbewertung mit Hilfe von Reduktionsmodellen 5

Gliederung 2.5. Kreditportfoliosteuerung am Beispiel von CreditMetrics™ 2.5.1. Dateninput 2.5.2. Risiko eines einzelnen Kredits 2.5.3. Kreditportfoliosteuerung - Korrelationen 2.6. Messung von Kreditausfallrisiken in der Solvabilitätsverordnung 2.6.1. Grundlagen 2.6.2. Messung des Exposure at Default (EAD) 2.6.3. Risikogewichte im Kreditrisikostandardansatz 2.6.4. Risikogewichte im IRB 2.6.5. Kreditrisikominderungen 2.3.4. KMV-Credit-Monitor-Model 6 6

Gliederung 3. Zinsänderungsrisiken 4. Fremdwährungsrisiken 3.1. Verzinsungsmaße 3.2. Zinsstrukturtheorien 3.3. Duration 3.4. Absicherungsinstrumente 3.5. Zinsänderungsrisiken in der SolvV 4. Fremdwährungsrisiken 4.1 Standardhedge 4.2 Cross Currency Hedging 4.3 Roll-over Hedge 4.4 Fremdwährungsrisiken in der SolvV 7

Warum ist Risikomanagement notwendig? 1.1 Zielkriterium: Maximierung des Shareholder Value (Marktwert Eigenkapital) (Financial) Assets Debt Equity Warum reicht die Maximierung des Marktwertes aller Assets als Zielsetzung nicht aus? Warum ist das Risiko eine eigenständige Zielgröße? Wie viel Risiko soll eine Bank tragen, wie viel Risiko soll abgesichert werden? Welche erwartete Rendite muss eine Risikoposition mindestens erbringen, damit deren Erwerb vorteilhaft ist? Wie viel Eigenkapital soll eine Bank einsetzen? 8

Warum ist Risikomanagement notwendig? 1.1 Die Bank halte in t0 Zahlungsmittel in Höhe von X 1. t0 2. t0 X FK EK=X-FK VOption = X FK EK=X-FK Zwei Alternativen: 1. Anlage von X zum sicheren Zinssatz i 2. Investition von X in den Erwerb von Optionsrechten mit dem Marktwert VOption = X 9

Warum ist Risikomanagement notwendig? 1.1 Sind beide Positionen identisch? Wenn ja: Risiko ist keine eigenständige Zielgröße; Risikomanagement ist irrelevant Wenn nein: Risiko als eigenständige Zielgröße Um welchen Betrag muss der Wert der Optionen den Kaufpreis mindestens übersteigen, damit der Erwerb der Optionsrechte sinnvoll ist? Wie soll das Risiko zum erwarteten Ertrag gewichtet werden? Wie wird Risiko gemessen? 10

Warum ist Risikomanagement notwendig Warum ist Risikomanagement notwendig? Rechtliche Rahmenbedingungen - MaRisk 1.1 Risikomanagement liegt in der Gesamtverantwortung aller Geschäftsleiter; Alle wesentlichen Risiken des KI müssen durch das Risiko-deckungspotenzial (= Eigenkapital) laufend abgedeckt sein (ICAAP: Internal Capital Adequacy Assessment Process); Zur Gewährleistung der Risikotragfähigkeit sind geeignete Risiko-steuerungs- und controllingprozesse einzurichten, die eine Identifizierung, Beurteilung, Steuerung sowie Überwachung und Kommunikation der wesentlichen Risiken gewährleisten. Wahl der Methode zur Beurteilung der Risikotragfähigkeit liegt in der Verantwortung des Kreditinstituts. Die Geschäftsleitung hat eine Geschäftsstrategie und eine dazu konsistente Risikostrategie festzulegen und trägt die Verant-wortung für deren Umsetzung. 11

Warum ist Risikomanagement notwendig Warum ist Risikomanagement notwendig? Rechtliche Rahmenbedingungen - MaRisk 1.1 Adressenausfall-risiken Marktpreisrisiken Liquiditätsrisiken Operationelle Risiken Begrenzung der Adressenausfallrisiken unter Berücksichtigung der Risikotragfähigkeit Kein Kreditgeschäft ohne kreditnehmer-bezogenes Limit Auf der Grundlage der Risikotragfähigkeit ist ein System von Limiten zur Begrenzung der Marktpreisrisiken einzurichten Kein mit Marktpreis-risiken behaftetes Geschäft ohne Markt-preisrisikolimit Handelsbuchpositionen sind täglich, Anlage-buchpositionen viertel-jährlich zu bewerten KI muss sicherstellen, das Zahlungsverpflich-tungen jederzeit erfüllt werden können; Liquiditätsübersicht: Mittelzuflüsse – erwartete Mittelabflüsse Szenariobetrachtungen! Laufende Überprüfung, inwieweit das KI einen auftretenden Liquidi-tätsbedarf decken kann (Notfall-)Maßnahmen bei Liquiditätsengpass Wesentliche operatio-nelle Risiken müssen identifiziert und beurteilt werden. Bedeutende Schadens-fälle müssen analysiert werden. KI hat den OR durch angemessene Maß-nahmen Rechnung zu tragen. Unterrichtung der Ge-schäftsleitung 12

Risiko und Risikomaße 1.2. Stochastische Dominanz Risiko Exkurs: Stochastische Dominanz 1. Ordnung Stochastische Dominanz 2. Ordnung 1.3. Value at Risk, Varianz und Lower Partial Moments Value at Risk Varianz Lower Partial Moments (Down Side Risikomaße) 1.4. Risikoarten und Aggregation von Risiken Risikoarten Aggregation von Risiken 13

Risiko 1.2 14

Rothschild/Stiglitz-Theoreme Für risikoaverse Entscheider (d.h. u´(x) > 0 und u´´(x) < 0) sind die folgenden drei Risikokonzepte äquivalent in dem Sinne, dass sie zur Erwartungsnutzenmaximierung kompatibel sind (im Folgenden bezeichnen F bzw. G die Verteilungsfunktionen von bzw. ): Alternative F dominiert G im Sinne der SSD (Second-order stochastic dominance). G kann durch eine Serie von Mean Preserving Spreads aus F gewonnen werden. Dabei wird Verteilungsmasse aus der Mitte der Verteilung in deren Enden verlegt. G weist damit mehr Wahrscheinlichkeitsmasse in den Tails auf. G ist gleich F plus Noise (als Noise wird eine von F unabhängige Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 bezeichnet). 15 15

Stochastische Dominanz 1. Ordnung First-order stochastic dominance FSD 1.2 Exkurs: Stochastische Dominanz 1. Ordnung: ƒ(x) dominiert g(x) i.S.d. stochastischen Dominanz 1. Ordndung, wenn gilt: G(x) – F(x) > 0 für alle x G(x#) F(x#) G(x) = N(0,3) F(x) = N(4,2) x# 16

Stochastische Dominanz 2. Ordnung Second-order stochastic dominance SSD 1.2 Definition: Eine Dichtefunktion (x) dominiert eine Dichtefunktion g(x) i.S.d. stochastischen Dominanz 2. Ordnung, wenn gilt:   Annahme: (identische Erwartungswerte) F(x) = N(0,1) G(x) = N(0,3) 17

SSD – Beurteilung 1.2 18

Value at Risk (VaR) Definition 1.3 Definition: Value at Risk ist derjenige Verlust L (gemessen z.B. als Wertminderung einer Vermögensposition), der mit einer Wahrscheinlichkeit von (1-) [Konfidenzniveau] innerhalb eines bestimmten Zeitraumes (Haltedauer) nicht überschritten wird: VaR = 0,005 VaR = 0,01 19

Value at Risk (VaR) Beispiel (1) 1.3 Definition: Verlust : unsicherer zukünftiger Wert eines Assets : derjenige Vermögenswert, bei dessen Erreichen der Gewinn Null beträgt (z.B. Anfangswert oder erwartetes Endvermögen ) VaR auf Basis der Verlustverteilung VaR auf Basis der Assetwertverteilung 20

Value at Risk (VaR) Beispiel (2) 1.3 Definition: z.B. Tagesrendite einer Aktie Allg. gilt: 21

Value at Risk (VaR) Beispiel (3) 1.3 z.B. x = 3% = 0,03; V0 = 100 QZ(0,01) = -2,3263 QZ(): Quantil der Standardnormalverteilung QZ(0,05) = -1,6449 VaR(=0,01) = 2,3263x V0 = 0,069789·V0 VaR(=0,05) = 1,6449x V0= 0,049347V0 =0,05 Q(=0,01) Q(=0,05) 22

Value at Risk (VaR) Kritik In die Berechnung des VaR geht nur ein einziger Punkt der Wahrscheinlichkeitsverteilung ein, so dass er gegenüber vielen Veränderungen in der Ergebnisverteilung nicht sensitiv reagiert, insbesondere ist nicht gewährleistet, dass der VaR mit der SSD kompatibel ist (siehe Bsp. „VaR-Puts“). Die Anordnung von Verteilungen nach dem Risiko hängt vom gewählten Konfidenzniveau ab. Es ist nicht gewährleistet, dass der VaR stets subadditiv ist. Subadditivität ist aber für bestimmte Klassen von Verteilungen (z.B. Normalverteilung) gewährleistet. 23

Value at Risk (VaR) VaR-Puts 1.3 Beispiel: „VaR-Puts“ (Basispreis ≤ MW Underlying – VaR Long Underlying) Aktie; Kurs S = 100; Standardabweichung (täglich)  = 0,3 ; VaR(=0,01; t=10) = 2,33·0,95 = 2,21 Short Put mit K = S - VaR = 100 - 2,21 = 97,79 Portfolio Aktie VaR(Aktie) = VaR (Portfolio) (unter Vernachlässigung der Put-Prämie) Erwart. Down-Side Verlust(Aktie) < erwart. Down-Side Verlust(Portf.) Put 97.79 100 S VaR 2,21 24

Value at Risk (VaR) Kompatibilität mit SSD 1.3 Ergebnis -5 -4 -3 -2 -1 3 4  X 0,5 % 1 % 1,5 % 3 % 22,5 % 40 % 30 % 2,23 Y 2 % G(x)-F(x) 0 % r g(x) ≥(x) SSD 25

Value at Risk (VaR) Kompatibilität mit SSD 1.3 α3 VaRα3(Y) < VaRα3(X) Rangordnung auf der Basis des VaR hängt vom Konfidenzniveau ab. Rangordnung auf der Basis des VaR kann der SSD widersprechen. 26

Value at Risk (VaR) Subadditivität 1.3 Kreditbetrag Verlust (LGD) VaR98,5% Wahrscheinlichkeit 1 % 99 % Kredit A 100 50 Kredit B Portfolio, bestehend aus 0,5 Kredit A und 0,5 Kredit B, die Kreditausfallereignisse sind unkorreliert! Kreditbetrag Verlust (LGD) VaR98,5% 0,01 % 1,98 % 98,01 % 0,5(A + B) 100 50 25 27

Value at Risk (VaR) Kompatibilität mit SSD Normalverteilung 1.3 F(x) VaR(g) > VaR(ƒ) Für alle < 0,5 gilt: G(x) ) x ( f g r SSD VaR ³ Þ ) x ( f g r SSD ³ 28

Überblick über die Methoden Ermittlung des VaR Überblick über die Methoden 1.3 Identifikation der Risikofaktoren, z.B. Wechselkurse einzelne Aktie; Index für einen nationalen Markt Zinssatz für eine bestimmte Laufzeit Sensitivität der Posi-tionen bzgl. der Risi-kofaktoren, z.B. Delta modifizierte Duration; PVBP: Present Value of a Basis Point Volatilitäten der Risikofaktoren und Korrelationen Varianz-Kovarianz- Ansatz historische Simulation Monte-Carlo-Simu- lation C S C r 29

Beispiel - Ausgangsdaten Ermittlung des VaR Beispiel - Ausgangsdaten 1.3 Beispiel-Portfolio am 1.7.00 5 DAX-Call-Optionen 1 DAX-Pkt. = 1 € Ausübungspreis 6.500 Fälligkeit: 1.7.01 100.000 € Nullkuponanleihe Fälligkeit: 1.7.09 5.000 US-$ Kassaposition Ausprägung der Risikofaktoren am 1.7.98 DAX-Index (i=1) 5.906,85 Pkte. 9-Jahres-€-Nullkupon- 5,04% anleihe (i=2) €/$-Wechselkurs (i=3) 1,8190 €/$ Eintagesvolatilitäten i DAX 95,1 Pkte. Zero-Bond- 3,86 BP rendite (r9) €/$-Kurs 0,01055 € (w$) Korrelationsmatrix ij DAX w$ r9 DAX 1 0,1849 -0,0534 w$ 0,1849 1 -0,1448 r9 -0,0534 -0,1448 1 Sensitivitäten bzgl. der Risikofaktoren i DAX-Index 2,265 €/Pkt. 9-Jahres-Null- -55,0421 €/BP kuponrendite €/$-Kurs 5.000 = 5·Call = 5 ·0,453 = - 0,000550421 €/BP ·100.000 € 30

Beispiel - Varianz-Kovarianz-Ansatz Ermittlung des VaR Beispiel - Varianz-Kovarianz-Ansatz 1.3 Annahmen: es wird ein linearer Zusammenhang zwischen der Wertveränderung des Portfolios und den Veränderungen der Risikofaktoren angenommen (d.h. bei Options-positionen wird nur das Delta-Risiko berücksichtigt; : Marktwert der Position i = 1, …, 3 lineare Approximation: Risikofaktoren sind multivariat normalverteilt die sind normalverteilt mit der Varianz ; die sind normalverteilt mit der Varianz ; und der Portfoliowert ist auch normalverteilt mit 31 31

Beispiel - Varianz-Kovarianz-Ansatz Ermittlung des VaR Beispiel - Varianz-Kovarianz-Ansatz 1.3 Gesucht: VaR des Portfolios:  = 0,01  VaR = -Q()  2,33·p; x´ ·  · x = 32

Simulation Ermittlung des VaR 1.3 Simulation der Veränderung aller Risikofaktoren Neubewertung des gesamten Porte-feuilles nach jedem Simulationsschritt VaR = - Q() Historische Simulation: simulierte Veränderung der Risikofaktoren ent-spricht einer historisch beobachteten Verände-rung der Risikofaktoren Monte-Carlo-Simulation Simulation der Verände-rung aller Risikofaktoren mit einem Zufallsgenera-tor nach Vorgabe der Vola-tilitäten und Korrelationen Bei  = 0,01 und 300 Simulationen entspricht der VaR dem drittschlech-testen Wert 33

Vor- und Nachteile der Verfahren VaR Vor- und Nachteile der Verfahren 1.3 Varianz-Kovarianz-Ansatz (relativ) geringer Rechen- aufwand Normalverteilungsannahme häufig verletzt („fat tails“) Erweiterung auf andere Ver- teilungen möglich, Berück- sichtigung weiterer Momen- te wie Schiefe und Wölbung Linearität multiplikative Verknüp- fung zweier Risikofak- toren kann nicht adäquat berücksichtigt werden Optionsrisiken können nur approximativ erfaßt werden Monte-Carlo-Simulation auch andere Verteilungen als die Normalverteilung können berücksichtigt werden (z.B. t-Verteilung) auch nicht-lineare Risiken können berücksichtigt werden hoher Rechenaufwand Historische Simulation keine Verteilungsannahmen notwendig geringere Schätzgenauigkeit als bei Monte-Carlo-Simula- tion (sofern die Spezifikation der Verteilung korrekt ist) Anzahl der Beobachtungen ist durch die Länge der Schätzperiode begrenzt hoher Rechenaufwand 34

Falsche Definitionen in der Presse (1) VaR Falsche Definitionen in der Presse (1) Handelsblatt, 5.12.2008 in einem Artikel zur Credit Suisse: „Die Risikokennziffer Value-at-Risk misst den Betrag, den die Bank an einem Handelstag maximal verlieren kann.“ Homepage einer Wirtschaftsprüfungsgesellschaft: Allgemeine Darstellung des VaR Konzeptes Der VaR quantifiziert für einen vordefinierten Zeitraum die höchstmöglichen, erwarteten Verluste eines Portfolios. Zusätzlich wird ein Konfidenzniveau festgelegt, mit dessen Wahrscheinlichkeit der prognostizierte VaR-Wert nicht überschritten wird. Das Ergebnis ist immer eine einzelne Zahl in Form einer absoluten Größe. Sie gibt an, wie groß der mögliche finanzielle Verlust sein kann, bevor Gegenmaßnahmen wirksam werden können. 35

Falsche Definitionen in der Presse (2) VaR Falsche Definitionen in der Presse (2) FAZ, 30.04.2004: "Value at Risk" (VAR) ist eine Meßziffer, mit der Investmentbanken den größtmöglichen Tagesverlust aus ihren Handelspositionen abzuschätzen versuchen.“ Handelsblatt, 15.07.2009 in einem Artikel zu Goldman Sachs: „… Und die Bank ist auch wieder bereit, höhere Risiken einzugehen. Das zeigt die Kennziffer des maximalen prognostizierten Verlusts eines Handelstages (der sogenannte Value at Risk). Diese Kennziffer stieg im zweiten Quartal auf 245 Mio. Dollar, fünf Mio. Dollar mehr als im ersten Quartal.“ 36

Literatur Value at Risk (VaR) 1.3 Bühler/Korn/Schmidt 1998 (Vergleich der Verfahren) Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber 2007 Johanning 1998 (VaR-Puts) Jorion 1997 (ausführliche Lehrbuchdarstellung) Monatsberichte der Deutschen Bundesbank, Oktober 1998 (Beispiel Varianz-Kovarianz-Ansatz) 37

Varianz und SSD 1.3 Wenn f(x) hinsichtlich SSD g(x) dominiert, dann hat g(x) auch eine größere Varianz als f(x) . Die Umkehrbeziehung gilt im allgemeinen nicht, es sei denn f(x) und g(x) sind normalverteilt (mit identischem Erwartungswert) oder es liegen quadratische Nutzenfunktionen vor (und identischer Erwartungswert von f(x) und g(x) . Identischer Erwartungswert und Normalverteilung oder quadratische Nutzenfunktion 38

Lower Partial Moments 1.3 Definition: Lower Partial Moment der Ordnung n (n = 0, 1, ..., ): t : target payoff (z.B. Mindestrendite) n=0 : „target shortfall probability“ Wahrscheinlichkeit, daß die Zielgröße t nicht überschritten wird n=1 : „target shortfall mean“ / CVAR = Conditional Value at Risk Erwartungswert der Unterschreitung von t 39

LPM0 und VaR 1.3 40

1.3 Dominiert ƒ(x) die Dichtefunktion g(x) im Sinne von SSD , dann ist der „target-shortfall-Erwartungswert“ von g(x) größer als der von ƒ(x) Die Umkehrrelation gilt nicht! 41

LPM, VaR, Varianz Literatur 1.3 Guthoff/Pfingsten/Wolf 1997 Johanning 1998 Oehler/Unser 2001 42

Ermittlung einer Gesamtrisikoposition 1.4 1. Stufe Saldierung gegenläufi-ger Positionen, z.B. Ansprüche/Verpflich-tungen, die sich auf dieselbe Fremdwäh-rung beziehen Ansprüche/Verpflich-tungen, die sich auf denselben Vertrags-partner beziehen 2. Stufe Aggregation der Einzel-nettopositionen zu einer Gesamtrisikopo-sition je Risikoart, z.B. offene Gesamt- währungsposition offene Festzinspo- sition 3. Stufe Aggregation der Risiko-positionen über die Risikoarten zu einer Gesamtrisikoposition Korrelationen/Substitutions-beziehungen Korrelationen 43

(Marginaler) Risikobeitrag einer einzelnen Risikoposition 1.4 Wie verändert sich der VaR, wenn eine infinitesimal kleine Risikoposition der bestehenden Risikoposition hinzugefügt wird? X : Zufallsvariable  mögliche Erträge aus der bestehenden Risikoposition Z : Zufallsvariable  mögliche Erträge aus einer zusätzlichen Risikoposition Yε = X + ε · Z Es gilt: Der marginale Risikobeitrag von Z entspricht dem Erwartungswert von Z unter der Bedingung, dass X genau den Wert des VaR annimmt. 44

(Marginaler) Risikobeitrag einer einzelnen Risikoposition 1.4 Spezialfall: X und Z sind bivariat normalverteilt Erwarteter Verlust der zusätzlichen Risikoposition β · unerwarteter Verlust der bisherigen Risikoposition 45

Finanzwirtschaftlich relevante Risikoarten (primär) Erfolgsrisiken (primär) Liquiditätsrisiken Marktpreisrisiken Fremdwährungsrisiken Zinsänderungsrisiken Aktienkursrisiken Rohwarenrisiken Gegenparteirisiken Kreditausfallrisiken Liefer- und Abwicklungsrisiken Neueindeckungsrisiko Terminrisiken Abrufrisiken Liquiditätsan- spannungsrisiken Operationelle Risiken Liquiditätsverordnung (LiqV) BaFin Solvabilitätsverordnung (SolvV) BaFin 46

Finanzwirtschaftlich relevante Risikoarten  Rang im Jahr 2008  Risiko / Risikoquelle   Rang im Jahr 2006    1  Liquiditätsengpass    -    2  Kreditrisiko     2    3   Volatile Risikoprämien    4  Entwicklung bei Derivaten    5  Makroökonomische Trends  14    6  Risikomanagement  10    7  Entwicklung der Aktienmärkte  12    8  Überregulierung    9   Zinsentwicklung    5   Entwicklung von Hedge Funds Risiken nach dem "Banking-Banana-Skins-Index 2008" 

Gliederung Kreditausfallrisiken Grundlagen Expected Loss Exposure at Default Loss Given Default Recovery Rates Probability of Default Ratings 2. Prognose von Ausfallwahrscheinlichkeiten Kreditscoring Diskriminanzanalyse als Verfahren zur Insolvenzprognose Die Logit-Regression – Moody´s RISKCALCTM

Gliederung 3. Kreditbewertung mit Hilfe der Optionspreistheorie Grundlagen Kredit als Option auf den Unternehmenswert Credit Spreads KMV-Credit-Monitor-Model Kreditbewertung mit Hilfe von Reduktionsmodellen (Intensitätsmodelle) 5. Kreditportfoliosteuerung am Beispiel von CreditMetrics™ Dateninput Risiko eines einzelnen Kredits Kreditportfoliosteuerung – Korrelationen

Messung von Kreditausfallrisiken in der Solvabilitätsverordnung Grundlagen Messung des Exposure at Default (EAD) Risikogewichte im Kreditrisikostandardansatz Risikogewichte im IRBA Kreditrisikominderungen

Literatur Bluhm, Chr./Overbeck, L./Wagner, Chr.: An Introduction to Credit Risk Modeling, Boca Raton et al. 2003 Burghof, P./Henke, S./Rudolph, B./Schönbucher, P./Sommer, D. (Hrsg.): Kreditderivate – Handbuch für die Bank- und Anlagepraxis, Stuttgart 2000. Crouhy, M./Galai, D./Mark, R.: Risk Management, New York et al. 2001. Crouhy, M./Galai, D./Mark, R.: A comparative analysis of current credit risk models, in: Journal of Banking and Finance, vol. 24, 2000, S. 59-117. Felsenheimer, J./Gisdakis, P./Zaiser, M: Active Credit Portfolio Management, New York 2006. Hartmann-Wendels, T./Pfingsten, A./Weber, M.: Bankbetriebslehre, 4. Aufl., Berlin et al. 2007. J.P. Morgan: CreditMetrics™, Technical Document. Ong, M.K.: Internal Credit Risk Models: Capital Allocation and Performance Measurement, London 1999. Saunders, A.: Credit Risk Measurement, New York et al. 1999. vanDeventer, D./Imai, K.: Credit Risk Models and the Basel Accords, 2003

Grundlagen: Expected Loss EL = EAD · LGD · PD EL: Expected Loss; EAD: Exposure at Default; LGD: Loss Given Default PD: Probability of Default Implizite Annahme: LGD und EAD sind sichere Größen oder EAD und LGD sind Erwartungswerte und die entsprechenden Zufallsgrößen sind stochastisch unabhängig. unrealistisch!!! erwarteter Verlust gegeben Ausfall

Grundlagen: Exposure-at-Default EAD: Höhe der Forderung zum Zeitpunkt des Ausfalls = aktuelle Außenstände + voraussichtliche Inanspruchnahme von Kreditlinien EAD von Termingeschäften: Neueindeckungsrisiko Nettingvereinbarungen: EAD = Saldo der gegenseitigen Ansprüche und Verpflichtungen

Grundlagen: Loss-Given-Default LGD: Verlustquote im Insolvenzfall Recovery Rate (Wiedereinbringungsquote):  = 1- LGD Ermittlung der Recovery Rates: market (price) recovery Schätzung der Verlustquoten auf der Basis von Marktdaten börsen-gehandelter Unternehmensanleihen Market Recovery = Preis einer risikolosen Anleihe – Preis einer ausgefallenen Anleihe work-out-recovery Schätzung der Verlustquoten auf der Basis historischer Ausfalldaten Work-Out-Recovery =

Grundlagen: Recovery Rates 1982 - 2002 1982-2001 2002 Finanzierungsinstrument Europa Nord-amerika Besicherter Bankkredit 52,7% 56,9% 57,5% nicht verfügbar 54,2% Senior Secured Bonds 48,5% 52,0% 49,9% 51,3% 44,8% 55,1% Senior Unsecured Bonds 15,5% 33,5% 14,1% 36,6% 16,3% 27,9% Sr. Subordinated Bonds 10,2% 28,0% 11,5% 28,7% 21,5% Subordinated Bonds 8,6% 13,0% 2,7% Jr. Subordinated Bonds 16,5% Alle Finanztitel 16,8% 33,3% 35,2% 17,1% 28,1% Quelle: Moody´s Investors Service, Default and Recovery Rates of European Corporate Bond Issuers, 1985-2002, May 2003, Tab. 18.

Grundlagen: Ökonomische versus Preis-Recovery Market Recovery in % Work-Out-Recovery in % Durchschnitt Standardab-weichung 1998 senior secured loans 72,8 21,0 86,7 22,8 senior unsecu-red loans k. A. 79,4 26,6 1996 71 21 79 29 Quelle: Moody´s Investors Service 1996, 1998

Grundlagen: Recovery Rates besicherter Kredite Art der Sicherheit Durchschnitt Standardabweichung Aktien von Tochterunternehmen 73,55% 30,95% Ausrüstung und Maschinen 85,43% 23,44% im wesentlichen alle Aktiva 88,78% 18,19% Zahlungsmittel, Forderungen, Vorräte 89,77% 20,67% Quelle: Moody´s Investors Service 1998

Bimodale Verteilung ist typisch für Work-out Recovery

Bimodale Verteilung ist typisch für Work-out Recovery

Beta-Verteilung typisch für Market-Recovery Quelle: Gupton/Stein 2002, LossCalc™

Grundlagen: Probability of Default

Grundlagen: Ratings Rating-Agenturen: Moody´s Investors Service, Standard&Poor´s, Fitch Zeithorizont üblicherweise ein Jahr Default-Definition: „Severe-Default“ vs. „Mild-Default“ Point-in-Time vs. Through-the-Cycle Rating Absicherung durch Bürgschaften oder Garantien: „double default effect“ pG: Ausfallwahrscheinlichkeit des Garanten pD: Ausfallwahrscheinlichkeit des Schuldners

Herleitung der gemeinsamen Ausfallwahrscheinlichkeit

Grundlagen: Ratings AAA investment EXTREMELY STRONG capacity to meet its financial commitments AA VERY STRONG capacity to meet its financial commitments A STRONG capacity to meet its financial commitments BBB ADEQUATE capacity to meet its financial commitments BB speculative LESS VULNERABLE in the near, however faces major ongoing uncertainties B Obliger currently has the capacity to meet its financial commitment CCC CURRENTLY VULNERABLE CC CURRENTLY HIGHLY VULNERABLE C CURRENTLY HIGHLY VULNERABLE subordinated debt, preferred stock R under regulatory supervision SD, D selective default, default; has failed to pay one or more of its obligations N.R. not rated

2. Prognose von Ausfallwahrscheinlichkeiten Einführung Diskriminanzanalyse als Verfahren zur Insolvenzprognose Die Logit-Regression als Verfahren zur Insolvenzprognose

Kreditscoring Aggregation von Merkmalsausprägungen Skalierung der Merkmalsaus-prägungen Bewertung der Merkmalsaus-prägung im Einzelfall Addition der Punktwerte Zuordnung des Kunden zu Klassen (Rating/Trennscore) nicht nur erfahrungsbasiert („präskriptiv“), sondern auch statistisch ableitbar („deskriptiv“ z.B. Diskriminanzanalyse) a = Kreditnehmer ai = Ausprägung des i-ten Kriteriums vi(ai) = Wert der Ausprägung des i-ten Kriteriums wi = Gewichtungsfaktor des i-ten Kriteriums

Diskriminanzanalyse als Verfahren zur Insolvenzprognose Konzeption des Verfahrens Univariate Diskriminanzanalyse Multivariate Diskriminanzanalyse Validierung Beispiel: Altman`s Z-Wert Bewertung

Konzeption der Diskriminanzanalyse Trennung „guter“ und „schlechter“ Kreditnehmer Identifikation trennscharfer Kreditnehmermerkmale als Bonitätsindikatoren auf Basis historischer Kredite 1. Stichprobe: vertragsgemäß bediente Kredite („gute Kreditnehmer“) 2. Stichprobe: leistungsgestörte Kredite („schlechte KN“) Validierung der ermittelten Diskriminanzfunktion Anwendungsvoraussetzungen der Diskriminanzanalyse Kreditnehmermerkmale müssen multivariat normalverteilt sein Identität der Varianz-Kovarianz Matrizen

Univariate Diskriminanzanalyse Vergleich der Merkmals-ausprägungen bei guten und schlechten Kredit-nehmern Bestimmung des „kritischen Wertes“, der die Anzahl der Fehlklassi-fikationen minimiert a-Fehler: Kreditver-gabe an schlechten KN b-Fehler: Kreditver- weigerung bei gutem KN Schluss auf die Gesamtheit der Kreditnehmer guter Kreditnehmer schlechter Kreditnehmer 100 Z* Verschuldungsgrad (%)

Multivariate (lineare) Diskriminanzanalyse Aggregation mehrerer Merkmale zur Trennung „guter“ und „schlechter“ KN Ermittlung einer Diskriminanzfunktion, zumeist als lineare Funktion Bestimmung des Z-Wertes, der die Anzahl der Fehlklassifikationen minimiert Schluss auf die Gesamtheit der KN Eigenkapitalrentabilität (%) mit: ai = Gewichtungsfaktor des Merkmals i xi = Ausprägung des Merkmals i Z = a0 + a1· x1 + a2· x2 + ...+ an· xn Verschuldungsgrad (%) gute Kreditnehmer schlechte Kreditnehmer

Validierung der Diskriminanzfunktion kritischer Z-Wert minimiert die Gesamtzahl der Fehlklassifikationen Besser: Optimierung über ein Kontinuum von Trennwerten mit dem Kriterium der Fehlerfläche Ziel: Wahl der Diskriminanzfunktion mit der minimalen Fehlerfläche -Fehler 100% 0,62 75% 25% 50% 75% 100% ß-Fehler Referenzpunkt 50% 25% Fehlerfläche -Fehler 0% 25% 50% 75% 100% 67,5 135 202,5 270

Beispiel für eine MDA zur Insolvenzprognose: Altman`s Z-Wert Z = 0,717·x1 + 0,847·x2 + 3,107·x3 + 0,420·x4 + 0,998·x5 x1 = Nettoumlaufvermögen/Bilanzsumme x2 = Gewinnrücklagen/Bilanzsumme x3 = Gewinn vor Zinsen und Steuern (EBIT)/Bilanzsumme x4 = Eigenkapital/Schulden x5 = Umsatz/Bilanzsumme Es gilt: Z < 1,20  hohe Insolvenzgefahr! 1,20 < Z < 2,90  „grauer Bereich“ Z > 2,90  unbedenklich (Altman, E.: Financial Ratios, Discriminant Analysis, and the Prediction of Corporate Bankruptcy, JoF, vol. 22 (1968), S. 589-609.)

Bewertung Diskriminanzanalyse Vorteile ermöglicht eine standardisierte Kreditwürdig-keitsprüfung (Vereinheitlichung, Kosten-ersparnis) zentrale Steuerung der Kreditvergabe ( Festlegung des branchenspezifischen Cut-off-Wertes) Probleme konzeptionelle Probleme ( z.B. Normalver-teilungsannahme, qualitative Merkmale, Beschränkung auf lineare Zusammenhänge) Akzeptanzprobleme ( fehlende ökono-mische Kausalerklärung) Mögliche Lösungsansätze: Logit Regression Künstliche Neuronale Netze

Beispiel einer Logit-Regression: Moody`s RISKCALCTM Anspruch: Transparentes Benchmarksystem schaffen nur „hard data“ verwenden (d.h. nur Bilanzdaten gehen ein!) Ziele: Verständlichkeit Statistische Power Trennschärfe Kalibrierung an Ausfallraten Empirisch validierbar Vorgehensweise bei der Entwicklung von RISKCALCTM: 1. Transformation der Inputvariablen 2. Schätzung einer multivariaten Logit-Regression 3. Anpassung des Modells an empirische Ausfallraten Quelle: Moody`s Investors Service (2000): RiskCalcTM for Private Companies: Moody`s Default Model sowie Moody`s Investors Service (2001): Moody`s RiskCalcTM für nicht börsennotierte Unternehmen: Das deutsche Modell;

kumulierte 5-Jahres-Ausfallrate T(x) Moody`s RISKCALCTM Schritt 1: Transformation der Inputvariablen Eine typische Transformationsfunktion kumulierte 5-Jahres-Ausfallrate T(x) Net Income/Assets: x Schritt 2: Schätzung eines multivariaten Logitmodells (x, ß) = (ß0 + ß1·T1(x1) + ß2·T2(x2) + ... + ßn·Tn(xn))

Moody`s RISKCALCTM Schritt 3: Anpassung des Modells an empirische Ausfallraten (Kalibrierung) kalibrierte Ausfallwahrscheinlichkeit Ausfallrate (%) empirische Ausfallrate Modell-Output Das Mapping der Modell-Ausgabe auf empirische Ausfallraten erfolgt mit Hilfe eines Glättungs-Algorithmus.

Moody`s RISKCALCTM Die Kennzahlen des RISKCALCTM Germany Kennzahl Definition Kapitalbindungsdauer ((Akzepte + Verbindlichkeiten aus Lieferung und Leistung)·360) : Umsatz Fremdkapitalstruktur (Akzepte + Verbindlichkeiten aus Lieferung und Leistung + Bankverbindlichkeiten) : (Fremdkapital – Erhaltene Anzahlungen) Nettoverschuldungsquote (Kfr. Fremdkapital – Kassenbestand) : (Bilanzsumme) Eigenkapitalquote (Eigenkapital – Immaterielle Vermögensgegenstände) : (Bilanzsumme – Immaterielle Vermögensgegenstände – Kassenbestand – Grundstücke und Bauten) Finanzkraft Ertragswirtschaftlicher Cash Flow : (Fremdkapital – Erhaltene Anzahlungen) EBITD-ROI (Jahresüberschuss + Zinsaufwendungen + Steuern vom Einkommen und Ertrag + Abschreibungen) : Bilanzsumme Umsatzrentabilität Ordentliches Betriebsergebnis : Umsatz Personalaufwandsquote Personalaufwand : Umsatz Umsatzwachstum Umsatz(t) : Umsatz(t-1)

Bewertung Logit-Regression Vorteile ermöglicht die Berücksichtigung nichtlinearer Beziehungen zwischen y und x Einsatz von Dummy-Variablen möglich Probleme Wahl einer repräsentativen Stichprobe für Modellkalibrierung Konstanz der Parameter im Zeitablauf unterstellt Auswahl der Bonitätsindikatoren Beschränkung auf lineare Zusammenhänge unter den Bonitätsindikatoren Mögliche Lösungsansätze: Paneldaten-Modelle Künstliche Neuronale Netze

3. Kreditbewertung mit Hilfe der Optionspreistheorie Grundlagen Kredit als Option auf den Unternehmenswert Credit Spreads Ausfallwahrscheinlichkeiten KMV-Credit-Monitor-Model Erweiterungen

Asset Value Modelle und Kreditausfallrisiken Grundidee: Kreditausfallrisiko hängt von der Wertentwicklung der Unter-nehmensaktiva ab, der Kredit fällt dann aus, wenn der Unternehmenswert eine Schwelle unterschreitet (Merton) Kredit ist ein Derivat auf den Wert der Aktiva, d.h. auf den Unternehmenswert Bewertung des Kreditausfallrisikos mit Methoden der Options-preistheorie

Asset Value Modelle und Kreditausfallrisiken Modellierungsvarianten Insolvenzzeitpunkt nur bei Kreditfälligkeit auch während der Laufzeit des Kredits möglich Insolvenzauslöser Unternehmenswert unterschreitet eine konstante Schranke eine im Zeitablauf variable Schranke die ausstehende Nominalforderung Rückzahlung (Verlust) im Insol-venzfall (recovery rate, loss given default) konstanter Betrag (%-Satz d. Nominal-forderung bzw. der Insolvenzschranke) %-Satz des Unter-nehmenswerts im Insolvenzfall Unternehmens-wertprozess Diffusionsprozess Sprung-Diffusions-prozess

OPT und Kreditausfallrisiken Black-Scholes-Merton-Modell Investitionspolitik ist gegeben und wird durch die Finanzierung nicht beeinflusst (kein Moral Hazard); Der Verschuldungsgrad ist konstant; Die Entwicklung des Unternehmenswerts kann durch folgenden stochastischen Prozess beschrieben werden: Der Zinssatz für sichere Anlagen ist konstant Der Kredit hat die Zahlungsstruktur eines Zero-Bonds Konkurs kann nur im Fälligkeitszeitpunkt des Kredits eintreten Das Insolvenzkriterium lautet: VT < R Der Verlust der Kreditgeber im Insolvenzfall entspricht der Differenz R – VT (= Nominalwert der Forderung – Unternehmenswert)

Exkurs 1: Moral Hazard 2 alternative Investitionsprojekte: A und B (Kosten je 105, sicherer Zins = 0%) 1/2 100 (0) 120 (20) EW(A)=110 1/2 80 (0) 140 (40) EW(B)=110 Welche Anreize ergeben sich für die EK-Geber, falls ein Kredit mit einer Rückzahlung in Höhe von 100 aufgenommen werden kann? → EWEK(A) = 10 PD(A) = 0 → EWEK(B) = 20 PD(B) = 0,5 Wahl der FK-Geber Wahl der EK-Geber

Exkurs 2: diskrete vs. stetige Verzinsung i = Jahreszinssatz; (1+i)t: diskreter Aufzinsungsfaktor (AZF) m: Teilperioden eines Jahres → (1+i/m)m AZF für 1 Jahr (t = 1) d.h. für den stetigen Zinssatz r muss gelten: z.B.: i = 5% → r = ln(1+0,05) = 0,048 In der Bewertungstheorie wird i.d.R. ein stetiger Zeitstrahl betrachtet:

Exkurs 3: geometrische Brownsche Bewegung (1) Der Unternehmenswert folgt einer geometrischen Brownschen Bewegung: µ: Drift (erwartete Unternehmenswertrendite je Zeiteinheit) σ2: Varianz der Unternehmenswertrendite je Zeiteinheit z: Standard Brownsche Bewegung mit relative Veränderung: Vt Drift µV0 V0 erwarteter Unternehmenswert: t

Exkurs 3: geometrische Brownsche Bewegung (2) Bei Anwendung von Itô’s Lemma folgt für die Veränderung des logarithmier-ten Unternehmenswerts eine Brownsche Bewegung mit Drift: Daraus folgt, dass die logarithmierte Unternehmenswertrendite normalverteilt ist mit Erwartungswert und Standardabweichung

OPT und Kreditausfallrisiken Kredit als Option Rückfluss R V0 Unternehmenswert Wert eines ausfallrisikobehafteten Kredits = Wert des sicheren Kredits - Wert der Verkaufsoption (P)

OPT und Kreditausfallrisiken Wert eines ausfallbedrohten Kredits Barwert eines sicheren Kredits x risikoneutralisierte Solvenzwahr-scheinlichkeit Barwert der Kreditrückzahlung im Insolvenzfall

OPT und Kreditausfallrisiken Credit Spread Credit Spread [H(T) = r*(T) – r]: Differenz zwischen der Verzinsung eines ausfallbedrohten Kredits (yield-to-maturity) und dem sicheren Zinssatz. als debt-to-firm-value ratio  Verschuldungsgrad mit

OPT und Kreditausfallrisiken Credit Spread Funktion in Abhängigkeit von der Laufzeit N(PD*) = 0,7% d = 0,6  = 0,2 N(PD*) = risiko-neutralisierte Aus-fallwahrscheinlichkeit

OPT und Kreditausfallrisiken Einfluss des Verschuldungsgrades auf den Verlauf der Credit Spreads d = 0,5 d = 0,6 d = 0,7 d = 0,8  = 0,2

OPT und Kreditausfallrisiken Modifikation: Vorgabe einer exogenen Insolvenzgrenze I Kreditbedienung im Insolvenzfall ·R  (1 - w)·R (statt VT) deterministische recovery rate

OPT und Kreditausfallrisiken N(PD*): risikoneutralisierte Ausfallwahrscheinlichkeit

Reale vs. risikoneutralisierte PD Es gilt für den logarithmierten Unternehmenswert: reale PD: risikoneutralisierte PD: : erwartete Überendite pro Einheit Risiko

OPT und Kreditausfallrisiken KMV-Credit-Monitor-Model Ermittlung einer kreditnehmerspezifischen Ausfallwahrscheinlichkeit „EDF-expected default frequency“ auf der Basis der Black-Scholes-Merton-Optionspreisformel Aktie als Kaufoption auf den Unternehmenswert Ausübungswahrscheinlichkeit = 1- Insolvenzwahrscheinlichkeit Insolvenzgrenze: kurzfristige Verbindlichkeiten + Hälfte des Buchwertes der langfristigen Verbindlichkeiten

OPT und Kreditausfallrisiken KMV-Credit-Monitor-Model E*[ln VT] : risikoneutralisierter Erwartungswert des logarithmierten Unter-nehmenswertes im Fälligkeitszeitpunkt : distance-from-default pro Einheit Standardabweichung

OPT und Kreditausfallrisiken KMV-Credit-Monitor-Model Distance from default im KMV-Modell: Annahme: Normalverteilung von V0 Bsp.: 0,95 EDF=0,025 EDF: (theoretische) Expected Default Frequency) 2· Anzahl der Unternehmen mit distance from default von 2·, die innerhalb eines Jahres insolvent wurden Empirische EDF = Gesamtzahl der Unternehmen mit einer distance from default von 2· zu Beginn des Jahres

OPT und Kreditausfallrisiken Erweiterungsmöglichkeiten: Insolvenz während der Kreditlaufzeit (Barrier Options) Kredite mit zwischenzeitlichen Zins- und Tilgungszahlungen (Barrier Options) stochastisches Zinsniveau (Korrelation zwischen dem stochastischen Prozess der Zinsentwicklung und dem der Unternehmenswertentwicklung) Unternehmenswert folgt einem Sprungdiffusionsprozess (Konkurs kann „überraschend“ eintreten) Berücksichtigung impliziter Optionen Kündigungsrechte (Verkaufsoption auf den Kredit) Kreditsicherheiten (Tauschoptionen)

4. Kreditbewertung mit Hilfe von Reduktionsmodellen (Intensititätsmodelle) Insolvenz als ein „rein“ zufälliges Ereignis, das jederzeit eintreten kann; keine Erklärung der Insolvenz durch ein ökonomisches Modell; Beispiel: ausfallbedrohte (Zero-Bond)-Anleihe mit der Restlaufzeit T = 2 Kurs der Anleihe in t0 = 142,22 € Konkurs kann entweder in t1 oder t2 eintreten LGD im Konkursfall 60 % → Recovery Rate = 40 % (bezogen auf den Forderungswert ohne Berücksichtigung der Konkursmöglichkeit) Zinssatz für sichere Anlagen konstant 5 % → Barwert einer äquivalenten sicheren Anleihe:

Kreditbewertung mit Hilfe von Reduktionsmodellen (Intensititätsmodelle)  1- Aus dem Prinzip der risikoneutralen Bewertung folgt: 1S, 1I : Wert der Anleihe in t1 im Fall der Solvenz bzw. Insolvenz;  : (noch zu bestimmende) risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten

Kreditbewertung mit Hilfe von Reduktionsmodellen (Intensititätsmodelle) 22 0 : Wert der Anleihe in t0 (142,22)

Einsetzen für 1I und 1S: Kreditbewertung mit Hilfe von Reduktionsmodellen (Intensititätsmodelle) Einsetzen für 1I und 1S: mit PD: risikoneutralisierte Wahrscheinlichkeit dafür, dass bis t2 Insolvenz eintritt; PD = 0,36;  = 0,2

Kreditbewertung mit Hilfe von Reduktionsmodellen (Intensititätsmodelle) Bewertung eines Credit Default Swaps auf den Kredit:  = 200 · 0,6  1 -  1 -  Wert des risikolosen Kredits Wert der risiko-behafteten Anleihe

Kreditbewertung mit Hilfe von Reduktionsmodellen (Intensititätsmodelle) Erweiterung auf den zeitkontinuierlichen Fall  : Intensitätsrate; Insolvenz als erster Sprung eines Sprungprozesses; Konstante Intensitätsrate  Deterministische Funktion der Zeit (t) Intensitätsrate als stochastischer Prozess (t,) Unsicherheit über die Entwicklung des Zinsniveaus mehr als zwei Umweltzustände; Ratingveränderungen

5. Kreditportfolio-Steuerung am Beispiel von Credit Metrics™ CreditMetrics™ J.P. Morgan 1997 Mark-to-Market-Mode Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Wertes des Kredit-portefeuilles in einem Jahr; Ausgangs-Rating, Rating Migration (Übergangsmatrizen), erwarteter Verlust im Insolvenzfall (Loss Given Default) bzw. Recovery Rates, Korrelationen

Rating am Ende des ersten Jahres (%) CreditMetrics – Dateninput: Ein-Jahres-Übergangsmatrix Ausgangs-rating AAA AA A BBB BB B CCC Default 90,81 8,33 0,68 0,06 0,12 0,70 90,65 7,79 0,64 0,14 0,02 0,09 2,27 91,05 5,52 0,74 0,26 0,01 0,33 5,95 86,93 5,30 1,17 0,18 0,03 0,67 7,73 80,53 8,84 1.00 1,06 0,11 0,24 0,43 6,48 83,46 4,07 5,20 0,22 1,30 2,38 11,24 64,86 19,79 Rating am Ende des ersten Jahres (%)

CreditMetrics – Dateninput: Recovery Rates Rangstellung Erwartungswert (%) Standardabweichung (%) Senior Secured 53,80 26,86 Senior Unsecured 51,13 25,45 Senior Subordinated 38,52 23,81 Subordinated 32,74 20,18 Junior Subordinated 17,09 10,90

CreditMetrics – Dateninput: Forward zero Kurven in Abhängigkeit vom Rating (in %) Jahr t+1 Jahr t+2 Jahr t+3 Jahr t+4 AAA 3,60 4,17 4,73 5,12 AA 3,65 4,22 4,78 5,17 A 3,72 4,32 4,93 5,32 BBB 4,10 4,67 5,25 5,63 BB 5,55 6,02 6,78 7,27 B 6,05 7,02 8,03 8,52 CCC 15,05 15,02 14,03 13,52 Forward zero rate: Zinssatz für ein Termingeschäft über eine Geldanlage/Kreditauf-nahme, das heute abgeschlossen wird; Zeitraum der Geldanlage/Kreditaufnahme ist (t,t+). Hier: t=1; =1,...,4. Die Forward zero rates können aus der Verzinsung und den Marktpreisen von (risikolosen) Staatsanleihen hergeleitet werden. Die hier verwendeten Forward zero rates enthalten darüber hinaus einen Credit Spread in Abhängigkeit vom Rating, der aus den Preisen für Corporate Bonds ermittelt werden kann.

CreditMetrics – Risiko eines einzelnen Kredits Kredit mit 5-jähriger Restlaufzeit, Kreditbetrag 100, jährlicher Kupon 6%, Tilgung am Ende der Laufzeit; Ausgangs-Rating: BBB; Senior Unsecured Wert des Kredits in t=1 unter der Annahme, dass der Schuldner nach A hochgeratet wird: Rating Jahr t+1 Jahr t+2 Jahr t+3 Jahr t+4 A 3,72 4,32 4,93 5,32

Wahrschein-lichkeit (pi) CreditMetrics – Risiko eines einzelnen Kredits Rating in t=1 Wahrschein-lichkeit (pi) Kreditwert (+Kupon) AAA 0,02 109,37 AA 0,33 109,19 A 5,95 108,66 BBB 86,93 107,55 BB 5,30 102,02 B 1,17 98,10 CCC 0,12 83,64 Default 0,18 51,13 Erwartungswert : 107,09 Varianz* 2: 8,9477 * Ohne Berücksichtigung der Unsicherheit in der Recovery Rate

CreditMetrics – Wahrscheinlichkeitsverteilung der Kreditwerte und Risikomaße 1. Standardabweichung: Ohne Berücksichtigung der Un-sicherheit über die Recovery Rate: mit Berücksichtigung der Unsicher-heit über die Recovery Rate: 0 nur für i = Default

CreditMetrics – Wahrscheinlichkeitsverteilung der Kreditwerte und Risikomaße - 55,96 0,18 Default - 23,45 0,30 CCC - 8,99 1,47 B - 5,07 6,77 BB 0,46 93,7 BBB 1,57 99,65 A 2,1 99,98 AA 2,28 100 AAA Abweichung von  kumulierte Wahr scheinlichkeit Rating in t=1 2. Value at Risk: Verlust (gemessen als Abweichung vom Erwartungswert), der mit einer Wahrscheinlichkeit von (1-) nicht überschritten wird.  = 0,01 (= 1,00%) VaR = 8,99

CreditMetrics – Wahrscheinlichkeitsverteilung der Kreditwerte und Risikomaße

CreditMetrics – Wahrscheinlichkeitsverteilung der Kreditwerte und Risikomaße 1,47 -8,99

CreditMetrics: Kreditportfoliosteuerung

CreditMetrics: Kreditportfoliosteuerung Gemeinsame Wahrscheinlichkeit pij : Wahrscheinlichkeit, dass Schuldner 1 in einem Jahr in Ratingklasse i und Schuldner 2 in Ratingklasse j eingestuft wird. stochastische Abhängigkeit zwischen den Schuldnern; Korrelation Bedingte Wahrscheinlichkeit Im Fall der stochastischen Unabhängigkeit gilt: pij = pi · pj

CreditMetrics: Kreditportfoliosteuerung Berechnungsprobleme: M: Anzahl der Kreditnehmer im Kreditportfolio K : Anzahl der Ratingklassen KM Bonitätszustandskombinationen möglich M = 10 ; K = 8 : 810 = 1.073.741.824 Bonitätszustands- kombinationen möglich! M·(M - 1)/2 Korrelationen M = 5.000 KN 12.497.500 Korrelationen!

CreditMetrics: Kreditportfoliosteuerung Ermittlung von Kreditkorrelationen tatsächliche Rating- und Ausfallkorrelationen, abgeleitet aus historischen Informationen der Rating-Agenturen; geringer Datenumfang Schuldner mit demselben Rating sind nicht identisch Korrelationen von Bond Spreads unterschiedliche Anleihen desselben Emittenten können zu verschiedenen Spreads gehandelt werden Es wird pauschal eine konstante Korrelation vorgegeben Korrelationen werden vernachlässigt Verwendung von Aktienkurskorrelationen Nur bei Aktiengesellschaften anwendbar

CreditMetrics: Kreditportfoliosteuerung Asset Value Model Kreditwert hängt ab vom Unternehmenswert Veränderungen im Kredit-wert sind die Folge von Veränderungen im Unternehmenswert Transformation von Übergangswahrscheinlichkeiten in Wahrscheinlichkeiten, dass der Unternehmenswert bestimmte Schwellenwerte unter- bzw. überschreitet Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Unternehmenswertänderung Ermittlung der Korrelationen der Unternehmenswertänderungen durch ein Linearfaktoren-Modell

CreditMetrics: Kreditportfoliosteuerung

Transformation von Asset Values in Ratings Annahme: Unternehmenswertänderung (R= V/V = Unternehmensrendite) ist normalverteilt mit E[R] =  = 0 und Var[R] = 2 > 0; N(·): kumulative Dichtefunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen Definition von Schwellenwerten Z für die Unternehmenswertänderung (return thresholds), die die Eigenschaft besitzen, dass bei einer Unter- bzw. Überschreitung der Schwellenwerte das Unternehmen in eine andere Rating-Kategorie (bzw. in die Insolvenz) fällt: Daraus folgt:

Transformation von Asset Values in Ratings Ein-Jahres-Übergangswahrscheinlichkeiten für einen BB gerateten Schuldner

Transformation von Asset Values in Ratings ZDef/ ZCCC/ ... Kumulative Dichtefunktion einer standard-normalverteilten Zufallsvariablen

Transformation von Asset Values in Ratings Für einen BB-gerateten Bond gilt aus der Übergangsmatrix: Prob{Default} = 0,0106: N(ZDef/) ZDef/

Transformation von Asset Values in Ratings ZDef/ ZCCC/

Transformation von Asset Values in Ratings Annahme: Im Kreditportefeuille befindet sich ein zweiter Schuldner, der das Ausgangsrating A besitzt.

Ermittlung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung Wahrscheinlichkeit dafür, dass sowohl Schuldner 1 BB-geratet bleibt als auch Schuldner 2 in der Ratingklasse A verbleibt: f(•): Dichtefunktion einer bivariat normalverteilten Zufallsvariablen für

Ermittlung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Volatilität der Unternehmensrendite ist für die Ermittlung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Rating-Änderungen irrelevant, wichtig sind nur die Übergangswahrscheinlichkeiten und die Korrelationen der Unternehmensrenditen! Im folgenden werden daher standardnormalverteilte Unternehmens-renditen betrachtet.

Ermittlung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung  = 20%

Bestimmung der Korrelationen der Unternehmensrenditen Problem: Anzahl der Korrelationen, die zu schätzen sind, beträgt n: Anzahl der Kredite; z.B.: n = 100  4950 Korrelationen! Korrelationen von Unternehmensrenditen werden ersetzt durch die Korrelationen von Länder- und/oder Branchenindizes; Veränderungen der Unternehmensrendite werden zurückgeführt auf Veränderungen von Branchen und/oder Länderindizes (systematisches Risiko) sowie auf unternehmensspezifische Veränderungen (unsystematisches, idiosynkratisches Risiko); mit

Bestimmung der Korrelationen der Unternehmensrenditen systematisches Risiko unsystematisches Risiko wj : (unskalierter) Gewichtungsfaktor für das unternehmensspezifische Risiko des Schuldners j : „wj - Prozent der (standardisierten) Unternehmensrendite werden durch unternehmensspezifische Ein-flüsse erklärt“ wj,k : (unskalierter) Gewichtungsfaktor für den Index k, Schuldner j : „wj,k –Prozent der systematischen Komponente werden durch den Index k erklärt“

Bestimmung der Korrelationen der Unternehmensrenditen Beispiel: Schuldner 1 sei ein deutsches Unternehmen; das systematische Risiko sei vollständig durch den DAX (= X1) erklärbar; Schuldner 2 sei ein amerikanisches Unternehmen; das systematische Risiko sei vollständig durch den Dow Jones (=X2) erklärbar; Die Korrelation zwischen dem DAX und dem Dow Jones sei 0,5; Der Anteil des systematischen Risikos am Gesamtrisiko sei für beide Unternehmen 90 % (→ 10 % unsystematisches Risiko);

Bestimmung der Korrelationen der Unternehmensrenditen

Bestimmung der Korrelationen der Unternehmensrenditen

6. Messung von Kreditausfallrisiken in der Solvabilitätsverordnung Grundlagen Messung des Exposure at Default (EAD) Risikogewichte im Kreditrisikostandardansatz Risikogewichte im IRBA Kreditrisikominderungen

Risikoaktiva und damit verbundene Risiken

Grundsätzlicher Aufbau regulatorischer Verfahren zur Kreditrisikomessung

Eigenmittelunterlegung nach KSA und IRBA Kreditrisiko-Standardansatz (KSA) Auf internen Ratings basierender Ansatz (IRBA) Bemessungsgrundlage: Nettoexposure Risikogewicht abhängig von externem Rating Schuldnerklasse Forderungsklasse Bemessungsgrundlage: Bruttoexposure - Wertberichtigungsvergleich Risikogewicht abhängig von PD: einjährige Ausfallwkt. gemäß internem Rating LGD: Standardwert (Basisansatz) selbst geschätzt (fortgeschrittener Ansatz) M: Standardwert (Basisansatz) ermittelt (fortgeschrittener Ansatz) Forderungsklasse

Komponenten des Ausfallrisikos

Vorschriften zur Ermittlung des EAD

Konversionsfaktoren für außerbilanzielle Geschäfte

Laufzeit- und Marktbewertungsmethode Current Exposure Potential + = at Default Laufzeitmethode (nur Nichthandelsbuchinstitute) Kontraktvolumen · laufzeitbezogener Anrechnungssatz

Ratingabhängige Risikogewichte im Standardansatz

Ratingunabhängige Risikogewichte im Standardansatz

Komponenten des Risikogewichts im IRB-Ansatz Eigenmittel Exposure at Default Risikogewicht Wertberichtigungsvergleich = x ± ( Value - at Risk – EL) pro Einheit EAD und LGD = bedingte PD progn. PD abhängig von: • Ausfallwahrscheinlichkeit Forderungsklasse Unternehmensgröße LGD=Verlust im Insolvenzfall pro Einheit EAD Maturity (M) Restlaufzeit aufsichtlicher Skalierungs faktor

Forderungsklassen und Methoden zur Bestimmung der Risikogewichte

Forderungsklassen und Methoden zur Bestimmung der Risikogewichte

Struktur des IRB-Ansatzes für Kredite an Unternehmen In die Ermittlung des Risikogewichts gehen drei Größen ein, die – je nach dem, welcher der beiden Ansätze angewandt wird – entweder von der Bankenaufsicht vorgegeben oder aber von der Bank festgelegt werden. Loss given Default: Sicherheiten werden berücksichtigt; zwei Arten von Sicherheiten: finanzielle Sicherheiten (Wertpapiere, Barunterlegung) und physische Sicherheiten (Grundpfandrechte) Value-at-Risk: VaR pro Einheit Kredit und pro Einheit LGD bei einer einjährigen Haltedauer und einem Konfidenzniveau von 99,9%. Der VaR ist derjenige Verlust, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit – hier 99.9% - nicht überschritten wird. Die Berechnung des VaR basiert teilweise auf standardisierten Annahmen, als individuelle, vom Institut für jeden Kredit bzw. jede Rating-Klasse zu schätzende Inputgröße geht die Ausfallwahrscheinlichkeit, die Probability of Default ein. Probability of Default: einjährige Ausfallwahrscheinlichkeit; mindestens 0,03%; Minderung durch Garantien möglich. im IRB-Basisansatz vorgegeben 0,45 (0,75) Minderung des LGD durch Sicherheiten im IRB-Basisansatz vorgegeben 2,5 Jahre effektive Restlaufzeit im fortgeschrittenen IRB-Ansatz Mindest-PD: 0,03% Minderung der PD durch Garantien und Kreditderivate

Value-at-Risk – Expected Loss (pro Einheit EAD und pro Einheit LGD) Risikogewicht = LGD • VaR - EL • Maturity VaR EL Maturity Staaten, Banken, Unternehmen Anhand der VaR-Formel ist erkennbar, welche Faktoren in die Bestimmung des VaR eingehen: Die Ausfallwahrscheinlichkeit PD; Die Korrelation, die selbst wiederum von der Ausfallwahrscheinlichkeit abhängt; Das Konfidenzniveau 99,9% M : effektive Restlaufzeit; 1  M  5

Value-at-Risk - Retail-Portfolio - Hypothekarkredite Revolvierende Kredite Retail-Portfolio Sonstiges Retail

Value-at-Risk (pro Einheit EAD und pro Einheit LGD) Herleitung der Formel Gordy 2000 n: Anzahl der Kredite im Kreditportefeuille xq : q-tes Quantil der Verteilungsfunktion von x (= diejenige Ausprägung von x , die nur mit der Wahrscheinlichkeit 1-q überschritten wird). Unter xq kann man sich eine sehr ungünstige und sehr unwahrscheinliche Entwicklung einer gesamtwirt-schaftlichen Einflussgröße vorstellen, die zu hohen Ausfallwahrscheinlichkeiten führt. E[L|xq] : Erwarteter Verlust pro Einheit Kreditexposure unter der Bedingung, dass die Zufallsvariable x die Ausprägung xq annimmt. Vgl. Gordy, M.B.: Credit VaR and Risk-Bucket Capital Rules: A Reconciliation. In: Proceedings of the 36th Annual Conference on Bank Structure and Competition. Chicago 2000.

Value-at-Risk (pro Einheit EAD und pro Einheit LGD) Herleitung der Formel E[Lxq] = LGD  PD(x=xq) PD(x=xq): bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit = VaR pro Einheit LGD und EAD Asset-Value-Modell: Unternehmensrenditen hängen von zwei zufälligen Kompo-nenten ab, einer gesamtwirtschaftlichen Größe x und einer unternehmens-spezifischen Größe .

Value-at-Risk (pro Einheit EAD und pro Einheit LGD) Herleitung der Formel Im Asset Value Modell tritt die Insolvenz dann ein, wenn die Unternehmensrendite einen Schwellenwert  unterschreitet. Da die Insolvenzwahrscheinlichkeit aus dem internen Rating bekannt ist und für die Unternehmensrendite eine Standardnormal-verteilung angenommen wurde, erhalten wir  aus der Beziehung Für Ri können wir nun aus dem Asset Value Modell (i) einsetzen und erhalten: (II)

Value-at-Risk (pro Einheit EAD und pro Einheit LGD) Herleitung der Formel Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit: (III) Einsetzen von und in (III):

Loss Given Default Unternehmen IRB-Basisansatz 45 % 75 % für nachrangige Forderungen fortgeschrittener IRB-Ansatz eigene Schätzungen des LGD Datenreihe: mind. 7 Jahre Banken Staaten Retail Eigene Schätzungen bezogen auf den LGD eines Pools Eigenkapitalanteile Bei Anwendung des PD/LGD-Ansatzes: 90% (65 % bei hin-reichend diversifizierten Portfolios)

Ausfallwahrscheinlichkeit und Eigenmittel-unterlegung für Corporates mit S = 50, 30, 15, 5

Hypothekarkredite Retail Revolvierende Kredite Eigenmittelunterlegung für Corporates (S = 5), Hypothekarkredite, Revolv. Retail und sonstiges Retail Hypothekarkredite Retail Unternehmen mit S  5 Mio. € Sonstiges Retail Revolvierende Kredite

Kreditrisikominderungen im KSA einfacher Ansatz: Risikogewicht der Sicherheit ersetzt das Risikogewicht des Kreditnehmers Nettingvereinbarungen Finanzsicherheiten Barunterlegung /Gold/Wert - papiere , Investmentanteile Kreditderivate/ Garantien umfassender Ansatz: Exposure vermindert sich um den bereinigten Wert der Sicherheit reduziert sich auf den Saldo der gegen seitigen Forderungen Reduzierung des Risikogewichts at Default x Risikogewicht

Kreditrisikominderungen im IRBA