Kapitel 7 Lineare Restriktionen

Cobb-Douglas Produktionsfunktion Q(K, L) = A Ka Lb Q: Output (value added) K: eingesetzter Kapitalbestand (capital stock) L: geleistete Arbeit (labor input) Funktion f(x) heißt homogen vom Grad r, wenn f(px) = pr f(x) Produktion mit konstanten Skalenerträgen Q(pK, pL) = A (pK)a (pL)b = pa+b Q(K, L) = p Q(K, L) d.h., die Produktionsfunktion ist homogen vom Grad 1 Die Parameter erfüllen die Beziehung (lineare Restriktion) a + b = 1 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Produktionsfunktion: Daten Nach Hildebrand & Liu (1957), Aigner et al. (1977) LOGQ: log(Q) LOGK: log(K) LOGL: log(L) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Lineare Restriktionen: Fragen Wenn die Annahme unterstellt wird, dass eine Restriktion, beispielsweise a + b = 1, zutrifft, wie können wir die Koeffizienten, a und b, schätzen, so dass auch die Schätzer diese Restriktion erfüllen? Wie können wir überprüfen, ob eine vermutete Restriktion auch tatsächlich zutrifft? Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Produktionsfunktion, Forts. OLS-Anpassung von Q * = log Q = g + a log K + b log L + u (mit g = log A) gibt Für die Summe der Koeffizienten ergibt sich a + b = 0.376 + 0.603 = 0.979 95%-iges Konfidenzintervall: 0.850 ≤ a + b ≤ 1.108 Deutlicher Hinweis auf konstante Skalenerträge! Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Produktionsfunktion, Forts. Dependent Variable: Q Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:09 Sample(adjusted): 1 27 Included observations: 27 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.170644 0.326782 3.582339 0.0015 L 0.602999 0.125954 4.787457 0.0001 K 0.375710 0.085346 4.402204 0.0002 R-squared 0.943463 Mean dependent var 7.443631 Adjusted R-squared 0.938751 S.D. dependent var 0.761153 S.E. of regression 0.188374 Akaike info criterion -0.396336 Sum squared resid 0.851634 Schwarz criterion -0.252355 Log likelihood 8.350542 F-statistic 200.2489 Durbin-Watson stat 1.885989 Prob(F-statistic) 0.000000 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Lineare Restriktionen: Notation Spezifiziertes Modell: y = Xb + u g lineare Restriktion: Hb = h Die Matrix H hat Ordnung gxk, h ist g -Vektor Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) Beispiel Die Koeffizienten sollen erfüllen b1 + b2 = 0 b3 = 1 Matrixform: Hß = h mit Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) Beispiel Vergleich von [X: nx(k-g), Z: nxg ] y = Xb + u und y = Xb + Zg + v Restriktion g = 0 oder mit Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Restringierte Schätzer Restringierte Schätzer erfüllen die Restriktionen Methoden: Substitutionsmethode: Berücksichtigen der Restriktionen durch Eliminieren von Regressionskoeffizienten Lagrange-Methode: Erweitern der Summe der Fehlerquadrate zur Lagrange-Funktion, Minimieren der Lagrange-Funktion Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Produktionsfunktion, Forts. Berücksichtigen der Restriktion a + b = 1 durch Eliminieren von b: Einsetzen von b = 1 – a gibt Anpassen von Q * = log Q – log L = g + a (logK-logL) + u Restringierte Schätzer aR = 0.363 (vergl.: a = 0.376) und bR = 1- 0.363 = 0.637 (vergl.: b = 0.603) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Produktionsfunktion, Forts. Dependent Variable: Q_ST Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:17 Sample(adjusted): 1 27 Included observations: 27 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.069265 0.131759 8.115322 0.0000 K_ST 0.363030 0.075408 4.814211 0.0001 R-squared 0.481076 Mean dependent var 1.679979 Adjusted R-squared 0.460319 S.D. dependent var 0.251845 S.E. of regression 0.185013 Akaike info criterion -0.465599 Sum squared resid 0.855741 Schwarz criterion -0.369611 Log likelihood 8.285587 F-statistic 23.17663 Durbin-Watson stat 1.903585 Prob(F-statistic) 0.000060 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) Lagrange-Methode Gesucht sind Schätzer für b aus y = Xb + u mit Hb = h Minimieren der Lagrange-Funktion liefert die restringierten OLS-Schätzer Je schlechter die nicht-restringierten Schätzer die Restriktionen erfüllen, umso größer ist die Abweichung zwischen dem nicht-restringierten und dem restringierten Schätzer (die Korrektur)! Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Konsequenzen von Restriktionen Irrtümlich restringierter OLS-Schätzer Schätzer verzerrt Minimale Varianz des Schätzers Überschätzte Varianz der Störgrößen Irrtümlich nicht restringierter OLS-Schätzer Schätzer unverzerrt Varianz des Schätzers zu groß Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Test von Restriktionen Prüft, ob eine vermutete Restriktion auch zutrifft; Test von H0: Hb = h 1. Wald‘sche Teststatistik: auf Basis von d = Hb-h mit nicht-restringiertem OLS-Schätzer b: Unter H0 sollte einen kleinen Wert haben; unter H0 gilt näherungsweise: d ~ N[0,s2H(X’X)-1H’] 2. Modellvergleich mittels F-Test (siehe Kapitel 6: „Variablenauswahl und Missspezifikation“) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) Wald-Test Test von H0: Hb = h mittels Wald‘scher Teststatistik Die Chi-Quadrat-Verteilung gilt unter H0 näherungsweise (großes n) Wegen kann W auch geschrieben werden als Die Teststatistik F = W/g ist näherungsweise F-verteilt mit g und n-k Freiheitsgraden Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) Modellvergleich Test durch Vergleich des restringierten Modells mit dem nicht-restringierten Modell Die F-Verteilung gilt unter H0 näherungsweise (großes n) Ausführen der Tests: Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von S = e'e Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln von SR = eR'eR Einsetzen in F Wald‘sche Teststatistik kann man berechnen als W = gF Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) Berechnung von W und F Berechnen von Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von S = e'e Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln von SR = eR'eR Einsetzen in F Wald‘sche Teststatistik wird berechnet nach W = gF Beispiel Produktionsfunktion: Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) Asymptotische Tests Wald-Test: überprüft, inwieweit die nicht-restringierten Schätzer die Restriktionen erfüllen Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test): untersucht, ob die Ableitung der Likelihood-Funktion (die score-Funktion), an der Stelle der restringierten Schätzer einen Wert nahe bei Null hat Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test): untersucht, ob das logarithmierte Verhältnis der Likelihood-Funktionen, die sich an der Stelle der restringierten und der nicht-restringierten Schätzer ergeben, nahe bei Null liegt Die Teststatistiken aller drei Tests folgen unter H0 näherungsweise (großes n) der Chi-Quadrat-Verteilung mit g Freiheitsgraden Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) Asymptotische Tests g(b) = 0: Restriktion logL: Log-likelihood Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Asymptotische Tests: Berechnung Wald-Test: W = gF (siehe oben) Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test): Re2: Bestimmtheitsmaß der Regression der restringierten Residuen eR auf X Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test): Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Lagrange-Multiplier-Test Teststatistik des LM-Tests Re2: Bestimmtheitsmaß der Regression der restringierten Residuen eR auf X Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln der Residuen eR Regression der Residuen eR auf die Regressoren des nicht-restringierten Problems, Ermitteln von Re2 Einsetzen in LM Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Likelihood-Quotienten-Test Teststatistik des LR-Tests Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von e'e Berechnung der restringierten Schätzer bR und Ermitteln von eR'eR Einsetzen in LR Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)

Produktionsfunktion, Forts. Asymptotische Tests von H0: a+b = 1 Wald-Test p-Wert: 0.734 Lagrange-Multiplier-Test Re2 = 0.0048, LM = 27x0.0048 = 0.1296, p-Wert: 0.719 Likelihood-Quotienten-Test LR = 27xlog(0.885741/0.851634) = 0.0564, p-Wert: 0.812 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7)